第7讲分式方程 分式方程及解法分式方程的概念分母里含有①________的方程叫做分式方程.分式方程的解法解分式方程的基本思路是将分式方程转化为②________方程，具体步骤是：(1)去分母，在方程的两边都乘以③________，化成整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根，把整式方程的根代入最简公分母，如果④________，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 分式方程的应用列分式方程解应用题的步骤跟一次方程(组)的应用题不一样的是：要检验⑤________次，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否⑥________．分式方程无解有可能是两种情况：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程有解，但整式方程的解使最简公分母为0，分式方程也无解．命题点1 分式方程的解法 (2022·绵阳)解方程：＝1－.【思路点拨】 先确定最简公分母2(x＋1)，方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，最后要检验．【解答】 解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程．解题过程中需注意两点：一是两边同乘以公分母去分母时，不要漏乘不含分母的项；二是必需检验．1．(2022·自贡)方程＝0的解是()A．1或－1B．－1C．0D．12．(2022·攀枝花)分式方程＝的根为x＝________．3．(2022·南充)分式方程＋＝0的解是________．8\n4．(2022·乐山)解方程：－＝1.命题点2 分式方程的应用 (2022·成都)某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元够进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．该商家购进的第一批衬衫是多少件？【思路点拨】 可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，也就是“第二批这种衬衫单价－第一批这种衬衫单价＝10”，列出分式方程求解．【解答】 列分式方程解应用题的关键是分析题意，弄清楚已知量与未知量之间的关系，从而得到相等关系，进而引进未知数，列出方程解决问题．构建分式方程解实际问题一定要注意检验，找出符合实际情况的答案．1．(2022·遂宁)遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为()A.－＝20B.－＝20C.－＝20D.＋＝202．(2022·乐山)甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程，其中正确的是()A.＝B.＝C.＝D.＝3．(2022·宜宾)列方程或方程组解应用题：近年来，我国逐步完善养老金保险制度甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险会0.2万元．求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元．8\n1．(2022·常德)分式方程＋＝1的解为()A．x＝1B．x＝2C．x＝D．x＝02．(2022·岳阳)岳阳市某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格为x元，则下列所列方程正确的是()A.＝B.＝C.＝D.＝3．(2022·乌鲁木齐)九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．设骑车学生的速度为xkm/h，则所列方程正确的是()A.＝－B.＝－20C.＝＋D.＝＋204．(2022·巴中)分式方程＝的解为x＝________．5．(2022·常德)若分式的值为0，则x＝________．6．(2022·巴中)若分式方程－＝2有增根，则这个增根是________．7．解下列分式方程：(1)(2022·广安)＝－1；(2)(2022·龙岩)x－3＋＝0.8．如图，点A、B在数轴上，它们所对应的数分别是－3和，且点A、B到原点的距离相等，求x的值．9．(2022·嘉兴)小明解方程－＝1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．解：方程两边同乘x得8\n1－(x－2)＝1……①去括号，得1－x－2＝1……②合并同类项，得－x－1＝1……③移项得－x＝2……④解得x＝－2……⑤∴原方程的解为x＝－2……⑥10．(2022·大连)甲、乙两人制作某种机械零件．已知甲每小时比乙多做3个，甲做96个所用时间与乙做84个所用时间相等，求甲、乙两人每小时各做多少个零件．11．(2022·安顺)“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元．12．(2022·北京)为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用．到2022年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个，预计到2022年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2022年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．预计到2022年底，全市将有租赁点多少个？13．(2022·自贡)学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成．现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务．(1)王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟完成？8\n(2)学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？14．(2022·营口)若关于x的分式方程＋＝2有增根，则m的值是()A．m＝－1B．m＝0C．m＝3D．m＝0或m＝315．(2022·齐齐哈尔)关于x的分式方程＝有解，则字母a的取值范围是()A．a＝5或a＝0B．a≠0C．a≠5D．a≠5且a≠016．(2022·淄博)若关于x的方程＋＝2的解为正数，则m的取值范围是()A．m＜6 B．m＞6C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠817．(2022·东营)若分式方程＝a无解，则a的值为________．18．(原创)阅读下列材料：方程－＝－的解为x＝1；方程－＝－的解为x＝2；方程－＝－的解为x＝3；…(1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并猜想这个方程的解；(2)利用(1)中所得的结论，写出一个解为x＝2015的分式方程．19．(2022·宁波)宁波火车站北广场将于2022年底投入使用，计划在广场内种植A、B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．(1)A、B两种花木的数量分别是多少棵？8\n(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？8\n参考答案考点解读考点1 ①未知数 ②整式 ③最简公分母 ④不为0考点2 ⑤两 ⑥符合题意各个击破例1 方程两边同乘以2(x＋1)，去分母，得3＝2x＋2－2，移项、合并同类项，得－2x＝－3.系数化为1，得x＝.经检验，x＝是分式方程的解．题组训练 1.D 2.2 3.x＝－3 4.去分母，得x2－3x＋3＝x2－x.移项、合并同类项，得－2x＝－3.解得x＝1.5.经检验，x＝1.5是分式方程的解．例2 设该商家购进的第一批衬衫是x件，则第二批衬衫是2x件，由题意可得－＝10，解得x＝120.经检验，x＝120是原方程的根．答：商家购进的第一批衬衫是120件．题组训练 1.A 2.A 3.设乙每年缴纳x万元，可得＝，解得x＝0.4.则x＋0.2＝0.6.答：甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金0.6万元、0.4万元．整合集训基础过关1．A 2.B 3.C 4.4 5.2 6.x＝1 7.(1)化为整式方程得2－2x＝x－2x＋4，解得x＝－2.把x＝－2代入原分式方程中，等式两边相等．∴x＝－2是原分式方程的解．(2)原方程化为(x－3)(x＋3)＋6x－x2＝0.∴x2－9＋6x－x2＝0.解得x＝.经检验，x＝是原分式方程的解．∴原方程的解是x＝. 8.依题意可得＝3，解得x＝.经检验，x＝是原方程的解．∴x的值为. 9.小明的解法有三处错误：步骤①去分母错误；步骤②去括号错误；步骤⑥之前缺少“检验”步骤．正确的解答过程如下：去分母，得1－(x－2)＝x.去括号，得1－x＋2＝x.移项，得－x－x＝－1－2.合并同类项，得－2x＝－3.两边同除以－2，得x＝.经检验，x＝是原方程的解．8\n∴原方程的解是x＝. 10.乙每小时做x个零件，则甲每小时做(x＋3)个零件，由题意得＝，解得x＝21.经检验，x＝21是方程的解，x＋3＝24.答：甲、乙两人每小时各做24和21个零件． 11.设第一批盒装花的进价是x元/盒，则2×＝，解得x＝30.经检验，x＝30是原方程的根．答：第一批盒装花每盒的进价是30元． 12.设2022年全市租赁点有x个．根据题意，得＝1.2×，解得x＝1000.经检验，x＝1000是原方程的解，且符合实际情况．答：预计到2022年底，全市将有租赁点1000个． 13.(1)设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟完成，则(＋)×20＋＝1.解得x＝80.经检验，得x＝80是原分式方程的解，且符合题意．答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟完成．(2)设李老师要工作m分钟，则＋≥1.解得m≥25.答：李老师至少要工作25分钟．能力提升14．A 15.D 16.C 17.±1 18.(1)－＝－，其解为x＝n＋2.(2)因为n＋2＝2015，所以n＝2013，其对应方程为－＝－. 19.(1)设B种花木的数量是x棵，则A种花木的数量是(2x－600)棵．根据题意，得x＋(2x－600)＝6600，解得x＝2400.2x－600＝4200.答：A种花木的数量是4200棵，B种花木的数量是2400棵．(2)设安排y人种植A种花木，则安排(26－y)人种植B种花木．根据题意，得＝，解得y＝14.经检验，y＝14是原方程的根，且符合题意.26－y＝12.答：安排14人种植A种花木，安排12人种植B种花木，才能确保同时完成各自的任务．8
