第8讲 一元一次不等式(组) 不等式的概念及性质不等式的有关概念用不等号连接起来的式子叫做不等式，使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解集.不等式的基本性质性质1若a＜b，则a±c＜b±c.性质2若a＜b且c＞0，则ac①__bc(或②__).性质3若a＜b且c＜0，则ac③__bc(或④__). 一元一次不等式(组)的解法一元一次不等式的解法(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.不等式组的解法一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，并表示在数轴上，再求出他们的公共部分，就得到不等式组的解集.不等式组的解集情况(假设b＜a)x＞a同大取大x≤b同小取小b≤x＜a大小小大中间找无解大大小小无处找 不等式的应用列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：(1)审清题意；(2)设未知数；(3)列不等式；(4)解不等式；(5)⑤______作答．1．已知不等式(组)的解集确定不等式(组)中字母的取值范围有以下四种方法：(1)逆用不等式(组)解集确定；(2)分类讨论确定；(3)从反面求解确定；(4)借助数轴确定．2．列不等式(组)解应用题应紧紧抓住“至多”、“至少”、“不大于”、“不小于”、“不超过”、“大于”、“小于”等关键词列出不等量关系式，进而求解．9\n命题点1 一元一次不等式的解法 (2022·巴中)解不等式≤－1，并把解集表示在数轴上．【思路点拨】 先去分母，再去括号，移项，合并同类项、系数化为1即可．注意去分母时，等号右边的1要乘以12.【解答】 一元一次不等式的解法步骤一般是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，值得注意的是：去分母、系数化1时，如果两边同乘负数，不等号一定要变号；用数轴表示不等式的解集时一定要注意包含界点需用实心的小圆点，不包含界点需用空心的小圆圈．1．(2022·聊城)不等式x－3≤3x＋1的解集在数轴上表示如下，其中正确的是( )2．(2022·襄阳)在数轴上表示不等式2(1－x)<4的解集，正确的是( )3．(2022·安徽)解不等式：>1－.命题点2 一元一次不等式组的解法 (2022·宁波)解一元一次不等式组并把解在数轴上表示出来．9\n【解答】 解一元一次不等式组的步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集．确定不等式组的解集一般有两种方法，即口诀法和数轴法．1．(2022·温州)不等式组的解是( )A．x<1B．x≥3C．1≤x<3D．1<x≤32．(2022·长沙)在数轴上表示不等式组的解集，正确的是( )3．(2022·十堰)不等式组的整数解是________．4．(2022·黄冈)解不等式组：命题点3 一元一次不等式的应用 (2022·株洲)为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍作奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？【思路点拨】 利用不等关系“乒乓球费用＋球拍费用不超过200元”列出不等式，求解．【解答】 求实际问题中的“至多”、“至少”这类问题，常采用不等式锁定范围，即先根据题目的问题，直接设出未知数，列出不等式，求出相应的范围，再根据题目的条件，知道它是正整数或整数等，求出答案． 1．(2022·宝鸡校级模拟)某品牌自行车进价是每辆800元，标价是每辆1200元，店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润不低于5%，则最多可打________折．( )A．5B．6C．7D．82．(2022·南京)铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm.某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为________cm.9\n3．某公园出售的一次性使用门票，每张10元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年票”的售票活动(从购买日起，可供持票者使用一年)．年票分A、B两类：A类年票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票；B类年票每张50元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票．某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时，购买A类年票最合算？1．(2022·滨州)a、b都是实数，且a<b，则下列不等式的变形正确的是( )A．a＋x>b＋xB．－a＋1<－b＋1C．3a<3bD.>2．下列说法中，错误的是( )A．不等式x<2的正整数解只有一个B．－2是不等式2x－1<0的一个解C．不等式－3x>9的解集是x>－3D．不等式x<10的整数解有无数个3．(2022·绵阳)设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为( )A．■、●、▲B．▲、■、●C．■、▲、●D．●、▲、■4．(2022·日照)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )5．(2022·邵阳)不等式组的整数解的个数是( )A．3B．5C．7D．无数个6．(2022·恩施)关于x的不等式－x＋a≥1的解集如图所示，则a的值为( )A．－1B．0C．1D．29\n7．(2022·潍坊)若不等式组无解，则实数a的取值范围是( )A．a≥－1B．a＜－1C．a≤1D．a≤－18．(2022·泰安)若不等式组有解，则实数a的取值范围是( )A．a<－36B．a≤－36C．a>－36D．a≥－369．(2022·原创)篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2022～2022赛季全部22场比赛中最少得到36分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是( )A．2x＋(22－x)≥36B．2x－(22－x)≥36C．2x＋(22－x)≤36D．2x≥3610．(2022·铜仁)不等式5x－3<3x＋5的最大整数解是________．11．(2022·安顺)不等式组的最小整数解是________．12．(2022·巴彦淖尔)在一次射击比赛中，某运动员前6次射击共中53环，如果他要打破89环(10次射击)的记录，那么第7次射击他至少要打出________环的成绩．13．(2022·南京)解不等式2(x＋1)－1≥3x＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．14．(2022·巴中)解不等式－≤1，并把解集表示在数轴上．15．(2022·随州)解不等式组：请结合题意，完成本题解答：(1)解不等式①，得________；(2)解不等式②，得________；(3)把不等式①、②的解集在数轴上表示出来：(4)原不等式组的解集为__________．16．(2022·北京)解不等式组并写出它的所有非负整数解．9\n17．(2022·潍坊)为提高饮水质量，越来越多的居民开始选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．(1)求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；(2)为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．(注：毛利润＝售价－进价)18．(2022·永州)若不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是( )A．－1≤m＜0B．－1＜m≤0C．－1≤m≤0D．－1＜m＜019．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x＋y＞1，则k的取值范围是．20．(2022·呼和浩特)已知实数a是不等于3的常数，解不等式组并依据a的取值情况写出其解集．21．(2022·达州改编)学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买1台平板电脑3000元，购买1台学习机800元．(1)学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过168000元，则购买平板电脑最多多少台？9\n(2)在(1)的条件下，购买学习机的台数不超过平板电脑台数的1.7倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？考点解读①＜ ②＜ ③＞ ④＞ ⑤检验各个击破例1 两边同时乘12去分母，得4(2x－1)≤3(3x＋2)－12.去括号，得8x－4≤9x＋6－12.移项，得8x－9x≤6－12＋4.合并，得－x≤－2.系数化为1，得x≥2.不等式的解集在数轴上表示为：题组训练 1.B 2.A 3.去分母，得2x＞6－(x－3)．去括号，得2x＞6－x＋3.移项，得2x＋x＞6＋3.合并同类项，得3x＞9.系数化为1，得x＞3.例2 解不等式①，得x>－3，解不等式②，得x≤2.∴原不等式组的解集是－3＜x≤2.解在数轴上表示为：题组训练 1.D 2.A 3.－1，0 4.由①得x<2，由②得x≥－2.∴不等式组的解集为－2≤x<2.例3 设购买球拍x个，依题意得1.5×20＋22x≤200.解得x≤7.∵x为整数，∴x最大为7.答：孔明应该买7个球拍．题组训练 1.C 2.78 3.设某游客一年中进入该公园x次，由题意，得100＜50＋2x.解得x＞25.答：游客一年中进入该公园至少要超过25次时，购买A类年票最合算．整合集训1.C 2.C 3.C 4.A 5.B 6.D 7.D 8.C 9.A 10.3 11.－3 12.7 13.去括号，得2x＋2－1≥3x＋2.移项，得2x－3x≥2－2＋1.合并同类项，得－x≥1.系数化为1，得x≤－1.不等式的解集在数轴上表示为：14.去分母，得2(2x－1)－(9x＋2)≤6.9\n去括号，得4x－2－9x－2≤6.移项，得4x－9x≤6＋2＋2.合并同类项，得－5x≤10.系数化为1，得x≥－2.解集在数轴上表示为：15.(1)x>2 (2)x≤4 (3)图略 (4)2<x≤4 16.解不等式①，得x≥－2.解不等式②，得x<.所以－2≤x<.所以非负整数解为0，1，2，3. 17.(1)设A型号家用净水器购进了x台，B型号家用净水器购进了(160－x)台．由题意，得150x＋350(160－x)＝36000.解得x＝100.160－x＝160－100＝60.答：A型号家用净水器购进了100台，B型号家用净水器购进了60台．设每台A型号家用净水器的毛利润为z元，由题意，得100z＋60×2z≥11000.解得z≥50.故150＋50＝200(元)．答：每台A型号家用净水器的售价至少为200元． 18.A 提示：不等式组的解集为m－1＜x＜1，则这个不等式组的两个整数解应为－1，0.那么－2≤m－1＜－1，∴－1≤m＜0.故答案选A. 19.k>2 20.解①得x≤3，解②得x<a.∵a是不等于3的常数，∴当a>3时，不等式组的解集为x≤3；当a<3时，不等式组的解集为x<a. 21.(1)设购买平板电脑a台，则购买学习机(100－a)台，由题意得3000a＋800(100－a)≤168000.解得a≤40.所以平板电脑最多购买40台．设购买的平板电脑a台，则购买学习机(100－a)台，根据题意得100－a≤1.7a.解得a≥.∵a为正整数，∴a＝38，39，40.则学习机依次买：62台，61台，60台．因此该校有三种购买方案：平板电脑(台)学习机(台)总费用(元)方案一3862163600方案二3961165800方案三4060168000所以方案一：购买平板电脑38台，购买学习机62台，最省钱．9\n9
