活页作业 等比数列及其前n项和一、选择题1．(理)(2022·安徽高考)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝( )A．4 B．5 C．6 D．7解析：∵a3a11＝16，∴a＝16.又等比数列{an}的各项都为正数，∴a7＝4.∵a10＝a7·q3＝4×23＝25.∴log2a10＝5.答案：B2．已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项的和，若a1＝3，a2a4＝144，则S5的值是( )A. B．69 C．93 D．189解析：由a2a4＝a＝144得a3＝12或a3＝－12(舍去)，又a1＝3，各项均为正数，则q＝2.所以S5＝＝＝93.答案：C3．(2022·中山模拟)在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N*)，则a＋a＋…＋a等于( )A．(2n－1)2 B．(2n－1)2C．4n－1 D．(4n－1)解析：若a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则an＝2n－1，a1＝1，q＝2，所以a＋a＋…＋a＝6\n(4n－1)，故选D.答案：D4．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )A. B．C．－ D．或解析：设{an}的公比为q，q>0，由已知得a1＋a2＝a3，即a1＋a1q＝a1q2，q2－q－1＝0，解得q＝或q＝(舍去)．所以＝＝q＝.答案：A5．(2022·湖北高考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( )A．①② B．③④C．①③ D．②④解析：利用特殊化思想，选an＝2n判定．不妨令an＝2n.①因为f(x)＝x2，所以f(an)＝4n.显然{f(2n)}是首项为4，公比为4的等比数列．②因为f(x)＝2x，所以f(a1)＝f(2)＝22，f(a2)＝f(4)＝24，f(a3)＝f(8)＝28，所以＝＝4≠＝＝16，所以{f(an)}不是等比数列．③因为f(x)＝，所以f(an)＝＝()n.显然{f(an)}是首项为，公比为的等比数列．④因为f(x)＝ln|x|，所以f(an)＝ln2n＝nln2.显然{f(an)}是首项为ln2，公差为ln2的等差数列．故应选C.答案：C6．(理)a1，a2，a3，a4是各项不为零的等差数列且公差d≠0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则的值为( )6\nA．－4或1 B．1C．4 D．4或－1解析：若删去a1或a4，知数列既为等差也为等比时，公差d＝0，由条件知不成立．若删去a2，则(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，若删去a3，则(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，解得＝－4或1.答案：A6．(文)已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则＝( )A. B．或C. D．以上都不对解析：设a，b，c，d是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根，不妨设a＜c＜d＜b，则a·b＝c·d＝2，a＝，故b＝4，根据等比数列的性质，得到：c＝1，d＝2，则m＝a＋b＝，n＝c＋d＝3，或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝，则＝或＝.答案：B二、填空题7．(理)数列{an}的前n项之和为Sn，Sn＝1－an，则an＝______________.解析：n＝1时，a1＝S1＝1－a1，得a1＝，n≥2时，Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1.两式相减得an＝an－1－an，即an＝an－1，＝，所以{an}是等比数列，首项为a1＝，公比为，所以an＝·n－1.答案：·n－17．(文)数列{an}满足：log2an＋1＝1＋log2an，若a3＝10，则a10＝______________.6\n解析：由已知得an＋1＝2an，故数列{an}是公比为2的等比数列，所以a10＝a3×27＝10×128＝1280.答案：12808．(金榜预测)设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，关于数列{an}有下列四个命题：①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1(n∈N*)②若Sn＝an2＋bn(a，b∈R)，则{an}是等差数列③若Sn＝1－(－1)n，则{an}是等比数列④若{an}是等比数列，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(m∈N*)也成等比数列．其中正确的命题是________．(填上正确命题的序号)．解析：①若{an}既是等差数列又是等比数列，{an}为非零常数列，故an＝an＋1(n∈N*)；②若{an}是等差数列，Sn＝n2＋n为an2＋bn(a，b∈R)的形式；③若Sn＝1－(－1)n，则n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－(－1)n－1＋(－1)n－1＝(－1)n－1－(－1)n，而a1＝2，适合上述通项公式，所以an＝(－1)n－1－(－1)n是等比数列；④若{an}是等比数列，当公比q＝－1且m为偶数时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m不成等比数列．答案：①②③三、解答题9．已知数列{an}中，a1＝2，点(an，an＋1)在直线y＝2x＋1上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：＋＋…＋＜(n∈N*)．10．(理)(2022·陕西高考)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．(1)求数列{an}的公比；(2)求证：对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．(1)解：设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，6\n即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2.(2)证明：方法一：对任意k∈N*，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0，所以对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．方法二：对任意k∈N*,2Sk＝，Sk＋2＋Sk＋1＝＋＝，2Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝－＝[2(1－qk)－(2－qk＋2－qk＋1)]＝(q2＋q－2)＝0，6\n6
