活页作业 椭 圆一、选择题1．(2022·西安模拟)以坐标轴为对称轴，离心率为，且过点(2,0)的椭圆方程是( )A.＋y2＝1 B.＋＝1或＋x2＝1C．x2＋＝1 D.＋y2＝1或＋＝1且离心率e＝＝＝，适合题意，故排除A.答案：D2．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( )A. B. C. D.解析：由，消去y整理得7x2＋12x＋8＝0，9\n由弦长公式得|AB|＝·＝.答案：B3．(理)(2022·邢台模拟)在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2c，一圆以O为圆心，a为半径，过点作圆的两切线互相垂直，则椭圆的离心率e等于( )A. B.C. D.解析：如图所示，由对称性可得∠OPQ＝45°，所以＝a得e＝.答案：A3．(文)(2022·锦州模拟)一个正方形内接于椭圆，并有两边垂直于椭圆长轴且分别经过它的焦点，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.解析：设椭圆的焦距为2c，则2a＝(＋1)c，∴e＝.答案：C4．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为( )A. B. C. D.解析：F1(－，0)、F2(，0)，设M(x0，y0)，由·＝0，可得x0＝±.答案：B9\n5．(理)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e，右焦点F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实数根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)( )A．必在圆x2＋y2＝1外B．必在圆x2＋y2＝1上C．必在圆x2＋y2＝1内D．和x2＋y2＝1的位置关系与e有关解析：由于x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－2·＝＝＝1＋.∵c＞0,2a－c＞0，故上式大于1，即x＋x＞1，∴P(x1，x2)必在圆x2＋y2＝1外．答案：A5．(文)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)( )A．必在圆x2＋y2＝2内 B．必在圆x2＋y2＝2上C．必在圆x2＋y2＝2外 D．以上三种情形都有可能6．(理)已知椭圆C1：＋＝1(a1＞b1＞0)和椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)的焦点相同且a1＞a2.给出如下四个结论：①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；②a－a＝b－b；9\n③＞；④a1－a2＜b1－b2.其中，所有正确结论的序号是( )A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③解析：由已知条件可得a－b＝a－b，可得a－a＝b－b，而a1＞a2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a－a＝b－b，知②正确；由a－b＝a－b，可得a＋b＝b＋a，则a1b2，a2b1的大小关系不确定，＞不正确，即③不正确；∵a1＞b1＞0，a2＞b2＞0，∴a1＋a2＞b1＋b2＞0，而又由(a1＋a2)(a1－a2)＝(b1＋b2)(b1－b2)，可得a1－a2＜b1－b2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④.答案：C6．(文)如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2.则下列结论不正确的是( )A．a1－c1＝a2－c2 B．a1＋c1＞a2＋c2C．a1c2＞a2c1 D．a1c2＜a2c17．(2022·九江模拟)已知点F1，F2分别是椭圆＋＝1(k＞－1)的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为________．解析：由椭圆定义有4a＝8，a＝2，所以k＋2＝a2＝4，∴k＝2，从而b2＝k＋1＝3，c2＝a2－b2＝1，所以e＝＝.答案：8．(理)已知F1，F2是椭圆＋＝1的左右焦点，A，B分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，OP∥AB，PF1⊥x轴，|F1A|＝＋9\n，则此椭圆的方程是________________．解析：如图，由PF1⊥x轴，可得|PF1|＝，再利用OP∥AB可得kOP＝kAB，从而有，又a2＝b2＋c2，解得a2＝10，b2＝5.所以椭圆方程为：＋＝1答案：＋＝18．(文)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．解析：由题意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝3，b＝3，故椭圆G的方程为＋＝1.答案：＋＝1三、解答题9．(理)(2022·天水模拟)已知直线l：y＝kx＋b与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，O为坐标原点．(1)当k＝0,0＜b＜1时，求△AOB的面积S的最大值；(2)⊥，求证：直线l与以原点为圆心的定圆相切，并求该圆的方程．解：(1)把y＝b代入＋y2＝1，得x＝±.∴|AB|＝2∴S△AOB＝×2·b＝b＝b≤·＝，当且仅当b2＝，即b＝时取等号．9\n∴△AOB的面积S的最大值为.(2)由，消去y整理得(1＋2k2)x2＋4kbx＋2b2－2＝0，(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞2)，由离心率为，得＝，解得a2＝16.故椭圆C2的方程为＋＝1.(2)方法一：A，B两点的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.由消去y整理得(1＋4k2)x2＝4，∴x＝，9\n10．(2022·湖北高考)设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．(2)过原点斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．(1)解：如图(1)，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)，可得x＝x0，|y|＝m|y0|，所以x0＝x，|y0|＝|y|.①因为A点在单位圆上运动，9\n所以x＋y＝1.②将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2＋＝1(m＞0，且m≠1)．因为m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(－，0)，(，0)；当m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－)，(0，)．(2)方法一：如图(2)、(3)，∀k＞0，设P(x1，kx1)，H(x2，y2)，则Q(－x1，－kx1)，N(0，kx1)．直线QN的方程为y＝2kx＋kx1，由消去y整理得(m2＋4k2)x2＋4k2x1x＋k2x－m2＝0.依题意可知此方程的两根为－x1，x2，∴－x1＋x2＝－，即x2＝.因为点H在直线QN上，所以y2－kx1＝2kx2＝.于是＝(－2x1，－2kx1)，＝(x2－x1，y2－kx1)＝，而PQ⊥PH等价于·＝＝0，即2－m2＝0.由m＞0，得m＝.故存在m＝，使得在其对应的椭圆x2＋＝1上，对任意的k＞0，都有PQ⊥PH.方法二：如图(2)、(3)，∀x1∈(0,1)，设P(x1，y1)，H(x2，y2)，则Q(－x1，－y1)，N(0，y1)．9\n9
