2023届高考数学一轮复习单元测试--第三章圆锥曲线的方程B卷（Word版附解析）

2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第三章圆锥曲线的方程B卷培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知点，，动点到直线的距离为，，则（）A．点的轨迹是圆B．点的轨迹曲线的离心率等于C．点的轨迹方程为D．的周长为定值2．点在双曲线上，、是双曲线的两个焦点，，且的三条边长满足，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．53．已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与其左支交于点，若存在，使，，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．已知､分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上一点满足，直线与该双曲线的左支交于点，且恰好为线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．6．已知直线，动点在椭圆上，作交\n于点，作交于点.若为定值，则（）A．B．C．D．7．设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，且，，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知、是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点，使得点，且存在△，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m（0＜m＜）与椭圆交于A，B两点，下列结论正确为（）A．|AF|+|BF|为定值B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]C．当m＝时，△ABF为直角三角形\nD．当m＝1时，△ABF的面积为．10．设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆M与圆O：交于，两点，若，则下列选项正确的是（）A．曲线的离心率为B．圆心到双曲线的渐近线的距离为C．所在直线方程为D．直线被双曲线的渐近线截得的线段长为11．已知，分别为双曲线的左右焦点，，分别为其实轴的左右端点，且，点为双曲线右支一点，为的内心，则下列结论正确的有（）A．离心率B．点的横坐标为定值C．若成立，则D．若垂直轴于点，则12．已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则（）A．点的纵坐标的取值范围是B．等于点到抛物线的准线的距离C．圆的圆心到抛物线的准线的距离为2D．周长的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知抛物线C：的焦点为F，在C上存在A.B两点满足，且点A在x轴上方，以A为切点作C的切线l，l与该抛物线的准线相交于点M，则点M到直线AB的距离为__________.\n14．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．15．已知椭圆：()与双曲线：(，)有相同的焦点，，其中为左焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，，分别为曲线，的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为________.16．如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为厘米，底面半径为厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为_____四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知①如图，长为，宽为的矩形，以、为焦点的椭圆恰好过两点.②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆.（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，过椭圆右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交椭圆两点，在轴上是否存在点，使得恰为的平分线？\n18．已知椭圆经过点，点为椭圆的上顶点，且直线与直线相互垂直.（1）求椭圆的方程；（2）若不垂直轴的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点在轴上方)，直线分别与轴交于两点，为坐标原点，求证：.\n19．已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合.过F且与x轴重直的直线交于A，B两点，交于C，D两点，且.（1）求的离心率；（2）若的四个顶点到的准线距离之和为6，求与的标准方程.\n20．已知直线：与轴交于点，且，其中为坐标原点，为抛物线：的焦点.（1）求拋物线的方程；（2）若直线与抛物线相交于，两点(在第一象限)，直线，分别与抛物线相交于，两点（在的两侧），与轴交于，两点，且为中点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，求的面积的取值范围.21．如图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别40m，m，30m，试根据上述尺寸计算视图中该双曲线的标准方程（m为长度单位米）；\n22．已知双曲线经过点，两个焦点为，．（1）求的方程；（2）设是上一点，直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：当点在上移动时，为定值，并求此定值一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知点，，动点到直线的距离为，，则（）A．点的轨迹是圆B．点的轨迹曲线的离心率等于C．点的轨迹方程为D．的周长为定值【答案】C\n【解析】解：点，，动点到直线的距离为，，设动点的坐标为，可得：，化简得点的轨迹方程为，所以的轨迹是椭圆，所以A错误，C正确；离心率为：，所以B不正确；△的周长为定值：，所以D不正确；故选：C．2．点在双曲线上，、是双曲线的两个焦点，，且的三条边长满足，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．5【答案】D【解析】设点在双曲线的右支上，则，，因为，所以，，因为，所以是直角三角形，所以所以，即，所以，解得：或（舍），所以此双曲线的离心率是，故选：D.3．已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】\n显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，设是第一象限内使得为等腰三角形的点，若，则，又，消去整理得：，解得(舍去)或，同得，所以，即，若，则，又，消去整理得：，解得或，舍去．所以，所以，即，时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意．综上，的范围是．故选：D．4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与其左支交于点，若存在，使，，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】存在，使，说明为线段上的点，说明，即为直角，过且斜率为的直线与其左支交于点，说明，所以△\n为等腰直角三角形，所以在轴上，是在上的投影，是在上的投影，分别是线段和的长度，，说明,∴,∴△≌△,∴△为等腰直角三角形，,∴双曲线的离心率为,故选：D.5．已知､分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上一点满足，直线与该双曲线的左支交于点，且恰好为线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意，令，则有，令，由双曲线定义得，而点P是QF1中点且在双曲线左支上，则，在中，，即，解得，则，，\n在中，，即，，于是得，，所以双曲线C的渐近线方程为.故选：C6．已知直线，动点在椭圆上，作交于点，作交于点.若为定值，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示：，易知由四边形OMPN是平行四边形，所以为定值，取点时，由，解得，所以，由对称性得：，所以，取点时，由，解得，所以，由对称性得：，\n所以，所以，即，故选：C7．设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，且，，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设双曲线的左焦点为，设，则根据题意得，则双曲线的离心率为，令，易知在单调递增，\n且，则，即.故选：C.8．已知、是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点，使得点，且存在△，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A选项，，、，，所以，，到焦点距离的最小值为，最大值为，假设存在点，满足，则，解得，不合乎题意，所以A选项中的椭圆不存在“点”；对于B选项，，、，，所以，，到焦点距离的最小值为，最大值为，假设存在点，满足，则，解得，不合乎题意，所以B选项中的椭圆不存在“点”；对于C选项，双曲线的方程为，则双曲线的两个焦点为、，，，若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为，\n则，可得，即双曲线存在“点”；对于D选项，双曲线的标准方程为，则，，、，所以，，若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为，则，解得，所以D选项中的双曲线不存在“点”.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m（0＜m＜）与椭圆交于A，B两点，下列结论正确为（）A．|AF|+|BF|为定值B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]C．当m＝时，△ABF为直角三角形D．当m＝1时，△ABF的面积为．【答案】ACD【解析】设椭圆的左焦点为，则∴为定值，A正确；由椭圆，可得，则，\n因为，所以的取值范围是，的周长为，因为为定值6∴的周长的范围是，B错误；将与椭圆方程联立，可解得，又∵，∴，所以∴是直角三角形，C正确；将与椭圆方程联立，解得，，∴，D正确.故选：ACD.10．设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆M与圆O：交于，两点，若，则下列选项正确的是（）A．曲线的离心率为B．圆心到双曲线的渐近线的距离为C．所在直线方程为D．直线被双曲线的渐近线截得的线段长为【答案】ACD【解析】依题意，以为直径的圆M：，与圆O：联立得，，故由知，垂直x轴，也是圆M的一条直径，过圆心，即，故，即，故A正确；由知，双曲线的渐近线为，\n圆心到双曲线的渐近线的距离为，故B错误；，垂直x轴，故所在直线方程为，故C正确；由代入双曲线的渐近线得，故截得的线段长为，故D正确.故选：ACD.11．已知，分别为双曲线的左右焦点，，分别为其实轴的左右端点，且，点为双曲线右支一点，为的内心，则下列结论正确的有（）A．离心率B．点的横坐标为定值C．若成立，则D．若垂直轴于点，则【答案】ABC【解析】A.，故有，则左右两边同除得，解得，故A对B.设圆与轴相切于点，与相切于点，与相切于点，则如图有故则有则有,又，故则，故，点的横坐标为定值，则B对.\nC.若成立，设内切圆半径为，则有则则，故C对D.若垂直轴于点，设则则又，故故故D错故选：ABC12．已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则（）A．点的纵坐标的取值范围是B．等于点到抛物线的准线的距离C．圆的圆心到抛物线的准线的距离为2D．周长的取值范围是【答案】BCD\n【解析】∵圆的圆心为，半径，∴与轴正半轴的交点为，∵抛物线的焦点为，准线方程为，由，得，故点的纵坐标，故A错误；由抛物线的定义可得等于点到抛物线的准线的距离，故B正确；易知圆的圆心到抛物线的准线的距离为2，故C正确；的周长为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知抛物线C：的焦点为F，在C上存在A.B两点满足，且点A在x轴上方，以A为切点作C的切线l，l与该抛物线的准线相交于点M，则点M到直线AB的距离为__________.【答案】【解析】作出抛物线的准线l：x＝﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E∵3，∴设||＝m，则||＝3m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得||＝||＝m，||＝||＝3m，\n∴||＝2m因此，Rt△ABE中，cos∠BAE，得∠BAE＝60°所以，直线AB的倾斜角∠AFx＝60°，得直线AB的斜率为tan60°．直线AB的方程为y（x﹣1），代入y2＝4x，可得3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3或x，∵A在x轴上方，∴A，∴设过A的切线的斜率为k，则切线的方程为，与联立得到，即令，可得，∴过A的切线的方程为，令x＝-1，可得∴的坐标为，又直线AB的方程为y（x﹣1）故点M到直线AB的距离：故答案为：14．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．【答案】【解析】解：由题意得：抛物线交点，直线l的倾斜角为60°，直线l的方程为，即代入抛物线方程，得\n解得（舍去）所以，于是可得故答案为：15．已知椭圆：()与双曲线：(，)有相同的焦点，，其中为左焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，，分别为曲线，的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为________.【答案】【解析】由是以为底边的等腰三角形，即，根据椭圆的定义可得，根据双曲线的定义可得，联立方程组，可得，所以，易知，则，所以，即，所以的取值范围是.故答案为:.16．如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为厘米，底面半径为厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为_____\n【答案】【解析】对圆柱沿底面直径进行纵切，如图所示:切点为，与圆柱面相交于，此时可知即为椭圆的长轴，在直角三角形中，，又因为，所以，由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即，则求得，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知①如图，长为，宽为的矩形，以、为焦点的椭圆恰好过两点.\n②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆.（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，过椭圆右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交椭圆两点，在轴上是否存在点，使得恰为的平分线？【答案】（1）（1）选①选②：（2）证明见解析，切线方程为（2）存在点【解析】（1）选①：由已知，将代入椭圆方程得：故椭圆方程为：选②：由题设可得如下示意图，易知：△为等腰三角形且，∴，又，即，∴，则，∵，∴椭圆定义知：动点到两定点的距离和为定值4，∴的轨迹方程为.（2）设直线方程为与椭圆联立得显然恒成立\n故假设在轴上是否存在点设由题意即整理得故解得，故存在点18．已知椭圆经过点，点为椭圆的上顶点，且直线与直线相互垂直.（1）求椭圆的方程；（2）若不垂直轴的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点在轴上方)，直线分别与轴交于两点，为坐标原点，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由，得.直线与直线相互垂直，则，解得.所以椭圆的方程为.（2）依题意设直线，联立和椭圆的方程得：，设，则有.，令，则，同理：.所以.\n则，分子，所以.19．已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合.过F且与x轴重直的直线交于A，B两点，交于C，D两点，且.（1）求的离心率；（2）若的四个顶点到的准线距离之和为6，求与的标准方程.【答案】（1）（2）：，：【解析】（1）根据题意，分别表示出与，构造齐次式，即可求解；（2）根据题意，结合椭圆与抛物线的性质，即可求解.（1）因为椭圆的右焦点为，其中，所以抛物线的方程为：，由于椭圆的方程为，将代入椭圆的方程，得，所以，因此；将当代入的方程，得，所以，由得，，即\n，即，所以，解得或(舍去)，所以的离心率为.（2）由（1）知，所以，，故的准线方程为：.因为的四个顶点到的准线距离之和为6，所以，解得，.所以的标准方程为，的标准方程为.20．已知直线：与轴交于点，且，其中为坐标原点，为抛物线：的焦点.（1）求拋物线的方程；（2）若直线与抛物线相交于，两点(在第一象限)，直线，分别与抛物线相交于，两点（在的两侧），与轴交于，两点，且为中点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，求的面积的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）由已知得，且为的中点，所以.所以，解得，故抛物线的方程为.（2）证明：联立，解得，，由为的中点得.不妨设，，其中.则，.所以，\n即为定值.（3）由（2）可知直线的方程为，即，与抛物线联立，消x可得，解得或（舍），所以，即，故点到直线的距离.设过点的抛物线的切线方程为，联立得，由，得，所以切线方程为，令，得，所以要使过点的直线与抛物线有两个交点，，则有，又，所以，即，故的面积的取值范围为.21．如图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别40m，m，30m，试根据上述尺寸计算视图中该双曲线的标准方程（m为长度单位米）；\n【答案】，【解析】最窄处即双曲线两顶点间，设双曲线的标准方程为：，由题意知：当（地面半径）时对应的值是，当时，的值为，，解得：，双曲线的标准方程是，.22．已知双曲线经过点，两个焦点为，．（1）求的方程；（2）设是上一点，直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：当点在上移动时，为定值，并求此定值．\n【答案】（1）（2）见解析，为定值．【解析】解：解法1：（1）由题意，所以，的方程可化为．因为的方程经过点，所以，解得，或（舍去）．于是的方程为．（2）由（1）知直线的方程为．把，分别代入得：，．又在上，所以．,所以．于是为定值．解法2：（1）由双曲线定义得．所以，因为，所以，于是的方程为