课时规范练43 双曲线基础巩固组1.(2021全国甲,文5)点(3,0)到双曲线=1的一条渐近线的距离为( )A.B.C.D.2.双曲线C:=1(a>0,b>0)过点(),且离心率为2,则该双曲线的标准方程为( )A.x2-=1B.-y2=1C.x2-=1D.-y2=13.已知双曲线=1(a>4)的实轴长是虚轴长的3倍,则实数a=( )A.5B.6C.8D.94.(2021山东济南一模)已知双曲线=1(m>0)的渐近线方程为x±y=0,则m=( )A.B.-1C.D.25.(2021山东淄博一模)定义实轴长与焦距之比为黄金数的双曲线叫黄金双曲线,若双曲线=1(a>0,b>0)是黄金双曲线,则等于( )A.B.C.D.6.已知方程=1表示的曲线是双曲线,其离心率为e,则( )A.-<m<B.点(2,0)是该双曲线的一个焦点C.1<e<\nD.该双曲线的渐近线方程可能为x±2y=07.已知曲线C:mx2+ny2=1.下列说法错误的是( )A.若m>n>0,则曲线C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n>0,则曲线C是圆,其半径为C.若mn<0,则曲线C是双曲线,其渐近线方程为y=±xD.若m=0,n>0,则曲线C是两条直线8.(2021全国乙,理13)已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则双曲线C的焦距为 . 9.已知双曲线有一个焦点F(0,-2),它的离心率是方程2x2-5x+2=0的一个根,则双曲线的标准方程是 . 综合提升组10.(2021山东滨州二模)已知F1,F2分别是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P是双曲线C上在第一象限内的一点,若sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,则双曲线C的离心率的取值范围为( )A.(1,2)B.(1,3)C.(3,+∞)D.(2,3)11.已知直线y=x与双曲线=1(a>0,b>0)无公共点,则双曲线离心率可能为( )A.1B.C.D.12.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,A,B分别是双曲线C的左、右顶点,点P是双曲线C的右支上位于第一象限内的动点,记PA,PB的斜率分别为k1,k2,则( )A.双曲线C的焦点到其一条渐近线的距离为1时,双曲线C的方程为x2-=1B.双曲线C的渐近线方程为y=±2xC.k1k2为定值D.存在点P,使得k1+k2=113.(2021山东泰安三模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点O是坐标原点,过点F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,PF1交双曲线的另一条渐近线于点Q,且满足3=2,则双曲线的渐近线的斜率为 . \n14.(2021浙江绍兴模拟)已知双曲线C1:=1(b>0)的右焦点为F,其一条渐近线的方程为x-2y=0,点P为双曲线C1与圆C2:(x+3)2+y2=r2(r>0)的一个交点,若|PF|=4,则双曲线C1的离心率为 ,r= . 创新应用组15.(2021山东临沂二模)点F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作直线AB⊥F1F2交双曲线C于A,B两点,现将双曲线所在平面沿直线F1F2折成平面角为锐角α的二面角,如图,翻折后A,B两点的对应点分别为A',B',∠A'F1B'=β,若,则双曲线C的离心率为( )A.B.C.2D.3\n课时规范练43 双曲线1.A 解析:由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=x,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为.故选A.2.A 解析:因为e==2,所以c=2a,b=a,所以双曲线的方程为=1.将点()的坐标代入双曲线的方程可得=1,解得a=1,所以b=,所以双曲线的方程为x2-=1.故选A.3.A 解析:因为双曲线=1(a>4)的实轴长是虚轴长的3倍,所以=3,解得a=5.故选A.4.A 解析:∵渐近线y=±x=±x,∴,∴,∴m=.故选A.5.A 解析:由题可知,所以2a2=(3-)c2=(3-)(a2+b2),解得.故选A.\n6.A 解析:对于A,因为方程=1表示的曲线是双曲线,所以(m2-2)(m2+2)<0,解得-<m<,故选项A正确;对于B,=1可化为=1,所以双曲线的焦点在y轴上,故选项B错误;对于C,因为2≤m2+2<4,所以e2=∈(1,2],故选项C错误;对于D,因为双曲线的渐近线斜率的平方k2=≥1,所以选项D错误.故选A.7.B 解析:∵m>n>0,∴>0.∵mx2+ny2=1,∴=1,∴曲线C是焦点在y轴上的椭圆,故A正确;∵m=n>0,∴x2+y2=,即曲线C是圆,∴r=,故B错误;由mx2+ny2=1,得=1.∵mn<0,异号,∴曲线C是双曲线.令mx2+ny2=0,可得y2=-x2,即y=±x,故C正确;当m=0,n>0时,有ny2=1,得y2=,即y=±,表示两条直线,故D正确.故选B.8.4 解析:由双曲线方程可知其渐近线方程为±y=0,即y=±x,得-=-,\n解得m=3,可得C的焦距为2=4.9.y2-=1 解析:由2x2-5x+2=0得x1=2,x2=.因为双曲线的离心率e>1,所以e=2.由题可得c=2,所以e==2,解得a=1,所以b=.因为双曲线的焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程为y2-=1.10.A 解析:在△PF1F2中,因为sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,所以|PF1|=3|PF2|.又点P是双曲线C上在第一象限内的一点,所以|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=3a,|PF2|=a.在△PF1F2中,由|PF1|+|PF2|>|F1F2|得3a+a>2c,即2a>c,所以e=<2.又e>1,所以1<e<2.故选A.11.B 解析:双曲线的一条渐近线为y=x.因为直线y=x与双曲线无公共点,故有0<≤1.即=e2-1∈(0,1],所以1<e2≤2,所以1<e≤.故选B.12.C 解析:因为双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,所以e=,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x,B不符合题意;\n因为双曲线的焦点(c,0)到渐近线的距离为1,所以b=1.又,所以a=2,所以双曲线方程为-y2=1,A不符合题意;因为A(-a,0),B(a,0),设P(x,y),则k1k2=,C符合题意;k1+k2=.因为点P在第一象限,渐近线方程为y=±x,所以0<kOP<,所以>2,所以k1+k2>1,所以不存在点P,使得k1+k2=1,D不符合题意.故选C.13.± 解析:不妨设直线PF2垂直于渐近线y=x,由解得点P.又,且F1(-c,0),所以Q.又点Q在直线y=-x上,所以=-,所以b2=3a2.故双曲线的渐近线的斜率为±.14. 8 解析:因为a=2,一条渐近线的方程为x-2y=0,所以b=,所以c==3,所以双曲线C1的离心率为e=.由上可知圆C2的圆心为双曲线C1的左焦点,设双曲线C1的左焦点为F2.因为|PF|=4<a+c,所以点P在双曲线的右支上.又|PF2|-|PF|=2a=4,所以r=|PF2|=8.\n15.D 解析:设A'F2=y,A'B'=x,A'F1=z(x,y,z均为正数).∵cosα=,cosβ=,∴,∴,∴在Rt△A'F1F2中,,∴3b2=8ac,即3(c2-a2)=8ac,即3e2-8e-3=0,解得e=3或e=-(舍去).故选D.
