课时规范练42 椭圆基础巩固组1.(2021山东济南十一校联考)“2<m<6”是“方程=1表示椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2021福建厦门集美中学月考)已知点M(3,)是椭圆=1(a>b>0)上的一点,椭圆的长轴长是焦距的倍,则该椭圆的方程为( )A.=1B.=1C.=1D.=13.已知F1,F2分别为椭圆E:=1(a>b>0)的两个焦点,点P是椭圆E上的点,PF1⊥PF2,且sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,则椭圆E的离心率为( )A.B.C.D.4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在椭圆C上,则|MF1||MF2|的最大值为( )A.13B.12C.9D.65.关于椭圆3x2+4y2=12有以下结论,其中正确的是( )A.离心率为B.长轴长是2C.焦点在y轴上D.焦点坐标为(-1,0),(1,0)6.椭圆E的焦点在x轴上,其短轴的两个端点和两个焦点恰为边长为2的正方形的顶点,则( )A.椭圆E的长轴长为4B.椭圆E的焦点坐标为(-2,0),(2,0)C.椭圆E的离心率为\nD.椭圆E的标准方程为=17.若圆C以椭圆=1的右焦点为圆心,长半轴长为半径,则圆C的方程为 . 8.(2021湖南浏阳一中模拟)椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的 倍. 综合提升组9.(2021江西南昌三中月考)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=,点P是y轴正半轴上一点,线段PF1交椭圆于点A,若AF2⊥PF1,且△APF2的内切圆半径为,则椭圆的离心率是( )A.B.C.D.10.如图所示,某月球探测器飞行到月球附近时,首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行,然后在点P处变轨进入以点F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行,最后在点Q处变轨进入以点F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,设圆形轨道Ⅰ的半径为R,圆形轨道Ⅲ的半径为r,则以下说法正确的是( )A.椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离最大为2RB.椭圆轨道Ⅱ的焦距为R-rC.若r不变,则R越大,椭圆轨道Ⅱ的短轴越短D.若R不变,则r越小椭圆轨道Ⅱ的离心率越小11.已知点P是椭圆=1上一动点,点M,点N分别是圆(x+2)2+y2=与圆(x-2)2+y2=上的动点,则( )A.|PM|+|PN|的最小值为\nB.|PM|+|PN|的最小值为C.|PM|+|PN|的最大值为D.|PM|+|PN|的最大值为创新应用组12.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点,必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为椭圆的“蒙日圆”.若椭圆C:=1(m>0,m≠4)的离心率为,则椭圆C的“蒙日圆”方程为( )A.x2+y2=5或x2+y2=7B.x2+y2=7或x2+y2=20C.x2+y2=5或x2+y2=20D.x2+y2=7或x2+y2=2813.(2021河北保定三中月考)椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),已知定点M,若椭圆C上存在点N,使得△FMN为等腰钝角三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是 . \n课时规范练42 椭圆1.B 解析:若方程=1为椭圆方程,则解得2<m<6且m≠4,故“2<m<6”是“方程=1表示椭圆方程”的必要不充分条件.故选B.2.D 解析:由题意解得所以椭圆方程为=1.故选D.3.B 解析:因为F1,F2分别为椭圆E:=1(a>b>0)的两个焦点,点P是椭圆E上的点,PF1⊥PF2,且sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,所以由正弦定理可得|PF1|=3|PF2|,且|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2,所以a2=4c2,所以椭圆的离心率e=.故选B.4.C 解析:由题意知|MF1|+|MF2|=2a=6,则=3,则|MF1||MF2|≤9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立,故|MF1||MF2|的最大值为9.故选C.5.D 解析:将椭圆方程化为标准方程为=1.该椭圆的焦点在x轴上,故C错误;\n焦点坐标为(-1,0),(1,0),故D正确;a=2,长轴长是4,故B错误;离心率e=,故A错误.故选D.6.D 解析:设椭圆E的方程为=1(a>b>0).由题可知b=c=,所以a2=b2+c2=4,所以a=2,所以椭圆E的长轴长2a=4,焦点坐标为(-,0),(,0),离心率为,标准方程为=1.故选D.7.(x-2)2+y2=16 解析:由椭圆方程可知a2=16,b2=12,则c2=4,所以椭圆右焦点为(2,0),长半轴长为4.由题可知,圆C以(2,0)为圆心,4为半径,所以圆的方程为(x-2)2+y2=16.8.5 解析:由题可知a=3,c=,PF2⊥x轴.当x=时,=1,解得y=±1,所以|PF2|=1,所以|PF1|=2×3-|PF2|=6-1=5,所以|PF1|是|PF2|的5倍.9.C 解析:由题可知2c=,所以c=.因为直角三角形APF2的内切圆半径为,所以|AP|+|AF2|-|PF2|=2×.又由椭圆的对称性可知|PF2|=|PF1|,所以|AP|+|AF2|-|PF2|==|AP|+|AF2|-|PF1|=|AF2|-|AF1|.在直角三角形AF1F2中,由\n解得所以|PF1|+|PF2|=3,即2a=3,a=,所以椭圆的离心率e=.故选C.10.B 解析:设椭圆轨道Ⅱ的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,依题意得解得a=,c=.椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离的最大值为2a=R+r,故A错误;椭圆轨道Ⅱ的焦距为2c=R-r,故B正确;椭圆轨道Ⅱ的短轴长2b=2=2,若r不变,R越大,则2b越大,椭圆轨道Ⅱ的短轴越长,故C错误;椭圆轨道Ⅱ的离心率e==1-=1-,若R不变,r越小,则e越大,故D错误.故选B.11.A 解析:由题可知,圆(x+2)2+y2=与圆(x-2)2+y2=的圆心分别为A(-2,0),B(2,0),且A,B是椭圆=1的两个焦点,两圆的半径均为,所以|PM|+|PN|的最大值为|PA|+|PB|+2×=2a+=2×,|PM|+|PN|的最小值为|PA|+|PB|-2×=2a-=2×.故选A.12.C 解析:若m>4,则,即m=16,所以C:=1.因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点,必在一个与椭圆同心的圆上,不妨取两点(2,0),(0,4),则两条切线为x=2和y=4,所以两条切线的交点为(2,4),\n所以点(2,4)在蒙日圆上,所以半径为,所以蒙日圆为x2+y2=20.若0<m<4,则,即m=1,所以C:+y2=1.因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点,必在一个与椭圆同心的圆上,不妨取两点(2,0),(0,1),则两条切线为x=2和y=1,所以两条切线的交点为(2,1),所以点(2,1)在蒙日圆上,所以半径为,所以蒙日圆为x2+y2=5.综上,椭圆C的“蒙日圆”方程为x2+y2=5或x2+y2=20.故选C.13. 解析:因为|OM|-|OF|=-c=,且a,b,c均为正数,所以|OM|-|OF|>0,所以M在F点右侧.又-a=>0,所以M在椭圆外部,所以∠NMF不可能为钝角.若∠FNM为钝角,设MF的中点为E,N的横坐标为x0,则c≤x0≤a,应有NE垂直平分FM,即x0=|OE|.因为|OE|=|OF|+|FM|=c+,而-a=>0,所以∠FNM不可能为钝角.故∠NFM为钝角,且|FM|=|FN|,此时|FM|=-c,|FN|∈(c,a+c).当NF垂直x轴时,N(c,y0),所以=1,解得|y0|=,所以-c<a+c,所以解得<e<1.\n
