第八章解析几何\n第五讲 椭圆\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__________________________________的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________.距离的和等于常数(大于|F1F2|)焦点焦距\n注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：(1)若a＞c，则集合P为________；(2)若a＝c，则集合P为____________；(3)若a＜c，则集合P为________.椭圆线段F1F2空集\n知识点二 椭圆的标准方程和几何性质\n\n2a2b2cc2＝a2－b2\n\n\n××√√\n题组二 走进教材2．(选择性必修1P115T6)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[解析]由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r>|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B．B\nAD\n\nD\nA\n\n考点突破·互动探究\n(1)(2021·泉州模拟)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线(2)已知F1、F2分别是椭圆5x2＋9y2＝45的左、右焦点，P是椭圆上的动点，则|PF1|·|PF2|的最大值为_____，若A(1，1)，则|PA|＋|PF1|的取值范围为__________________.例1B考点一椭圆的定义及应用——自主练透9\n3\n\n\n\n[引申]本例(2)中，若将“A(1，1)”改为“A(2，2)”，则|PF1|－|PA|的最大值为_____，|PF1|＋|PA|的最大值为_____.[解析]∵|PF2|＋|PA|≥|AF2|＝2(P在线段AF2上时取等号)，∴|PF1|－|PA|＝6－(|PF2|＋|PA|)≤4，∵|PA|－|PF2|≤|AF2|＝2，(当P在AF2延长线上时取等号)，∴|PF1|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF2|≤8.48\n(1)椭圆定义的应用范围：①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等．\n8\n－5\n\n\n例2考点二椭圆的标准方程——师生共研\n\n\n\n(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．(2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：①作判断：根据条件判断焦点的位置；②设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠0)；③找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；④求解，得方程．\n\nB\nC\n\n\n例3考点三椭圆的几何性质——师生共研D\nB\nC\n\n\n\n\n求椭圆离心率的取值范围的方法\nA\nD\n\n\n\n例4考点四直线与椭圆的综合问题——多维探究D\n\n\n例5C\n2x＋4y－3＝0\n\n例6\n\n\n\n\n直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略(1)直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断；②借助几何性质来判断．(2)求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件寻找满足条件的关于a，b，c的等式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．\n提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．\n(4)对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解．若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和直线l斜率的关系．注意答题时不要忽视对判别式的讨论．\n相交D\nC\n\n\n\n例7\n\n\n\n\n名师讲坛·素养提升\n例84\n\n\n\nD\n
