实际问题与方案设计题本专题主要是对方程(组)应用和利用不等式以及函数进行方案设计的巩固和深化，这类题型要求学生能够认真审题，根据实际问题找出题目的已知条件并设出相应的未知数，充分利用“倍数”“是”“比”“多”“少”“共”等关键词找出等量关系，利用“不超过”“不低于”“不少于”等关键词找出不等关系，把实际问题转化为数学问题进行解答．类型1 方程(组)、不等式的实际应用题 我市某施工队负责修建1800米的绿道．为了尽量减少施工对周边环境的影响，该队提高了施工效率，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前两天完成．求实际平均每天修绿道的长度．【思路点拨】 根据等量关系“计划所用时间－实际所用时间＝2”列出分式方程．【解答】 设原计划平均每天修绿道的长度为x米，则依题可得－＝2.解得x＝150.经检验，x＝150是原方程的解，且符合实际．(1＋20%)x＝180.答：实际平均每天修绿道的长度为180米．本题考查工程问题，理解工作总量、时间、效率三者之间的关系和知二求三是解题的关键．1．(2022·昆明模拟)服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利20%，则这款服装每件的进价是多少元？2．(2022·株洲)为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？3．(2022·昆明西山区二模)昆明市某学校为创建书香校园，去年购进一批图书，经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相同，今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书．问：(1)科普书和文学书的单价各是多少元；(2)若购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？9\n4．(2022·广东)某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元．商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．(1)求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元；(利润＝销售价格－进货价格)(2)商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？5．(2022·东营)2022年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2022年的均价为每平方米5265元．(1)求平均每年下调的百分率；(2)假设2022年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？(房价每平方米按照均价计算)6．(2022·昆明二模)学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王老师共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务．(1)王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？9\n(2)由于王师傅还有其他工作要做，学校要求王师傅整理器材的时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材的工作，李老师至少要做多少分钟？类型2 函数的实际应用题 (2022·徐州)为加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于1∶1.5∶2.下图折线表示实行阶梯水价后每月水费y(元)与用水量x(m3)之间的函数关系．其中线段AB表示第二级阶梯时y与x之间的函数关系．(1)写出点B的实际意义；(2)求线段AB所在直线的表达式；(3)某户5月份按照阶梯水价应缴水费102元，其相应用水量为多少立方米？【思路点拨】 (1)观察图象可直接得出；(2)要求线段AB所在直线的表达式，就必须找到A、B两点的坐标，B点坐标已知，而根据题意可不难得出A点的坐标，利用待定系数法可得解；(3)根据题意易知5月份的用水量超过了25m3，然后列方程求解即可．【解答】 (1)图中B点的实际意义表示当用水25m3时，所交水费为90元．(2)设第一阶梯用水的单价为t元/m3，则第二阶梯用水单价为1.5t元/m3.设A(a，45)，则解得∴A(15，45)，B(25，90)．设线段AB所在直线的表达式为y＝kx＋b，则解得∴线段AB所在直线的表达式为y＝x－.(3)设该户5月份用水量为zm3，由第(2)问知第二阶梯用水的单价为4.5元/m3，第三阶梯用水的单价为6元/m3，则根据题意得90＋6(z－25)＝102.解得z＝27.答：该用户5月份用水量为27m3.解决分段函数问题，首先要结合实际问题的背景弄清楚横、纵坐标表示的意义，其次抓住关键点的坐标，利用待定系数法确定相关的函数表达式，此外，已知一个变量常通过列方程的方法求出另一个变量．9\n1．(2022·宁德)宁德一中代表队荣获“中国谜语大会”金奖后，某校也准备举行“谜语”竞赛，规定每位参赛者需完成20道题，每答对一题得10分，答错或不答都扣5分．(1)设某位参赛者答对x题，得分为y分，求y与x之间的函数关系式；(2)已知学校规定竞赛成绩超过90分为一等奖．若小辉参加本次比赛，他想获得一等奖，则他至少要答对多少道题？2．(2022·温州)某农业观光园计划将一块面积为900m2的园圃分成A，B，C三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株．已知B区域面积是A的2倍，设A区域面积为x(m2)．(1)求该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式；(2)若三种花卉共栽种6600株，则A，B，C三个区域的面积分别是多少？(3)已知三种花卉的单价(都是整数)之和为45元，且差价均不超过10元，在(2)的前提下，全部栽种共需84000元，请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价．3．(2022·呼和浩特)某玉米种子的价格为a元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折．某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出了函数图象．以下是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点A的坐标为(2，10)．请你结合表格和图象回答下列问题：付款金额(元)a7.51012b购买量(千克)11.522.539\n(1)指出付款金额和购买量哪个变量是函数的自变量x，并写出表中a、b的值；(2)求出当x>2时，y关于x的函数解析式；(3)甲农户将8.8元钱全部用于购买该玉米种子，乙农户购买了4165克该玉米种子，分别计算他们的购买量和付款金额．类型3 方案设计题 (2022·昆明盘龙区一模)为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：污水处理设备A型B型价格(万元/台)mm－3月处理污水量(吨/台)220180(1)求m的值；(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．【思路点拨】 (1)根据“90万元购买A型号的污水处理设备的台数＝用75万元购买B型号的污水处理设备的台数”列出分式方程；(2)根据“资金不超过165万元”可以列出一元一次不等式，求出购买A型号的污水处理设备台数的取值范围，进而得出购买方案．【解答】 (1)根据题意，得＝.解得m＝18.经检验，m＝18是所列方程的解．(2)设购买A型号的污水处理设备x台，则购买B型号的污水处理设备为(10－x)台．依题可得18x＋15(10－x)≤165.解得x≤5.∵x为非负整数，∴x取0，1，2，3，4，5.∴共有6种购买方案．9\n设某种方案每月能处理的污水量为w吨，则w＝220x＋180(10－x)＝40x＋1800.由一次函数的性质可知，w随x的增大而增大，∴当x＝5，即购买A型号、B型号的污水处理设备分别为5台、5台时，月处理的污水量最多为2000吨．1．(2022·昆明西山区一模)某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量A种型号B种型号销售收入第一周3台5台1800元第二周4台10台3100元(进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本)(1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价；(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台．(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标，若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．2．(2022·昆明盘龙区二模)甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．设小红在同一商场累计购物x元，其中x＞100.(1)根据题意得，填写下表(单位：元)：累计购物实际花费130290…x(x＞100)在甲商场127…在乙商场126…(2)当x取何值时，小红在甲、乙商场的实际花费相同？(3)当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？9\n3．(2022·泸州)某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元(两次购进同种花草价格相同)．(1)A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？(2)若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．4．(2022·漳州)国庆期间，为了满足百姓的消费需求，某商店计划用170000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：类别彩电冰箱洗衣机进价(元/台)200016001000售价(元/台)230018001100若在现有资金允许的范围内，购买上表中三类家电共100台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍，设该商店购买冰箱x台．(1)商店至多可以购买冰箱多少台？(2)购买冰箱多少台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润多少元？参考答案类型1 方程(组)、不等式的实际应用题1.设这款服装每件的进价是x元，依题可得300×0.8－x＝20%x.解得x＝200.答：这款服装每件的进价是200元． 2.设购买球拍x个，依题意得1.5×20＋22x≤200.解得x≤7.∵x是正整数，∴9\nx的最大值为7.答：孔明应该买7个球拍． 3.(1)设文学书的单价为x元，则科普书的单价为(x＋4)元．根据题意，得＝.解得x＝8.经检验，x＝8是所列方程的解．x＋4＝12.答：科普书和文学书的单价各是12元，8元． (2)(10000－550×8)÷12＝466≈466(本)．答：至多还能购进466本科普书． 4.(1)设A，B型号的计算器的销售价格分别是x元，y元，得解得答：A，B两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元． (2)设需要购进A型号的计算a台，则30a＋40(70－a)≤2500，解得a≥30.答：最少需要购进A型号的计算器30台．5．(1)设平均每年下调的百分率为x，根据题意得6500(1－x)2＝5265.解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)．答：平均每年下调的百分率为10%. (2)如果下调的百分率相同，2022年的房价为：5265×(1－10%)＝4738.5(元/m2)．则100平方米的住房的总房款为100×4738.5＝473850(元)＝47.385(万元)．∵20＋30＞47.385，∴张强的愿望可以实现． 6.(1)设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟，则王师傅的工作效率为，由题意，得20(＋)＋20×＝1.解得x＝80.经检验，x＝80是原方程的根．答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟．(2)设李老师要工作y分钟，由题意，得(1－)÷≤30.解得y≥25.答：李老师至少要工作25分钟．类型2 函数的实际应用题1.(1)y＝10x－5(20－x)＝15x－100. (2)由题意得15x－100＞90.解得x＞.∵x取最小整数．∴x＝13.答：他至少要答对13道题． 2.(1)y＝3x＋12x＋12(900－3x)，即y＝－21x＋10800. (2)当y＝6600时，－21x＋10800＝6600.解得x＝200.∴2x＝400，900－3x＝300.答：A区域的面积是200m2，B区域的面积是400m2，C区域的面积是300m2. (3)种植面积最大的花卉总价为36000元． 3.(1)购买量是函数中的自变量x，a＝5，b＝14. (2)当x>2时，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.∵y＝kx＋b经过点(2，10)，又x＝3时，y＝14，∴解得∴当x>2时，y与x的函数关系式为y＝4x＋2. (3)当y＝8.8时，x＝＝1.76.当x＝4.165时，y＝4×4.165＋2＝18.66.∴甲农户的购买量为1.76千克，乙农户的付款金额为18.66元．类型3 方案设计题1.(1)设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元．依题意得解得答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元． (2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(30－a)台．依题意得200a＋170(30－a)≤5400.解得a≤10.答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元． (3)依题意有(250－200)a＋(210－170)(30－a)＝19\n400.解得a＝20.此时，a＞10.即在(2)的条件下超市不能实现利润为1400元的目标.2.(1)271 0.9x＋10 278 0.95x＋2.5 (2)根据题意得0.9x＋10＝0.95x＋2.5，解得x＝150.答：当x＝150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同． (3)由0.9x＋10＜0.95x＋2.5，解得x＞150，由0.9x＋10＞0.95x＋2.5，解得x＜150，∴当小红累计购物大于150元时(上没封顶)，选择甲商场实际花费少；当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场实际花费少． 3.(1)设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得解得答：A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元． (2)设购买A种花草的数量为m株，则购买B种花草的数量为(31－m)株，根据题意得31－m＜2m.解得m＞.∵m是正整数，∴m最小值＝11.设购买树苗总费用为W，则W＝20m＋5(31－m)＝15m＋155，∵k＝15＞0，∴W随x的减小而减小．当m＝11时，W最小值＝15×11＋155＝320(元)．答：购进A种花草的数量为11棵、B种20棵，费用最省；最省费用是320元． 4.(1)依题意，得2000·2x＋1600x＋1000(100－3x)≤170000.解得x≤26.∵x为正整数，∴x至多为26.答：商店至多可以购买冰箱26台． (2)设商店销售完这批家电后获得的利润为y元，则y＝(2300－2000)2x＋(1800－1600)x＋(1100－1000)·(100－3x)，∴y＝500x＋10000.∵k＝500＞0，∴y随x的增大而增大．∵x≤26且x为正整数，∴当x＝26时，y最大为500×26＋10000＝23000(元)．答：当购买冰箱26台时，商店销售完这批家电后获得的利润最大，最大利润为23000元．9
