课时规范练44 抛物线基础巩固组1.抛物线y=8mx2(m<0)的焦点坐标是( )A.B.C.D.2.(2021新高考Ⅱ,3)抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p=( )A.1B.2C.2D.43.(2021北京海淀二模)已知F为抛物线y2=4x的焦点,点P(x0,y0)是该抛物线上的一点.若|PF|>2,则( )A.x0∈(0,1)B.x0∈(1,+∞)C.y0∈(2,+∞)D.y0∈(-∞,2)4.(2021河南郑州月考)若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(3,y0)到焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则y0等于( )A.±6B.±6C.±12D.±125.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线=1的右焦点重合,则p的值为( )A.4B.2C.D.26.(2021湖南常德一中月考)在平面直角坐标系中,已知M(2,0),点B为直线l:x=-2上的动点,点A在线段MB的垂直平分线上,且AB⊥l,则动点A的轨迹方程是( )A.y2=8xB.y2=4xC.x2=8yD.x2=4y7.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,PA⊥l,垂足为A.若直线AF的斜率k=-,则下列结论正确的是( )\nA.准线方程为x=-3B.焦点坐标FC.点P的坐标为D.PF的长为38.(2021河北张家口一模)若点P(4,1)为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,抛物线C的焦点为F,则|PF|= . 9.(2021北京怀柔一模)若抛物线C焦点在y轴上,且过点(2,1),则抛物线C的标准方程是 . 综合提升组10.(2021福建龙岩三模)已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点P作PQ⊥l,垂足为Q,若|PF|=4,则∠FQP=( )A.30°B.45°C.60°D.75°11.(2021重庆一中月考)抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,点F为抛物线的焦点,点P为抛物线上一个动点,点Q为曲线C:x2-10x+y2-2y+22=0上的一个动点,则|PF|+|PQ|的最小值为( )A.7B.7C.8D.812.已知抛物线x2=y的焦点为F,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上两点,则下列结论错误的是( )A.点F的坐标为B.若直线MN过点F,则x1x2=-C.若=λ,则|MN|的最小值为D.若|MF|+|NF|=,则线段MN的中点P到x轴的距离为13.(2021湖北襄阳四中模拟)已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为其焦点,以点F为圆心,|FA|为半径的圆交抛物线的准线于B,C两点.若△FBC为等腰直角三角形,且△ABC的面积是4,则抛物线的方程是 . 创新应用组14.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M(2,m)(m>0)在抛物线C上,且|MF|=2.(1)求抛物线C的方程;(2)若点P(x0,y0)为抛物线C上任意一点,过该点的切线为l0,证明:过点F作切线l0的垂线,\n垂足必在x轴上.\n课时规范练44 抛物线1.B 解析:由y=8mx2(m<0),得x2=y,所以抛物线y=8mx2(m<0)的焦点坐标是.故选B.2.B 解析:由题可知抛物线的焦点坐标为,所以焦点到直线x-y+1=0的距离d=,解得p=2或p=-6(舍去).故选B.3.B 解析:由题可知=1,所以|PF|=x0+1>2,解得x0>1.故选B.4.A 解析:由题可得3+=9,解得p=12,所以y2=24x.又点A(3,y0)在抛物线y2=24x上,所以=72,解得y0=±6.故选A.5.A 解析:由题可知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为,双曲线=1的右焦点为(2,0).因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,所以=2,解得p=4.故选A.6.A 解析:由题可知|AB|=|AM|,AB⊥l,所以点A的轨迹是以点M为焦点,直线l为准线的抛物线,所以=2,解得p=4,所以点A的轨迹方程为y2=8x.故选A.\n7.C 解析:∵抛物线方程为y2=6x,∴焦点坐标F,准线方程为x=-,故A,B错误;∵直线AF的斜率为-,∴直线AF的方程为y=-,∴A.∵PA⊥l,垂足为A,∴点P的纵坐标为3,∴点P的坐标为,故C正确;|PF|=|PA|==6,故D错误.故选C.8.5 解析:因为点P(4,1)为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,所以42=2p×1,解得p=8,所以|PF|=1+=5.9.x2=4y 解析:因为抛物线C焦点在y轴上,所以设抛物线方程为x2=my.又抛物线过点(2,1),所以22=m,即m=4,所以抛物线方程为x2=4y.10.C 解析:设P(x0,y0),则|PQ|=y0+1.由抛物线的定义可得|PQ|=|PF|,所以y0+1=4,即y0=3.又=4y0,所以=12,不妨设点P位于第一象限,则x0=2,即P(2,3),所以Q(2,-1),所以|QF|==4,所以|PQ|=|PF|=|QF|,所以△FQP为等边三角形,所以∠FQP=60°.故选C.11.A 解析:由题可知抛物线方程为y2=16x,曲线C:(x-5)2+(y-1)2=4.过点P作PA垂直于准线x=-4,垂足为A(图略),则|PA|=|PF|,\n所以|PF|+|PQ|=|PA|+|PQ|.要使|PA|+|PQ|最小,则需A,P,Q三点共线且QA最小,所以最小值为9-2=7.故选A.12.A 解析:抛物线x2=y的焦点为F,故A错误;根据抛物线的性质可得,MN过点F时,x1x2=-,故B正确;若=λ,则|MN|的最小值为抛物线的通径长,为2p=,故C正确;由题可知,抛物线x2=y的焦点为F,准线方程为y=-,过点M,N,P作准线的垂线MM',NN',PP'(图略),则|MM'|=|MF|,|NN'|=|NF|,|MM'|+|NN'|=|MF|+|NF|=,所以|PP'|=,所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP'|-,故D正确.故选A.13.y2=4x 解析:由题可知=cos45°=,所以|BF|=p,所以|AF|=p,所以点A到准线的距离d=p,所以S△ABC=|BC|×d=×2p×p=4(p>0),解得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.14.(1)解由抛物线的定义,可知|MF|=m+=2.①因为点M(2,m)在抛物线C上,所以2pm=4.②由①②解得p=2,m=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)证明①当x0=0,即点P为原点时,显然符合;\n②当x0≠0,即点P不在原点时,由(1)得x2=4y,即y=,则y'=x,所以抛物线C在点P处的切线l0的斜率为x0,所以抛物线C在点P处的切线l0的方程为y-y0=x0(x-x0).又=4y0,所以y-y0=x0(x-x0)可化为y=x0x-y0.过点F(0,1)且与切线l0垂直的直线方程为y-1=-x.由消去x,得y=-(y-1)-y0.因为=4y0,所以y=-yy0,即(y0+1)y=0.由y0>0,可知y=0,即垂足必在x轴上.综上所述,过点F作切线l0的垂线,垂足必在x轴上.
