活页作业 二项式定理一、选择题1．(2022·天津高考)在5的二项展开式中，x的系数为( )A．10 B．－10 C．40 D．－403．(x＋)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于( )A．－1 B. C．1 D．2解析：二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx5－r·()r＝C·x5－2r·ar，由5－2r＝3，得r＝1，由条件知C·a＝10，∴a＝2.答案：D4．(2022·宜春模拟)设f(x)是6展开式的中间项，若f(x)≤mx在区间4\n上恒成立，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，5) B．(－∞，5]C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)解析：由于Tr＋1＝Crx12－3r，故展开式中间的一项为T3＋1＝C3x3＝x3，故f(x)≤mx等价于x3≤mx在上恒成立，即m≥x2，又x2≤5，故实数m的取值范围是m≥5.答案：D5．(2022·温州模拟)在二项式n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为( )A．6 B．9 C．12 D．186．(金榜预测)已知(x2－)n的展开式中第三项与第五项的系数之比为－，其中i2＝－1，则展开式中系数为实数且最大的项为( )A．第三项 B．第四项C．第五项 D．第五项或第六项解析：T3＝－Cx2n－5，T5＝Cx2n－10，由－C∶C＝－得n2－5n－50＝0，∴n＝10，又Tr＋1＝C(－i)rx20－r，4\n据此可知当r＝0,2,4,6,8,10时其系数为实数，且当r＝4时，C＝210最大．故选C.答案：C二、填空题7．(2022·湖南高考)6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)解析：∵6＝6＝，又∵(2x－1)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x)6－r(－1)r，令6－r＝3，得r＝3.∴T3＋1＝－C(2x)3＝－20×23·x3＝－160x3.∴6的二项展开式中的常数项为－160.答案：－1608．(2022·南昌模拟)设a＝(sinx＋cosx)dx，则二项式6的展开式中含x2项的系数是________．解析：依题意得a＝(sinx＋cosx)dx＝(sinx－cosx)＝2.注意到二项式6的展开式的通项是Tr＋1＝C(a)6－rr＝Ca6－r(－1)rx3－r.令3－r＝2，得r＝1，因此二项式6的展开式中含x2项的系数等于Ca6－1(－1)1＝－6a5＝－6×25＝－192.答案：－192三、解答题9．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1①，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37②.(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.4\n(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093.(4)∵(1－2x)7展开式中a0，a2，a4，a6都大于零，而a1，a3，a5，a7都小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.10．已知n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含的项．4
