第8讲一元一次不等式(组) 不等式的概念及性质不等式的有关概念用不等号连接起来的式子叫做不等式，使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解集.不等式的基本性质性质1若a＜b，则a±c＜b±c；性质2若a＜b且c＞0，则ac①____bc(或②____)；性质3若a＜b且c＜0，则ac③____bc(或④____). 一元一次不等式(组)的解法一元一次不等式的解法(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.不等式组的解法一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，并表示在数轴上，再求出他们的公共部分，就得到不等式组的解集.不等式组的解集情况(假设b＜a)x＞a同大取大x≤b同小取小b≤x＜a大小小大中间找无解大大小小无处找 不等式的应用列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：(1)审清题意；(2)设未知数；(3)列不等式；(4)解不等式；(5)⑤________作答．1．已知不等式(组)的解集确定不等式(组)中字母的取值范围有以下四种方法：(1)逆用不等式(组)解集确定；(2)分类讨论确定；(3)从反面求解确定；(4)借助数轴确定．2．列不等式(组)解应用题应紧紧抓住“至多”、“至少”、“不大于”、“不小于”、“不超过”、“大于”、“小于”等关键词列出不等量关系式，进而求解．命题点1 不等式的性质 (2022·乐山)下列说法不一定成立的是()A．若a>b，则a＋c>b＋cB．若a＋c>b＋c，则a>b10\nC．若a>b，则ac2>bc2D．若ac2>bc2，则a>b利用不等式性质1和性质2对不等式变形，不等号的方向不改变；利用不等式性质3对不等式变形，不等号的方向必须改变． 1．(2022·南充)若m＞n，下列不等式不一定成立的是()A．m＋2＞n＋2B．2m＞2nC.>D．m2>n22．(2022·乐山)若a>b，则下列不等式变形错误的是()A．a＋1>b＋1B.>C．3a－4>3b－4D．4－3a>4－3b3．下列说法中，一定成立的有()①若a<b，c>0，则ac＋c>bc＋c；②若a>0，b<0，c<0，则(a－b)c<0；③若≥，则a<b；④若a>b，则a2>b2；⑤若ac2>bc2，则a>b.A．2个B．3个C．4个D．5个命题点2 一元一次不等式的解法 (2022·巴中)解不等式：≤－1，并把解集表示在数轴上．【思路点拨】 依照解一元一次不等式的步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1进行解答．【解答】 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤相同．值得注意的是，在利用不等式的性质去分母或系数化为1时，如果两边同乘以负数，不等号一定要改变方向；另外，在数轴上表示不等式的解集时，一定要注意包含界点用实心圆点，不包含界点用空心圆圈．1．(2022·成都改编)下列数值中不是不等式2x－1>3的解的是()A．3B．4C．2D．52．(2022·南充)不等式>1的解集是________．3．(2022·自贡)解不等式：－x>1，并把解集表示在数轴上．10\n命题点3 一元一次不等式组的解法 (2022·乐山)求不等式组的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来．【思路点拨】 考查了不等式组的解法和解集在数轴上表示．先确定每个不等式的解集，再确定不等式组的解集．然后将其解集在数轴上表示．【解答】 解一元一次不等式组的步骤是：(1)求出这个不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些不等式解集的公共部分，就是求出这个不等式组的解集．确定不等式组的解集通常有两种方法：即数轴法与口诀法．1．(2022·自贡改编)不等式组的解集是()A．x＜1B．x≥C．1≤x＜D．1<x≤2．(2022·南充)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()3．(2022·广元)一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是()A．4B．5C．6D．74．(2022·宜宾)一元一次不等式组的解集是________．5．(2022·德阳改编)适合不等式组的全部整数解的和是________．6．(2022·遂宁)解不等式组并将解集在数轴上表示出来．命题点4 一元一次不等式(组)的应用 (2022·自贡)某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．(1)求该校的大小寝室每间各住多少人；(2)预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案？10\n【思路点拨】 (1)根据等量关系构造二元一次方程组求解；(2)先根据题意列出不等式组，求出不等式组的解集，再由解集的整数解的个数确定方案．【解答】 一次方程(组)与一元一次不等式(组)的综合应用的考查是中考命题热点．解决这类问题的关键是根据题意构建出一次方程(组)与一元一次不等式(组)．其中，对于“至多”、“至少”这类问题，常直接设未知数，列出不等式，解不等式求出相应的范围，最后由范围中的最小(大)整数解得到问题的答案．1．(2022·绵阳)某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足()A．n≤mB．n≤C．n≤D．n≤2．(2022·眉山)某厂为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本(每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同)作为奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元．(1)购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？(2)工会准备购买钢笔和笔记本共80件作奖品，根据规定购买的总费用不超过1100元，则工会最多可以购买多少支钢笔？3．(2022·宜宾)在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题．每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．(1)小李考了60分，那么小李答对了多少道题？10\n(2)小王获得二等奖(75～85分)，请你算算小王答对了几道题？1．(2022·西宁)不等式3x≤2(x－1)的解集为()A．x≤－1B．x≥－1C．x≤－2D．x≥－22．(2022·佛山)不等式组的解集是()A．x＞1B．x＜2C．1≤x≤2D．1＜x＜23．(2022·丽水)如图，数轴上所表示关于x的不等式组的解集是()A．x≥2B．x>2C．x>－1D．－1<x≤24．(2022·怀化)下列不等式变形正确的是()A．由a＞b得ac＞bcB．由a＞b得－2a＞－2bC．由a＞b得－a＜－bD．由a＞b得a－2＜b－25．(2022·内江)把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是() A B C D6．(2022·南充)不等式组的整数解是()A．－1，0，1B．0，1C．－2，0，1D．－1，17．(2022·东营)东营市出租车的收费标准是：起步价8元(即行驶距离不超过3千米都需付8元车费)，超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元(不足1千米按1千米计)．某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为15.5元，那么x的最大值是()A．11B．8C．7D．58．(2022·绥化)关于x的不等式组的解集为x＞1，则a的取值范围是()A．a＞1B．a＜1C．a≥1D．a≤19．(2022·德阳)不等式组的解集为________．10\n10．(2022·广安)不等式组的所有整数解的积为________．11．(2022·南京)铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm.某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为________cm.12．(2022·天津)解不等式组：请结合题意填空，完成本题的解答．(1)解不等式①，得________；(2)解不等式②，得________；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)原不等式组的解集为________．13．(2022·遵义)解不等式组：并把不等式组的解集在数轴上表示出来．14．(2022·北京)解不等式组并写出它的所有非负整数解．15．(2022·呼和浩特)若关于x、y的二元一次方程组的解满足x＋y>－，求出满足条件的m的所有正整数值．16．(2022·本溪)暑期临近，本溪某旅行社准备组织“亲子一家游”活动，去我省沿海城市旅游，报名的人数共有69人，其中成人的人数比儿童人数的2倍少3人．(1)旅游团中成人和儿童各有多少人？(2)旅行社为了吸引游客，打算给游客准备一件T恤衫，成人T恤衫每购买10件赠送1件儿童T恤衫(不足10件不赠送)，儿童T恤衫每件15元，旅行社购买服装的费用不超过1200元，请问每件成人T恤衫的价格最高是多少元？10\n17．(2022·乐山)电影《刘三姐》中，秀才和刘三姐对歌的场面十分精彩．罗秀才唱到：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得均？”刘三姐示意舟妹来答，舟妹唱道：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条财主请来当奴才．”若用数学方法解决罗秀才提出的问题，设“一少”的狗有x条，“三多”的狗有y条，则解此问题所列关系式正确的是()A.B.C.D.18．(2022·恩施)关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为()A．m＝3B．m＞3C．m＜3D．m≥319．(2022·永州)若不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是()A．－1≤m＜0B．－1＜m≤0C．－1≤m≤0D．－1＜m＜020．(2022·达州)对于任意实数m、n，定义一种运算m※n＝mn－m－n＋3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5＝3×5－3－5＋3＝10.请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是________．21．(2022·陇南)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定他的运算法则为＝ad－bc.如＝2×5－3×4＝－2.如果有＞0，求x的解集．22．(2022·桂林)“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元(注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样)．(1)求每本文学名著和动漫书各多少元；(2)若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．10\n参考答案考点解读考点1 ①＜ ②＜ ③＞ ④＞考点3 ⑤检验各个击破例1 C题组训练 1.D 2.D 3.A例2 去分母，得4(2x－1)≤3(3x＋2)－12.去括号，得8x－4≤9x＋6－12.移项，得8x－9x≤6－12＋4.合并同类项，得－x≤－2，系数化为1，得x≥2.不等式的解集在数轴上表示为：题组训练 1.C 2.x＞3 3.去分母，得4x－1－3x>3，移项，得4x－3x>3＋1，合并同类项，得x>4.不等式的解集在数轴上表示为：例3 解不等式①，得x<3；解不等式②，得x≥－1.则不等式组的解集是－1≤x<3.解集在数轴上表示出来为：题组训练 1.D 2.D 3.C 4.x> 5.0 6.解不等式①，得x>－3.解不等式②，得x≤2.原不等式组的解集为－3<x≤2.解集在数轴上表示为：例4 (1)设该校的大寝室每间住x人，小寝室每间住y人，由题意得解得答：该校的大寝室每间住8人，小寝室每间住6人．(2)设大寝室a间，则小寝室(80－a)间，由题意得解得75≤a≤80.①a＝75时，80－75＝5，②a＝76时，80－a＝4，③a＝77时，80－a＝3，④a＝78时，80－a＝2，⑤a＝79时，80－a＝1，⑥a＝80时，80－a＝0.故共有6种安排住宿的方案．题组训练 1.B 2.(1)设一支钢笔需x元，一本笔记本需y元，由题意得解得答：一支钢笔需16元，一本笔记本需10元．(2)设购买钢笔的数量为a，则笔记本的数量为80－a，由题意得16a＋10(80－a)≤1100，解得a≤50.答：工会最多可以购买50支钢笔． 10\n3.(1)设小李答对了x道题．依题意得5x－3(20－x)＝60.解得x＝15.答：小李答对了15道题．(2)设小王答对了y道题，依题意得解得≤y≤.∵y是正整数，∴y＝17或18.答：小王答对了17道题或18道题．整合集训基础过关1．C 2.D 3.A 4.C 5.B 6.A 7.B 8.D 9.－1<x≤3 10.0 11.78 12.(1)x≥3 (2)x≤5 (3)图略 (4)3≤x≤5 13.由①，得x≥－1.由②，得x＜4.故此不等式组的解集为－1≤x＜4.在数轴上表示为： 14.解不等式①，得x≥－2.解不等式②，得x<.∴原不等式组的解集为－2≤x<.因此，非负整数解为0、1、2、3. 15.①＋②，得3(x＋y)＝－3m＋6，∴x＋y＝－m＋2.∵x＋y>－，∴－m＋2>－.解得m<.∵m为正整数，∴m＝1、2、3. 16.(1)设旅游团中儿童有x人，则成人有(2x－3)人，根据题意得x＋(2x－3)＝69，解得x＝24.则2x－3＝2×24－3＝45.答：旅游团中成人有45人，儿童有24人．(2)∵45÷10＝4.5，∴可赠送4件儿童T恤衫，设每件成人T恤衫的价格是m元，根据题意可得45m＋15(24－4)≤1200，解得m≤20.答：每件成人T恤衫的价格最高是20元．能力提升17．B 18.D 19.A 20.4≤a＜5 21.由题意得2x－(3－x)＞0.去括号，得2x－3＋x＞0.移项、合并同类项，得3x＞3.把x的系数化为1，得x＞1. 22.(1)设每本文学名著x元，动漫书y元，可得解得答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元．(2)设学校要求购买文学名著x本，动漫书为(x＋20)本，根据题意可得解得26≤x≤.因为x取整数，所以x取26，27，28.方案一：文学名著26本，动漫书46本；10\n方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．10
