易错点6函数零点存在定理一、单选题1.函数的零点个数是（）A.0B.1C.2D.32.函数fx=22-x-lnx(提示：e≈2.718)的零点所在区间为（）A.0,1B.1,2C.2,3D.3,43.已知a是函数f(x)=2x-log12x的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足（）A.f(x0)=0B.f(x0)>0C.f(x0)<0D.f(x0)的符号不确定4.若函数y=f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)=0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)⋅f(4)的值（）A.大于0B.小于0C.等于0D.无法判断5.下列结论正确的是（）A.若f(x)在区间[a,b]上连续不断，且f(x)在(a,b)内没有零点，则f(a)·f(b)>0．B.命题“三角形的内角和是180∘”的否命题是“三角形的内角和不是180∘”.C.“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的必要不充分条件．D.给定两个命题p，q，若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件．6.函数f(x)=lnx-3x在下列所给的区间内存在零点的是（）A.0,1B.1,2C.2,3D.3,47.函数f(x)=2mx+4，若在(-2,1)内恰有一个零点，则m的取值范围是（）A.(-1,2)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.[-2,1]8.“f(a)⋅f(b)<0”是“定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)有零点”的（）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件二、单空题\n1.已知函数f(x)=2lgx+x-4的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上，则k=____．2.函数f(x)=(x-1)ln xx-3的零点是________.3.设函数f(x)=2-x,x<1log2x,x≥1，若函数y=f(x)-k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是______．三、解答题4.已知函数f(x)=lnx-x+1，g(x)=lnx-ex+2．(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)的零点个数；(2)证明：g(x)<0在(0,+∞)上恒成立．5.已知函数fx=ex-1，gx=x+x，其中e是自然对数的底数，e=2.718 28…。(1)证明：函数hx=fx-gx在区间(1,2)上有零点；(2)求方程fx=gx的根的个数，并说明理由。\n已知向量a=cosx,-sinx，b=3cosx,cosx，若fx=a⋅b．(1)求f(x)的单调递减区间；(2)求函数fx在区间0,2π上的零点一、单选题1.函数的零点个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】解：可知，当x>0时，令lnx=0，解得x=1，函数与x轴有一个交点，为(1,0)，当x≤0时，令-x(x+2)=0，解得x=0或x=-2，函数与x轴有两个交点，为(0,0)或(-2,0)，所以函数与x轴有三个交点，所以函数一共有三个零点，故选D．2.函数fx=22-x-lnx(提示：e≈2.718)的零点所在区间为（）A.0,1B.1,2C.2,3D.3,4【答案】C【解析】解：∵f(1)=2>0，f(1)f(2)=2(1-ln2)>0，排除Bf(2)f(3)=(1-ln2)(12-ln3)<0，一定有零点故选：C．3.已知a是函数f(x)=2x-log12x的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足（）A.f(x0)=0B.f(x0)>0C.f(x0)<0D.f(x0)的符号不确定【答案】C【解析】解：∵f(x)=2x-log12x在(0,+∞)上是增函数，a是函数f(x)=2x-log12x的零点，即f(a)=0，∴当0<x0<a时，f(x0)<0，故选C\n．1.若函数y=f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)=0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)⋅f(4)的值（）A.大于0B.小于0C.等于0D.无法判断【答案】D【解析】解；满足题中要求的函数y=f(x)图象可以有以下两种情况由这两个图形得，f(0)f(4)<0，由于f(x)定义在区间(0,4)上，即有f(0)=0或f(4)=0．故选D．2.下列结论正确的是（）A.若f(x)在区间[a,b]上连续不断，且f(x)在(a,b)内没有零点，则f(a)·f(b)>0．B.命题“三角形的内角和是180∘”的否命题是“三角形的内角和不是180∘”.C.“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的必要不充分条件．D.给定两个命题p，q，若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件．【答案】D【解析】A.若f(a)=0或f(b)=0，则结论不正确；B.命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“非三角形的多边形内角和不是180°”，B错误；C.“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分不必要条件，错误；D.若p是q的充分不必要条件，则由p可得q，由q不能得p，所以由¬q可得¬p，由¬p不能得¬q，所以¬p是¬q的必要不充分条件，正确．故选D．3.函数f(x)=lnx-3x在下列所给的区间内存在零点的是（）A.0,1B.1,2C.2,3D.3,4【答案】C\n【解析】解：函数，，，∴函数的零点所在区间是2,3．故选C．1.函数f(x)=2mx+4，若在(-2,1)内恰有一个零点，则m的取值范围是（）A.(-1,2)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.[-2,1]【答案】C【解析】函数f(x)=2mx+4，若在(-2,1)内恰有一个零点， 可得：f(-2)⋅f(1)<0并且m≠0， 可得：(4-4m)(2m+4)<0， 解得m∈(-∞,-2)∪(1,+∞) 函数f(x)=2mx+4，若在[-2,1]内恰有一个零点，则m的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞). 故选C.2.“f(a)⋅f(b)<0”是“定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)有零点”的（）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由“f(a)⋅f(b)<0”不能推出“定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)有零点”，函数f(x)必须连续，由“定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)有零点”也不能推出“f(a)⋅f(b)<0”，f(a)和f(b)可能同号，所以“f(a)⋅f(b)<0”是“定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)有零点”的既不充分也不必要条件，故选D．二、单空题\n1.已知函数f(x)=2lgx+x-4的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上，则k=____．【答案】3【解析】解：∵函数f(x)=2lgx+x-4在(0,+∞)上单调递增，∵f(3)=2lg3-1<0，f(4)=2lg4>0，∴f(3)f(4)<0，∴函数的零点在(3,4)之间，∵函数f(x)=2lgx+x-4的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上，∴k=3，故答案为3．2.函数f(x)=(x-1)ln xx-3的零点是________.【答案】1【解析】解：由题意可得函数f(x)的定义域为0,3∪3,+∞，令f(x)=0，即，所以x-1=0或lnx=0，所以x=1，满足定义域，所以f(x)的零点是1．故答案为1．3.设函数f(x)=2-x,x<1log2x,x≥1，若函数y=f(x)-k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是______．【答案】(12,+∞)【解析】根据题意，若函数y=f(x)-k有且只有两个零点，则函数y=f(x)的图象与直线y=k有且只有两个交点，而函数f(x)=2-x,x<1log2x,x≥1，其图象如图，若直线y=k与其图象有且只有两个交点，必有k>12，即实数k的取值范围是(12,+∞)；故答案为：(12,+∞)．\n三、解答题1.已知函数f(x)=lnx-x+1，g(x)=lnx-ex+2．(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)的零点个数；(2)证明：g(x)<0在(0,+∞)上恒成立．【答案】解：(1)f(x)=lnx-x+1，f'(x)=1x-1=1-xx，令f'(x)=1-xx>0，得： 0<x<1，∴ f(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，故f(x)≤f(1)=0，即f(x)在(0,+∞)的零点个数为1．(2)法1：g(x)=lnx-ex+2，令g'(x)=1x-ex=h(x)，h'(x)=-1x2-ex<0，∴h(x)即g'(x)在(0,+∞)递减，g'(12)=2-e>0，g'(1)=1-e<0，∴存在x0∈(12,1)使得g'(x0)=1x0-ex0=0，即ex0=1x0，x0=-lnx0，∴在(0,x0)上g'(x)>0，g(x)单调递增，在(x0,+∞)上g'(x)<0，g(x)单调递减，g(x)max=lnx0-ex0+2=-x0-1x0+2<0，即g(x)<0在(0,+∞)恒成立. 法2：由(1)知f(x)=lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1，当且仅当x=1时取“=”，∴ln(x+1)≤x，∴eln(x+1)≤ex，即x+1≤ex，当且仅当x=0时取“=”， ∴1+lnx≤x≤ex-1，且两个等号不能同时取到，∴lnx-ex+2<0，故：g(x)<0在(0,+∞)上恒成立．2.已知函数fx=ex-1，gx=x+x，其中e是自然对数的底数，e=2.718 28…。(1)证明：函数hx=fx-gx在区间(1,2)上有零点；(2)求方程fx=gx的根的个数，并说明理由。【答案】(1)证明：由h(x)=f(x)-g(x)ex-1-x-x，得h(1)=e-3<0，h(2)=e2-3-2>0，\n所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点；(2)解：由(1)得h(x)=e2-1-x-x由g(x)=x+x知，又h(0)=0，则x=0为h(x)的一个零点，而h(x)在(1,2)上有零点，因此h(x)在上至少有两个零点，因为h'(x)=ex-12x-12-1，记φ'(x)>0，因此φ(x)在上单调递增，即h'(x)在上单调递增，又h'(x)>h'(0)=0，∴h(x)在上单调递增，又h(x)在(1,2)上有零点，∴h(x)在上有一个零点，∴h(x)在上有且只有两个零点，∴方程f(x)=g(x)的根的个数为2．1.已知函数fx=x2-ax+2，在下列条件下，求实数a的取值范围．(1)零点均小于2；(2)一个零点大于2，一个零点小于2；(3)在区间(-4,-3)上恰有一个零点．【答案】解：由题意得(1)△=a2-8≥0a2<2f(2)=6-2a>0解得，22≤a<3或a≤-22，则实数a的取值范围是[22,3)∪(-∞,-22]．(2)f(2)=6-2a<0，解得a<3，则实数a的取值范围是-∞,3．(3)若在区间(-4,-3)上恰有一个零点，则f-4·f-3<0或Δ=a2-8=0-4<a2<-3解得，-92<a<-113或a∈⌀，综上，实数a的取值范围是-92,-113．\n1.已知向量a=cosx,-sinx，b=3cosx,cosx，若fx=a⋅b．(1)求f(x)的单调递减区间；(2)求函数fx在区间0,2π上的零点．【答案】，要求函数fx的减区间，即求的增区间，则有2kπ-π2⩽2x-π3⩽2kπ+π2,k∈Z，解得kπ-π12⩽x⩽kπ+5π12,k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为[kπ-π12,kπ+5π12]，k∈Z;(2)由f(x)=0得 ，∵x∈[0,2π]，则2x-π3∈[-π3,11π3]，要使，则2x-π3=π3,2π3,7π3,8π3解得x=π3,π2,4π3,3π2，故函数fx的零点为π3,π2,4π3,3π2
