模块提升卷(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．经过点(2，－1)且与直线x＋y－5＝0垂直的直线的方程是( )A．x＋y＋3＝0 B．x－y＋3＝0C．x＋y－3＝0D．x－y－3＝0解析：因为所求的直线与直线x＋y－5＝0垂直，故所求直线的斜率为1.又直线经过点(2，－1)，故所求直线的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.答案：D2．直线ax＋by＋4＝0和(1－a)x－y－b＝0都平行于直线x＋2y＋3＝0，则( )A.B.C.D.解析：∵直线ax＋by＋4＝0与直线x＋2y＋3＝0平行，∴＝且≠，①∵直线(1－a)x－y－b＝0与直线x＋2y＋3＝0平行，∴＝且≠，②由①②得a＝，b＝3.故选C.答案：C3．如果一个水平放置的图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A．2＋B.C.D．1＋解析：由题意得原平面图形是一个上底为1，下底为1＋，高为2的直角梯形，∴它的面积S＝×2＝2＋，故选A.答案：A4．长方体的一个顶点处的三条棱长之比为123，全面积为88，则它的对角线长为( )A.B．210C．2D.解析：设长方体的三条棱长分别为k,2k,3k，则它的全面积S＝2(2k2＋3k2＋6k2)＝88，所以k2＝4，所以对角线的长为＝2.答案：B5．设点P(a，b，c)关于原点对称的点为P′，则|PP′|＝( )A.B．2C．|a＋b＋c|D．2|a＋b＋c|解析：P(a，b，c)关于原点对称的点为P′(－a，－b，－c)，则|PP′|＝＝2.答案：B6．一正四面体木块如图所示，若P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为( )A.B.C.D.解析：过P的截面为正方形，边长为，所以面积为.答案：C7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )A．平面DD1C1CB．平面A1DCB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB解析：连接A1D、B1C，如图．由ABCD－A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D，又A1B1∩A1D＝A1，故AD1⊥平面A1DCB1.答案：B8．如图所示，定圆半径为a，圆心为(b，c)，则直线ax＋by＋c＝0与直线x－y＋1＝0的交点在( )10A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限解析：解方程组得由题意，知a>0，b<0，c>0，a<－b，a>c，－b>c，所以x＝－<0，y＝<0.故交点在第三象限．答案：B9．设α表示平面，a、b表示两条不同的直线，给定下列四个命题：①若a∥α，a⊥b，则b⊥α ②若a∥b，a⊥α，则b⊥α③若a⊥α，a⊥b，则b∥α ④若a⊥α，b⊥α，则a∥b.其中为假命题的是( )A．①③B．②③C．②④D．①③④解析：①中b还可能平行于α或与α斜交；③中b还可能在α内；②④是真命题．故选A.答案：A10．已知点P(x，y)满足(x＋2)2＋y2＝1，则的取值范围是( )A.B．C．(－∞，－]∪[，＋∞)D.∪解析：(x＋2)2＋y2＝1表示圆心为(－2,0)，半径为1的圆，过点(0,0)和P(x，y)的直线的斜率为.如图，可知这样的直线的倾斜角的范围为∪.故的取值范围为.10答案：A11．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36解析：由题意知，半径为6的圆与x轴相切，且圆心在x轴上方．设所求圆的圆心坐标为(a，b)，则b＝6，再由＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.故选D.答案：D12．若直线y＝kx－1与曲线y＝－有公共点，则k的取值范围是( )A.B.C.D．解析：曲线y＝－表示的图形是一个半圆，直线y＝kx－1过定点(0，－1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可知，k的取值范围是，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如下图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝1，则△ABC的面积为________．10解析：由直观图画法规则将△A′B′C′还原为△ABC，如图所示，则有BO＝OC＝1，AO＝2.故S△ABC＝BC·AO＝×2×2＝2.答案：214．已知点P(0，－1)，点Q在直线x－y＋1＝0上，若直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，则点Q的坐标是________．解析：设Q(x0，y0)，因为点Q在直线x－y＋1＝0上，所以x0－y0＋1＝0①又直线x＋2y－5＝0的斜率k＝－，直线PQ的斜率kPQ＝，所以由直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，得·＝－1②由①②解得x0＝2，y0＝3，即点Q的坐标是(2,3)．答案：(2,3)15．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．解析：先求弦心距，再求弦长．圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝，所以弦长为2＝2×＝2＝4.答案：416．已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．解析：本题先求出正四棱锥的高h，然后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解．∵V四棱锥O－ABCD＝××h＝，∴h＝，10∴OA2＝h2＋2＝＋＝6，∴S球＝4πOA2＝24π.答案：24π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)一几何体按比例绘制的三视图如图(单位：m)：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．解析：(1)直观图如图①.(2)解法一：由三视图可知该几何体是由长方体截去一个角而得到的，且该几何体的体积是以A1A、A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，如图②，则四边形AA1EB是正方形，∴AA1＝BE＝1m.在Rt△BEB1中，BE＝1m，EB1＝1m，∴BB1＝m.∴几何体的表面积S＝S正方形AA1D1D＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1＝1＋2××(1＋2)×1＋1×＋1＋1×2＝(7＋)m2，几何体的体积V＝×1×2×1＝m3.∴该几何体的表面积为(7＋)m2，体积为m3.解法二：该几何体可看成以四边形AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同解法一，10V直四棱柱D1C1CD－A1B1BA＝Sh＝×(1＋2)×1×1＝m3.∴该几何体的表面积为(7＋)m2，体积为m3.18．(12分)(2022·福建八县一中联考)已知直线l：kx－y＋1－2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，且|OA|＝|OB|，求k的值．解析：(1)有两种证法．证法一：直线l的方程可化为y－1＝k(x－2)，故无论k取何值，直线l总过定点(2,1)．证法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1－2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x0－2)k－y0＋1＝0恒成立，所以解得x0＝2，y0＝1，故直线l总过定点(2,1)．(2)因为直线l的方程为y＝kx－2k＋1，则直线l在y轴上的截距为1－2k，在x轴上的截距为2－，依题意1－2k＝2－>0，解得k＝－1或k＝(经检验，不合题意)，所以所求k＝－1.19．(12分)(2022·保定高一检测)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：(1)AC⊥BC1.(2)AC1∥平面B1CD.证明：(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B110所以AC⊥BC1.(2)设BC1与B1C的交点为O，连接OD，因为BCC1B1为平行四边形，所以O为B1C的中点，又D是AB的中点，所以OD是△ABC1的中位线，OD∥AC1，又因为AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD.20．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA＝AD.(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：平面PMC⊥平面PCD.证明：(1)如图，取PD的中点E，连接EN，AE.∵N是PC的中点，∴EN綊DC，又∵AM綊DC，∴EN綊AM，∴四边形AENM是平行四边形，∴AE∥MN.又∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.(2)∵PA＝AD，E是PD的中点，∴AE⊥PD.∵PA⊥平面ABCD，10∴PA⊥CD.又AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.∵AE平面PAD，∴AE⊥CD.∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD.又∵AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.∵MN平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD.21．(12分)已知圆x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值．解析：(1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，因为此方程表示圆，所以5－m>0，即m<5.(2)消去x得(4－2y)2＋y2－2×(4－2y)－4y＋m＝0，化简得5y2－16y＋m＋8＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由OM⊥ON得y1y2＋x1x2＝0即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0，所以16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.将①②两式代入上式得16－8×＋5×＝0，解之得m＝.22．(12分)已知：以点C为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．10(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．解析：(1)证明：由题意知圆C过原点O.|OC|2＝t2＋，则圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.∴S△OAB＝|OA|×|OB|＝×|2t|×＝4，即△OAB的面积为定值．(2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，∴OC垂直平分线段MN.∵kMN＝－2，∴kOC＝，∴直线OC的方程为y＝x，∵C在直线OC上，∴＝t，解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，|OC|＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，∴圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点；当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，|OC|＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，应舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.10
