第二单元方程与不等式第5讲 一次方程(组) 一元一次方程及解法等式的性质性质1：等式两边加(或减)同一个数或同一个①________，所得结果仍是等式；性质2：等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是②________.方程的概念含有未知数的③________叫做方程.方程的解使方程左右两边的值④________的未知数的值叫做方程的解.一元一次方程的概念只含有⑤________个未知数，且未知数的最高次数是⑥________的整式方程，叫做一元一次方程.一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：去分母、去⑦________、移项、合并⑧________、系数化为1. 二元一次方程组及解法二元一次方程的概念含有⑨________个未知数，并且未知项的次数是⑩________的整式方程叫做二元一次方程.二元一次方程组的概念一般地，含有________的未知数的________个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.二元一次方程组的解二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次方程组的解.二元一次方程组的解法解二元一次方程组的方法步骤：二元一次方程组________方程．消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有______消元法和______消元法两种.三元一次方程组的解法类似二元一次方程组的解法，将三元一次方程组转化为二元一次方程组最后转化为一元一次方程组进行求解. 一次方程(组)的应用列方程(组)解应用题的一般步骤1.审审清题意和数量关系，弄清题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系.2.设设未知数(可设直接或________未知数).3.列根据题意寻找________列方程(组).4.解解方程(组).5.答检验所求的未知数的值是否符合题意，写出答案.8\n1．解二元一次方程组时，若方程组其中一个方程中的未知数系数为1或－1，则直接采用代入消元法求解；若相同未知数的系数相等或互为相反数时，则直接采用加减消元法求解．2．列方程(组)的关键是寻找等量关系，寻找等量关系常用的方法有：(1)抓住不变量；(2)找关键词；(3)画线段图或列表格；(4)运用数学公式．命题点1 一次方程(组)的解法 (2022·成都)解方程组：【思路点拨】 观察方程组的结构，未知数y的系数互为相反数，直接将两式相加即可消去y，再解关于x的一元一次方程求出x的值，最后将x的值代入任一方程求出y的值．【解答】 解二元一次方程组的基本思想是消元，即是化“二元”为“一元”．其方法有代入消元法与加减消元法两种．(1)当方程组中的某一个未知数的系数为1或－1时，通常用代入消元法；(2)当方程组中的某一个未知数的系数相同或互为相反数或成倍数关系时，通常用加减消元法．1．(2022·梧州)一元一次方程4x＋1＝0的解是()A．x＝B．x＝－C．x＝4D．x＝－42．(2022·巴中)若单项式2x2ya＋b与－xa－by4是同类项，则a，b的值分别为()A．a＝3，b＝1B．a＝－3，b＝1C．a＝3，b＝－1D．a＝－3，b＝－13．(2022·甘孜)已知关于x的方程3a－x＝＋3的解为2，则代数式a2－2a＋1的值是________．4．(2022·南充)已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是________．5．(2022·无锡)解方程组：命题点2 一次方程(组)的应用 (2022·连云港)小林在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买．三次购买商品A、B的数量和费用如下表：购买商品A购买商品B购买总费8\n的数量(个)的数量(个)用(元)第一次购买651140第二次购买371110第三次购买981062 (1)小林以折扣价购买商品A、B是第________次购物；(2)求商品A、B的标价；(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？【思路点拨】 (2)设商品A、B的标价分别为x元、y元，根据图表列出方程组求出x和y的值．(3)设商店是打a折出售这两种商品．根据折后费用1062元，列出方程求解．【解答】 构建方程(组)解决实际问题的关键是弄清题意，找出题中的相等关系，当题中含有多种关系时，列方程组可降低思维难度．但一般情况是一个相等关系只能用一次．1．(2022·内江)植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是()A.B.C.D.2．(2022·南充)学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，则今年购置计算机的数量是()A．25台B．50台C．75台D．100台3．(2022·嘉兴)公元前1700年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题：“它的全部，加上它的七分之一，其和等于19.”此问题中“它”的值为________．4．(2022·泸州)某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元(两次购进的A、B两种花草价格均分别相同)．求A、B两种花草每棵的价格分别是多少元．1．(2022·咸宁)方程2x－1＝3的解是()A．x＝－1B．x＝－2C．x＝1D．x＝22．(2022·无锡)方程2x－1＝3x＋2的解为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝3D．x＝－33．(2022·广州)已知a，b满足方程组则a＋b的值为()A．－4B．4C．－2D．24．(2022·淄博)已知是二元一次方程组的解，则2m－n的平方根为()8\nA．±2B.C．±D．25．(2022·杭州)某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林地面积的20%，设把x公顷旱地改为林地，则可列方程()A．54－x＝20%×108B．54－x＝20%×(108＋x)C．54＋x＝20%×162D．108－x＝20%×(54＋x)6．(2022·泰安)小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为()A.B.C.D.7．(2022·郴州)一元一次方程3x－6＝0的解是________．8．(2022·泉州)方程组的解是________．9．(2022·潜江)清明节期间，七(1)班全体同学分成若干小组到革命传统教育基地缅怀先烈．若每小组7人，则余下3人；若每小组8人，则少5人，由此可知该班共有________名同学．10．(2022·北京)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两”．设每头牛值金x，每只羊各值金y两，可列方程组为________．11．解方程(组)：(1)(2022·广州)5x＝3(x－4)；(2)(2022·东营)(3)(2022·威海)12．(2022·绵阳改编)已知＋|2a－b＋1|＝0，求(b－a)2015的值．8\n13．(2022·徐州)某超市为促销，决定对A，B两种商品进行打折出售．打折前，买6件A商品和3件B商品需要54元，买3件A商品和4件B商品需要32元；打折后，买50件A商品和40件B商品仅需364元．这比打折前少花多少钱？14．(2022·广东)某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元．商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元．(利润＝销售价格－进货价格)15．(2022·绍兴)某校规划在一块长AD为18m，宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮．如图，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM∶AN＝8∶9，问通道的宽是多少？16．方程组的解中，y的值为()A．－1B．－2C．－3D．317．(2022·武汉)定义运算“*”，规定x*y＝ax2＋by，其中a、b为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则2*3＝________．18．(2022·崇左)4个数a、b、c、d排列成，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为：＝ad－bc.若＝12，则x＝________．8\n19．(原创)有一种用来画圆的工具板(如图所示)，工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆(孔)，其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减xcm，最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm；且相邻两圆的间距d均相等．(1)用含x的代数式表示出其余四个圆的直径长；(2)若最大圆是最小圆的直径的，求相邻两圆的间距．20．(2022·日照)如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/(吨·千米)，铁路运价为1.2元/(吨·千米)，且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．求：(1)该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？8\n参考答案考点解读考点1 ①整式 ②等式 ③等式 ④相等 ⑤一 ⑥1 ⑦括号 ⑧同类项考点2 ⑨两 ⑩1 相同 两 公共解 一元一次 代入 加减考点3 间接 等量关系各个击破例1 ①＋②，得4x＝4，解得x＝1.将x＝1代入第一个式子，解得y＝2.所以方程组的解为题组训练 1.B 2.A 3.1 4.1 5.由②，得2x－2y＝1，③ ①－③，得y＝4.把y＝4代入①，得x＝.∴原方程组的解为例2 (1)三 (2)设A、B两种商品的标价分别为x元，y元．根据题意，可得解得答：A、B两种商品的标价分别为90元，120元．(3)设商店是打a折出售的，则(90×9＋8×120)＝1062，解得a＝6.答：商店是打6折出售商品A、B的．题组训练 1.D 2.C 3. 4.设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意，得解得答：A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元．整合集训基础过关1．D 2.D 3.B 4.A 5.B 6.A 7.x＝2 8. 9.5910. 11.(1)去括号，得5x＝3x－12.移项，得5x－3x＝－12.合并同类项，得2x＝－12.系数化为1，得x＝－6. (2)①＋②，得3x＝15，∴x＝5.将x＝5代入①，得5＋y＝6，∴y＝1.∴方程组的解为 (3)②×6，得3x－2y＝6.③ ③－①，得3y＝3.∴y＝1.把y＝1代入①，得3x－5＝3.∴x＝.∴原方程组的解为12．∵＋|2a－b＋1|＝0，8\n∴解得∴(b－a)2015＝(－3＋2)2015＝－1. 13.设打折前A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，根据题意得 解得则50×8＋40×2＝480(元)，480－364＝116(元)．答：这比打折前少花116元． 14.设A，B型号的计算器的销售价格分别是x元，y元，得解得答：A，B两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元． 15.设通道的宽为xm，AM＝8ym．∵AM∶AN＝8∶9，∴AN＝9y.∴解得答：通道的宽是1m.能力提升16．D 17.10 18.1 19.(1)其余四个圆的直径长分别为(3－x)cm，(3－2x)cm，(3－3x)cm，(3－4x)cm.(2)根据题意，得解得答：相邻两圆的间距为1.25cm. 20.(1)设工厂从A地购买了x吨原料，制成运往B地的产品y吨，依题意，得整理，得解得答：工厂从A地购买了400吨原料，制成运往B地的产品300吨．(2)300×8000－400×1000－15000－97200＝1887800(元)．答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．8
