2023届高考数学一轮复习单元测试--第三章圆锥曲线的方程A卷（Word版附解析）

2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第三章圆锥曲线的方程A卷基础过关必刷卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知A，B是双曲线实轴的两个端点，M，N是双曲线上关于x轴对称的两点，直线的斜率分别为．若双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B．1C．D．2．是双曲线：右支上第一象限内的一点，，是左、右焦点，的内切圆是圆，当圆的面积为时，直线的斜率为（）A．B．或0C．0D．3．已知椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为（）A．3B．2C．D．4．已知双曲线，直线，若l上存在点使圆与双曲线C的右支有公共点，则双曲线C的离心率取值范围为（）A．B．C．D．5．斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线于两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．6．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一\n周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（）A．2πB．3πC．2πD．4π7．已知为坐标原点，双曲线：的右焦点为，直线过点且与的右支交于，两点，若，，则直线的斜率为（）A．B．C．D．8．已知A，B是椭圆长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知双曲线的离心率等于，过的右焦点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若以为直径的圆过点(为坐标原点)，则下列说法正确的是（）A．双曲线的渐近线方程为B．直线的倾斜角为C．圆的面积等于D．与的面积之比为10．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，短轴长为2，点，在上且，直线与交于另一个点，若，则下列说法正确的是（）A．为等腰三角形B．椭圆的离心率为C．内切圆的半径为\nD．面积的最大值为11．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（）A．的方程为B．的离心率为C．的渐近线与圆相切D．满足的直线仅有1条12．已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（）A．若，则点的横坐标为4B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为D．周长的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则直线的斜率为___________．14．已知、分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为_____________．15．设椭圆与双曲线的公共焦点为，将的离心率记为，点A是在第一象限的公共点，若点A关于的一条渐近线的对称点为，则________．16．直线交椭圆于，两点，．\n是椭圆的右焦点，若，则________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知椭圆过点，焦距长，一直线交椭圆于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）若点为轴上一点且=，求证：直线过定点，并求出定点坐标.18．已知椭圆的离心率为，且.（1）求椭圆的方程；（2）已知点为椭圆的左､右顶点，点为椭圆上不同于A､的任一点，在抛物线上存在两点，使得四边形为平行四边形，求的最小值.\n19．已知圆，圆，．当r变化时，圆与圆的交点P的轨迹为曲线C，（1）求曲线C的方程；（2）已知点，过曲线C右焦点的直线交曲线C于A、B两点，与直线交于点D，是否存在实数m，，使得成立，若存在，求出m，；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上的动点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，当为椭圆的上顶点时，有（1）求椭圆的离心率；（2）求的最大值．\n21．已知椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为，短轴长为4.动点在双曲线(顶点除外)上运动，直线和与椭圆的交点分别为和.（1）求椭圆的方程；（2）证明：为定值，并求出此定值.\n22．已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，且双曲线的右焦点到直线的距离为1．（1）求双曲线的标准方程；（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，点，且直线与直线交于点，求证：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知A，B是双曲线实轴的两个端点，M，N是双曲线上关于x轴对称的两点，直线的斜率分别为．若双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B．1C．D．【答案】D【解析】由题设可设，，则，故，因为双曲线的离心率为2，故，故，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故的最小值为.故选：D.2．是双曲线：右支上第一象限内的一点，，是左、右焦点，的内切圆是圆，当圆的面积为时，直线的斜率为（）A．B．或0C．0D．【答案】D\n【解析】由题可得，设切点为，由双曲线定义可得，即，是切点，，，，，，设直线的斜率为，则方程为，到直线的距离为2，则，解得或，当时，三点共线，不符合题意，故直线的斜率为.故选：D.3．已知椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为（）A．3B．2C．D．【答案】D【解析】解析：因为椭圆为，所以a=5，b=3，；当△MF1F2的面积最大时，点M在椭圆C的短轴顶点，不妨设点M为椭圆C的上顶点，点O为坐标原点，△MF1F2内切圆半径为r，则|MF1|=|MF2|=a=5，|F1F2|=2c=8，|OM|=b=3，，所以，\n故选:D.4．已知双曲线，直线，若l上存在点使圆与双曲线C的右支有公共点，则双曲线C的离心率取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知渐近线与其平行线间的距离要小于，即，且，所以，解得.5．斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线于两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设的中点为，设，则，得，则，设直线的倾斜角为，又，所以，可得，所以直线的倾斜角为，则的斜率为\n，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故选：6．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（）A．2πB．3πC．2πD．4π【答案】C【解析】该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设代入双曲线方程可得，即，\n作差可得，解得，所以杯身最细处的周长为.故选：C7．已知为坐标原点，双曲线：的右焦点为，直线过点且与的右支交于，两点，若，，则直线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，，由题可知，是线段的中点，，∴，∵，分别是双曲线右支上的点，∴两式相减并整理得，∴，即，又，∴，∴.故选：B8．已知A，B是椭圆长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设点，则椭圆的对称性知，不妨令，而点A(-a，0)，B(a，0)，则，显然有，则，因椭圆的离心率为，即，\n，则，因，所以，当且仅当时取“=”，即的最小值为为.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知双曲线的离心率等于，过的右焦点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若以为直径的圆过点(为坐标原点)，则下列说法正确的是（）A．双曲线的渐近线方程为B．直线的倾斜角为C．圆的面积等于D．与的面积之比为【答案】ACD【解析】根据题意可得，，解得，所以双曲线的方程为，所以双曲线的渐近线方程为，故选项A正确；因为以为直径的圆过点，所以，根据（1）渐近线为，可得渐近线倾斜角，易知，所以，所以直线的倾斜角为或，故选项B错误；根据双曲线的对称性，不妨设直线的倾斜角为，由可得直线的方程为，分别与渐近线方程和联立，解得或，则，，此时，故圆的半径，其面积，故选项C正确；因为为与的公共边，所以与的面积之比等于\n，故选项D正确.故选：ACD10．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，短轴长为2，点，在上且，直线与交于另一个点，若，则下列说法正确的是（）A．为等腰三角形B．椭圆的离心率为C．内切圆的半径为D．面积的最大值为【答案】BCD【解析】由题意知，所以点，，在以为圆心，为直径的圆上，所以.设，由于，所以，，故不是等腰三角形，故A错误.根据椭圆的定义可知，，所以，所以，则.又，所以为等腰直角三角形，可得.由题意知，所以，，所以椭圆的标准方程为，离心率为，故B正确.易知的面积，设的内切圆半径为，则\n，即，所以，故C正确.不妨令，又，所以直线的方程为，设，则点到直线的距离，其中，所以，因为，所以面积的最大值为，故D正确.故选：BCD11．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（）A．的方程为B．的离心率为C．的渐近线与圆相切D．满足的直线仅有1条【答案】AC【解析】设点，由已知得，整理得，所以点的轨迹为曲线的方程为，故A正确；又离心率，故B不正确；圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为，又圆的半径为1，故C正确；直线与曲线的方程联立整理得，设，，且，\n有，所以，要满足，则需，解得或或，当,此时，而曲线E上，所以满足条件的直线有两条，故D不正确，故选：AC.12．已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（）A．若，则点的横坐标为4B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为D．周长的最小值为【答案】ACD【解析】解：因为双曲线的方程为，所以，，则，因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以，即，选项A：若，则点的横坐标为，所以选项A正确；选项B：因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为，所以选项B错误；选项C：因为、，所以外接圆的圆心的横坐标为1，又因为外接圆与抛物线的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，所以，所以该外接圆面积为，所以选项C正确；选项D：因为的周长为\n，所以选项D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则直线的斜率为___________．【答案】【解析】解：由可得，，所以焦点，已知一平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射，则令，代入，得，可得，由于光线经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，由抛物线的光学性质可知，反射光线经过焦点，即直线经过，所以，所以直线的斜率为.故答案为：.14．已知、分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为_____________．【答案】【解析】延长交于点，∵是的平分线，\n，，又是中点，所以，且，又，，，．故答案为：.15．设椭圆与双曲线的公共焦点为，将的离心率记为，点A是在第一象限的公共点，若点A关于的一条渐近线的对称点为，则________．【答案】2【解析】由题意可得焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，则由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得，所以，因为点A关于的一条渐近线的对称点为，所以双曲线的一条渐近线是线段的中垂线，所以，所以，所以，即，所以，所以，\n故答案为：2.16．直线交椭圆于，两点，．是椭圆的右焦点，若，则________．【答案】【解析】如图，连接,,因为,,所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为矩形，所以,则,又直线可知,则,根据勾股定理可知：，由椭圆定义可知：，所以.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知椭圆过点，焦距长，一直线交椭圆于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）若点为轴上一点且=，求证：直线过定点，并求出定点坐标.\n【答案】（1）（2）证明见解析，定点或【解析】（1）根据椭圆定义求出，再根据得到，则椭圆方程即可求出；（2）当直线的斜率存在时，设直线方为：，和椭圆方程联立，利用韦达定理计算=，可得关系，进而可得直线所过定点，验证当直线的斜率不存在时的情况，最终定点可求出.（1）椭圆的两焦点为，由椭圆的定义得：所以，椭圆标准方程为；（2）当直线的斜率存在时，设直线方为：，代入中，整理得，设点，则有所以，，，即，\n整理得：，即或，即或由得所以直线方程为：或,所以直线过定点或；当直线的斜率不存在时，直线的方程为和满足题意，所以直线过定点或.18．已知椭圆的离心率为，且.（1）求椭圆的方程；（2）已知点为椭圆的左､右顶点，点为椭圆上不同于A､的任一点，在抛物线上存在两点，使得四边形为平行四边形，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）由题意得：，解得（2）由（1）知，设，，，\n连接设交于四边形为平行四边形，为的中点且与轴既不垂直也不平行，设，与联立消得（*）则是（*）的二根，，且，即①，，，得，点在曲线上，代入可得，即令，其中\n由②得代入③得代入①得解得，，，的最小值为.19．已知圆，圆，．当r变化时，圆与圆的交点P的轨迹为曲线C，（1）求曲线C的方程；（2）已知点，过曲线C右焦点的直线交曲线C于A、B两点，与直线交于点D，是否存在实数m，，使得成立，若存在，求出m，；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在；，．【解析】解：（1）由题意可知，，，所以，所以曲线C为以、为焦点的椭圆，且，，，所以曲线C的方程为．（2）假设存在，由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，，，联立|，消去y整理得，，则，，所以\n，，因为，所以，所以，，得，所以存在，使成立．20．已知椭圆分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上的动点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，当为椭圆的上顶点时，有（1）求椭圆的离心率；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当为椭圆的上顶点时，又因为，所以，所以，（2）方法一：设，\n，又点在椭圆上，则，，又，，，同理用"“代替”，，又，所以的最大值为方法二：设，，由得，即，，即，同理，，又，，\n又，所以的最大值为21．已知椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为，短轴长为4.动点在双曲线(顶点除外)上运动，直线和与椭圆的交点分别为和.（1）求椭圆的方程；（2）证明：为定值，并求出此定值.【答案】（1）；（2）证明见解析，【解析】解：（1）由题意可知，，则，，椭圆的方程为（2）设，则，由题意椭圆的两个焦点，刚好是双曲线的两个顶点，不妨取，，则.故设直线的方程为，直线的方程为，则，，联立设，，，，同理，\n为定值，且定值为.22．已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，且双曲线的右焦点到直线的距离为1．（1）求双曲线的标准方程；（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，点，且直线与直线交于点，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】解：（1）由题知双曲线的渐近线方程为，∵双曲线的一条渐近线与直线：垂直，∴，即．设，∴，∴．∵，∴，∴，，故双曲线的标准方程为．（2）由（1）可得，，．①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，结合双曲线的方程可得，若，，则直线的方程为，直线的方程为，由直线与直线的方程可得，∴点在直线上，又的垂直平分线为直线，∴．若，，则直线的方程为，直线的方程为，由直线与直线的方程可得，∴点在直线上，\n又的垂直平分线为直线，∴．②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，由题可知，联立，得，消去可得，由直线与双曲线有两个交点，得，，．∵直线的方程为，直线的方程为，∵，两边同时平方得，又，，∴，∴，解得或．由题易知，当时，，矛盾，舍去，故，即点在直线上，\n又的垂直平分线为直线，∴