第三章导数及其应用\n第一讲 导数的概念及运算\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n\n瞬时变化率\n0nxn－1cosx－sinxaxlnaex\nf′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)Cf′(x)\n5．复合函数的导数复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为_____________.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．知识点二 导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为________________________.yx′＝yu′·ux′y－y0＝f′(x0)(x－x0)\n\n题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x)与f′(x0)(x0为常数)表示的意义相同．()(2)在曲线y＝f(x)上某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义相同．()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()××√×\n×××√\n[解析](2)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线，点P在曲线上，而过点P(x0，y0)的切线，点P可以在曲线外．(3)如图所示，切线可以与曲线有多个公共点．\n\n4x3－9x2ex＋xexcos2x\n3．(选修2P81习题T6改编)已知函数f(x)＝2xf′(1)＋xlnx，则f′(1)＝()A．eB．1C．－1D．－e[解析]f′(x)＝2f′(1)＋lnx＋1，当x＝1时，f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1，故选C．C\n4．(选修2P82T10改编)在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________________m/s，加速度a＝_________m/s2.[解析]v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.－9.8t＋6.5－9.8\ny＝5x＋2\n6．(2019·江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_________.(e,1)\n考点突破·互动探究\n例1考点一导数的基本运算——师生共研\n[分析](1)①直接求导；②③化简后再求导；④利用商的导数运算法则求解；⑤⑥用复合函数求导法则求导．(2)先求出f′(1)得出导函数的解析式，再把x＝3代入导函数解析式得f′(3)．\n\n\n\n\n导数计算的原则和方法(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商再求导．(2)方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；⑥复合函数：由外向内，层层求导．\n3x2＋12x＋11(3－x2)e2－x\n1－22\n\n\n\n角度1导数与函数图象(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()例2考点二导数的几何意义——多维探究B\n(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝____.0\n\n角度2求切线方程(1)(2020·全国Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝－2x－1B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3D．y＝2x＋1(2)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为_____________.例3Bx－y－1＝0\n\n求曲线的切线方程的两种类型(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程和求曲线过点P(x0，y0)的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．(2)在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．\n\n例4BD\n\n(2)解法一：当x→－∞时，曲线y＝ex的切线的斜率k>0且k趋向于0，当x→＋∞时，曲线y＝ex的切线的斜率k>0且k趋向于＋∞，结合图象可知，两切线的交点应该在x轴上方，且在曲线y＝ex的下方，∴0<b<ea，故选D．\n解法二：易知曲线y＝ex在点P(t，et)处的切线方程为y－et＝et(x－t)，∵切线过点(a，b)，∴b－et＝et(a－t)，整理得et(t－a－1)＋b＝0.令f(t)＝et(t－a－1)＋b，则f′(t)＝et(t－a)，当t<a时，f′(t)<0，当t>a时，f′(t)>0，∴f(t)在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，∴当t＝a时，f(t)取得最小值f(a)＝－ea＋b.\n由已知得，f(t)的零点的个数即为过点(a，b)的切线条数，∴f(t)有且仅有2个零点．∴f(a)＝－ea＋b<0，即b<ea.①若b≤0，则当t<a时，t－a－1<0，et(t－a－1)<0，则f(t)>0，∴f(t)在(－∞，a)上无零点，而f(t)在[a，＋∞)上至多有一个零点，不合题意．\n\n〔变式训练2〕(1)(角度1)曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝()A．2B．1C．－2D．－1C\n(2)(角度2)(2019·全国卷Ⅱ，5分)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝0(3)(角度3)(2021·开封市第一次模拟考试)设函数f(x)＝alnx＋bx3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0,1)，则a＋b的值为____.C0\n\n\n名师讲坛·素养提升\n例5C\n\n[引申]本例中两曲线公切线方程为__________________.y＝2x＋1－ln2\n\n〔变式训练3〕若曲线y＝x＋lnx与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1存在过点(0，－1)的公切线，则a＝____.8\n
