2022年普通高等学校招生全国统一考试（山东模拟卷）数学（理科）本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带；不按以上要求作答的答案无效．4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．参考公式：如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件A，B独立，那么P（AB）=P（A）·P（B）．一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1.已知集合，集合，若，则集合的子集个数为A.1B.2C.3D.42.复数的共轭复数是A． B． C．－i D．i开始任意输入y(0≤y≤1)y≤x2？输出数对（x,y）结束是否3.已知；，若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围为A．或B．或C．D．4.执行右图的程序框图，任意输入一次与，则能输出数对的概率为A． B． C． D．5.如果函数的图像关于直线对称，则的最小值为A． B． C． D．6.图（1）-8-是根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十正视图侧视图俯视图位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是A．161cmB．162cmC．163cmD．164cm图（1）任意输入x(0≤x≤1)7.如右上图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为和，腰长为的等腰梯形，则该几何体的体积是....8.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，切当时，，则的值为A． B． C． D．9．设满足约束条件若目标函数的最大值为8，则的最小值为A．2B．4C．6D．810．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的渐近线方程为A． B．C．D．11．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是ABCD12．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为Ａ．>> Ｂ．>>Ｃ．>>Ｄ．>>二、填空题:本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置.13．已知二项式展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为OABCDA1B1C1D1·14．给定个长度为且互相垂直的平面向量和,点在以为圆心的圆弧-8-上运动，若+，其中，则的最大值为15．如图，已知球是棱长为的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为16．给出下列四个命题:①已知函数，则；②设回归直线方程为；当变量增加一个单位时，平均增加个单位；③已知服从正态分布,，且，则④对于命题：,使得，则：，均有.其中判断正确的序号是:三、解答题:本大题共6个小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17．（本小题满分12分）已知向量，，．（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）记△的内角的对边分别为．若，，求的值.18．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列满足为正整数，且是等差中项．（1）求数列通项公式；（2）若求使成立的正整数n的最小值.19．（本小题满分12分）如图，在多面体中，,,是边长为的等边三角形，，与平面所成角的正弦值为.（1）在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由；（2）求二面角的平面角的余弦值.20．（本小题满分12分）2022年5月6日山东省下发通知要求落实职工带薪休年假制度．某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假次数进行的调查统计结果如下表所示：-8-休假次数人数根据上表信息解答以下问题：(1)从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之和，记“函数在区间，上有且只有一个零点”为事件，求事件发生的概率；(2)从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望.21．（本小题满分13分）已知圆：，点，，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.(1)求动点的轨迹的方程；(2)设分别是曲线上的两个不同点，且点在第一象限，点在第三象限，若，为坐标原点，求直线的斜率；(3)过点，且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.22．（本小题满分13分）已知函数（1）求的极值；（2）若函数的图象与函数=1的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围；（3）设各项为正的数列满足：，求证：．-8-高三数学（理）参考答案及评分标准一、选择题BCCBABACBBDC二、填空题13． 14．2 15． 16．①④三、解答题17．解：（1） ………3分所以， ……………………4分递减区间是； …………………………………6分（2）由得， ………………８分当时，，即，（负舍）； ……………………………………1０分当时，，即，（负舍）； …………………………………………1２分18.解：（1）由可得，，因为数列的各项均为正数，所以，…………2分即数列是公比为的等比数列.又，可求得，所以；…………4分（2）而，…………5分通过错位相减可得，，…………9分要使成立，只需，即，所以，…………11分故使成立的正整数n的最小值为6．…………12分19．解：（1）取的中点，连结，则，又，可得,所以，所以，CG=,故CD=…………2分取的中点为，的中点为,因为，，所以-8-为平行四边形，得，平面∴存在为中点，DF=时，使得……5分（2）如图建立空间直角坐标系，则、、、，从而，，。………7分设为平面的法向量，则可以取…………………9分设为平面的法向量，则取……11分因此，故二面角的余弦值为……………12分20.解:(1)函数过点，在区间上有且只有一个零点，则必有即：，解得：所以，或…………3分当时，，当时，…………5分与为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式所以…………6分(2)从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，则的可能取值分别是，…………7分于是，，，…………10分从而的分布列：-8-0123的数学期望：．…………12分21.解:(1)因为的垂直平分线交于点.所以所以动点的轨迹是以点为焦点的椭圆……………2分设椭圆的标准方程为则，，则椭圆的标准方程为……4分(2)设，则①因为则②由①②解得……………7分所以直线的斜率……………8分(3)直线方程为，联立直线和椭圆的方程得:得…………9分由题意知：点在椭圆内部，所以直线与椭圆必交与两点，设则假设在轴上存在定点，满足题设，则因为以为直径的圆恒过点,则，即:(*)因为则(*)变为…………11分-8-由假设得对于任意的,恒成立，即解得……13分因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为.………………13分22．解：（1），令，…………2分当是增函数；当是减函数；∴，无极小值…4分（2）①当时，即，由（1）知上是增函数，在上是减函数，又当时，，∴的图象在上有公共点，解得………7分②当时，上是增函数，∴所以原问题等价于又∴无解综上，实数a的取值范围是．…………9分（3）令=1，由（1）知，，假设当时，，则，故…………11分从而即．…………13分-8-
