【高考领航】2022高考数学总复习10-3二项式定理练习苏教版【A组】一、填空题1．(2022·高考课标全国卷)的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．解析：对于，可令x＝1得1＋a＝2，故a＝1.(2x－)5的展开式的通项Tr＋1＝C(2x)5－r＝C25－r×(－1)r×x5－2r，要得到展开式的常数项，则x＋的x与展开式的相乘，x＋的与展开式的x相乘，故令5－2r＝－1得r＝3，令5－2r＝1得r＝2，从而可得常数项为C×22×(－1)3＋C×23×(－1)2＝40.答案：402．二项展开式(2x－1)10中x的奇次幂项的系数之和为________．解析：设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，两式相减可得，a1＋a3＋…＋a9＝.答案：3．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数为________．解析：∵(1＋x)10＝Cx0＋Cx1＋Cx2＋Cx3＋Cx4＋Cx5＋…＝1＋10x＋45x2＋…＋252x5＋…∴(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数为252－45＝207.答案：2074．设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N6\n＝240，则展开式中x的系数为________．解析：由题意知，M＝4n，N＝2n，由M－N＝240可解得n＝4，所以展开式中x的系数为C52(－1)2＝150.答案：1505．(2022·高考浙江卷)设二项式(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．解析：对于Tr＋1＝Cx6－r＝C(－a)rx6－r，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝4A，a>0，∴a＝2.答案：26．(2022·高考山东卷)若展开式的常数项为60，则常数a的值为________．解析：二项式展开式的通项公式是Tr＋1＝Cx6－r(－)rx－2r＝Cx6－3r(－)r，当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是Ca，根据已知Ca＝60，解得a＝4.答案：47．(2022·高考浙江卷)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________．解析：f(x)＝x5＝[－1＋(1＋x)]5，∴a3＝C·(－1)2＝10.答案：10二、解答题8．已知(x＋)n展开式的前3项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项、一次项？如没有，请说明理由；如有，请求出来．解：∵Tr＋1＝C(x)n－r·()r＝C2rx(r＝0，1，2，…，n)，∴由题意得C20＋C·22＋C·22＝129，∴1＋2n＋2(n－1)n＝129，∴n2＝64，6\n∴n＝8.故Tr＋1＝C2rx(r＝0，1，2，…，8)．若展开式存在常数项，则＝0，∴72－11r＝0，∴r＝∉N，∴展开式中没有常数项．若展开式存在一次项，则＝1，∴72－11r＝6，∴r＝6，∴展开式中存在一次项，它是第7项，T7＝C26x＝1792x.9．已知数列{an}满足an＝n·2n－1(n∈Z*)，是否存在等差数列{bn}，使an＝b1C＋b2C＋b3C＋…＋bnC对一切正整数n成立？并证明你的结论．解：假设存在等差数列{bn}使等式an＝b1C＋b2C＋b3C＋…＋bnC对一切正整数n成立．当n＝1时，得1＝b1C，所以b1＝1；当n＝2时，得4＝b1C＋b2C，所以b2＝2；当n＝3时，得12＝b1C＋b2C＋b3C，所以b3＝3，…所以可猜想等差数列{bn}的通项为bn＝n.证明：C＋2C＋3C＋…＋nC＝nC＋nC＋nC＋…＋nC＝n·2n－1.【B组】一、填空题1．(2022·高考天津卷改编)在的二项展开式中，x2的系数为________．答案：－2．已知展开式的第4项等于5，则x等于________．6\n解析：由T4＝Cx4＝5得x＝－.答案：－3．(2022·镇江一模)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．答案：74．若展开式中第2项与第6项的二项式系数相同，那么展开式的最中间一项的系数为________．解析：由已知得C＝C＝C，∴n－1＝5，即n＝6，故展开式中最中间一项的系数为C·23＝160.答案：1605．(2022·开封模拟)的展开式中x2的系数为70，则a＝________．答案：±16．若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，则a0＋a1＋2a2＋3a3＝________．答案：57．(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)6的展开式中，含x2项的系数为________．解析：含x2项的系数为C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＝35.答案：35二、解答题8．已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，求的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．解：根据二项式系数的性质，列方程求解n.系数绝对值最大问题需要列不等式组求解．由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0.∴2n＝32，解得n＝5.(1)由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大．即T6＝C·(2x)5·＝－8064.(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大，6\n∴Tr＋1＝C·(2r)10－r·＝(－1)rC·210－r·x10－2r，∴，得，即，解得≤r≤.∵r∈Z，∴r＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T4＝－C·27·x4＝－15360x4.9．(2022·无锡模拟)已知，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解：(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.∴n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.∴T4的系数为C23＝，T5的系数为C24＝70，当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.∴T8的系数为C27＝3432.(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，∵＝(1＋4x)12，∴∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.∴展开式中系数最大的项为T11，6\nT11＝C··210·x10＝16896x10.6
