专题九 圆⊙热点一：与圆有关的计算、操作题1．(2022年江苏盐城)如图Z910，将⊙O沿弦AB折叠，使经过圆心O，则∠OAB＝________.图Z9102．(2022年吉林)如图Z911，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠．若和都经过圆心O，则阴影部分的面积是________(结果保留π)．图Z9113．(2022年江苏盐城)(1)实践操作：如图Z912，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)．①作∠BAC的平分线，交BC于点O；②以O为圆心，OC为半径作圆．(2)综合运用：在你所作的图中，①AB与⊙O的位置关系是________(直接写出答案)；②若AC＝5，BC＝12，求⊙O的半径．图Z912⊙热点二：圆与函数图象的综合1．如图Z913，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为，且与y轴交于点C(0,2)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)．(1)求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；8\n(2)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP＋CP的值最小？若存在，求AP＋CP的最小值，若不存在，请说明理由；(3)直线CE与以AB为直径的⊙M相切于点E，交x轴于点D，求直线CE的解析式．图Z9132．(2022年四川巴中)如图Z914，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(4,0)，B点坐标为(－1,0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P，交y轴的正半轴于点C.(1)求经过A，B，C三点的抛物线所对应的函数解析式；(2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．图Z9148\n⊙热点三：与圆有关的动态题如图Z915，已知点A(6，0)，B(0,6)，经过A，B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为ts.(1)用含t的代数式表示点P的坐标；(2)过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心，1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．图Z9158\n8\n专题九 圆【提升·专项训练】热点一1．30°2．3π 解析：如图107，作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，由折叠，得OD＝AO.∴∠OAD＝30°.∴∠AOB＝2∠AOD＝120°.同理，∠BOC＝120°.∴∠AOC＝120°.∴S阴影＝S扇形AOC＝＝3π.图107 图1083．解：(1)如图108.(2)①相切②方法一，作OH⊥AB于H(如图108)，∵∠ACB＝90°，∴OC⊥AC.又∵AO平分∠BAC，∴OH＝OC.在Rt△ABC中，AB＝＝13.∵∠OHB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△BOH∽△BAC.∴＝.设OH＝OC＝r，则＝.解得r＝.即⊙O的半径为.方法二，由方法一，得∠OHB＝∠ACB＝90°.则sin∠B＝＝，以下同方法一．热点二1．解：(1)由题意，设抛物线解析式为y＝a(x－4)2－(a≠0)．∵抛物线经过(0,2)，∴a(0－4)2－＝2.解得a＝.∴y＝(x－4)2－，即y＝x2－x＋2.当y＝0时，x2－x＋2＝0.解得x＝2或x＝6.∴A(2,0)，B(6,0)．(2)存在，理由如下：如图109，由(1)知，抛物线的对称轴l为x＝4.∵A，B两点关于l对称，连接CB，交l于点P，则AP＝BP，∴AP＋CP＝BC的值最小．8\n∵B(6,0)，C(0,2)，∴OB＝6，OC＝2.∴BC＝2.∴AP＋CP＝BC＝2.∴AP＋CP的最小值为2.图109(3)如图109，连接ME，∵CE是⊙M的切线，∴ME⊥CE，∠CEM＝90°.由题意，得OC＝ME＝2，∠ODC＝∠MDE.在△COD与△MED中，∴△COD≌△MED(AAS)．∴OD＝DE，DC＝DM.设OD＝x则CD＝DM＝OM－OD＝4－x.在Rt△COD中，OD2＋OC2＝CD2.∴x2＋22＝(4－x)2.解得x＝.∴D.设直线CE的解析式为y＝kx＋b，∵直线CE过C(0,2)，D两点，则解得∴直线CE的解析式为y＝－x＋2.2．解：(1)∵A(4,0)，B(－1,0)，∴AB＝5，半径PC＝PB＝PA＝.∴OP＝－1＝.连接CP，在△CPO中，由勾股定理，得OC＝＝2.∴C(0,2)．设经过A，B，C的抛物线解析式是y＝a(x－4)(x＋1)．把C(0,2)代入，得2＝a(0－4)(0＋1)．∴a＝－.∴y＝－(x－4)(x＋1)＝－x2＋x＋2.(2)y＝－x2＋x＋2＝－2＋，∴顶点M.设直线MC对应的函数解析式是y＝kx＋b，把C(0,2)，M代入，得8\n解得∴y＝x＋2.(3)MC与⊙P的位置关系是相切．证明如下：当y＝0时，0＝x＋2.∴x＝－，即ON＝.∴N.在△CON中，由勾股定理，得CN2＝22＋2＝＝.又∵PC2＝2＝＝，PN2＝2＝.∴CN2＋PC2＝PN2，∴∠PCN＝90°.∴PC⊥NC.∵PC为半径，∴MC与⊙P的位置关系是相切．热点三 解：(1)过点P作PF⊥OB于F(如图110)，图110∵OB＝6，OA＝6，∴∠OAB＝30°.在Rt△PFB′中，PB′＝t，∠B′PF＝30°，∴B′F＝t，FP＝t.又BB′＝t，∴OF＝6－t－t＝6－t.∴P.(2)当⊙P在左侧与直线OC相切时(如图111)，图111设此时⊙P与OC的切点为M，∵OB′＝6－t，∠BOC＝30°，∴B′M＝(6－t)＝3－t.又B′P＝t，∴PM＝B′M－B′P＝3－t.8\n由3－t＝1，得t＝.此时⊙P与直线CD相离．当⊙P在左侧与直线OC相切时(如图108)，切点为M.PM＝B′P－B′M＝t－(6－t)＝t－3.由t－3＝1，得t＝.此时⊙P与直线CD相交．综上所述，当t＝s或t＝s时，⊙P与直线OC相切，⊙P与直线CD相离或相交．8
