特殊的平行四边形24特殊的平行四边形限时:30分钟夯实基础1.[2022·台州]下列命题正确的是( )A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2.[2022·上海]已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是( )A.∠A=∠BB.∠A=∠CC.AC=BDD.AB⊥BC3.如图K24-1,边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起,连接BD并延长,交FG于点P,则DP等于( )图K24-1A.22B.42C.2D.14.[2022·淮安]如图K24-2,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是( )图K24-213\nA.20B.24C.40D.485.[2022·聊城]如图K24-3,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA,OC分别在x轴和y轴上,并且OA=5,OC=3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转,使点A恰好落在BC边上的A1处,则点C的对应点C1的坐标为( )图K24-3A.-95,125B.-125,95C.-165,125D.-125,1656.如图K24-4,在▱ABCD中,AB=5,BC=7,E,F分别为边BC,AD上的点.若四边形AECF为正方形,则AE的长为( )图K24-4A.5B.4或5C.3或4D.5或77.如图K24-5,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E.若∠CBF=20°,则∠AED= 度. 图K24-58.如图K24-6,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC=8,BD=6,则菱形ABCD的高DH= . 13\n图K24-69.[2022·连云港]如图K24-7,E,F,G,H分别为矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,连接AC,HE,EC,GA,GF.已知AG⊥GF,AC=6,则AB的长为 . 图K24-710.如图K24-8,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF的长为 . 图K24-811.如图K24-9,点E是正方形ABCD外一点,点F是线段AE上一点,△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,连接CE,CF.(1)求证:△ABF≌△CBE;(2)判断△CEF的形状,并说明理由.图K24-9能力提升12.[2022·杭州]如图K24-10,已知点P是矩形ABCD内一点(不含边界),设∠PAD=θ1,∠PBA=θ2,∠PCB=θ3,∠13\nPDC=θ4.若∠APB=80°,∠CPD=50°,则( )图K24-10A.(θ1+θ4)-(θ2+θ3)=30°B.(θ2+θ4)-(θ1+θ3)=40°C.(θ1+θ2)-(θ3+θ4)=70°D.(θ1+θ2)+(θ3+θ4)=180°13.[2022·嘉兴]如图K24-11,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点E在CD上,DE=1,点F是边AB上一动点,以EF为斜边作Rt△EFP.若点P在矩形ABCD的边上,且这样的直角三角形恰好有两个,则AF的值是 . 图K24-1114.[2022·娄底]如图K24-12,在▱ABCD中,各内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.(1)求证:△ABG≌△CDE.(2)猜一猜:四边形EFGH是什么特殊四边形?证明你的猜想.(3)若AB=6,BC=4,∠DAB=60°,求四边形EFGH的面积.图K24-1213\n拓展练习15.[2022·江西]如图K24-13,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边三角形APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化.(1)如图①,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,则BP与CE的数量关系是 ,CE与AD的位置关系是 . (2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图②,图③中的一种情况予以证明或说理).(3)如图④,当点P在线段BD的延长线上时,连接BE,若AB=23,BE=219,求四边形ADPE的面积.13\n图K24-13参考答案1.C 2.B 3.B 4.A5.A [解析]如图,过点C1作C1N⊥x轴于点N,过点A1作A1M⊥x轴于点M.由题意,得∠C1NO=∠A1MO=90°,∠1=∠2=∠3.∴△A1OM∽△OC1N.∵OA=5,OC=3,∴OA1=5,A1M=3,∴OM=4.∴设NO=3x,则NC1=4x,OC1=3,则(3x)2+(4x)2=9.解得x=35(负数舍去),则NO=95,NC1=125.故点C的对应点C1的坐标为-95,125.故选A.13\n6.C7.65 8.2459.2 [解析]如图,连接BD.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=∠DCB=90°,BD=AC=6.∵CG=DG,CF=FB,∴GF=12BD=62,∵AG⊥FG,∴∠AGF=90°.∴∠DAG+∠AGD=90°,∠AGD+∠CGF=90°.∴∠DAG=∠CGF.∴△ADG∽△GCF.∴ADGC=DGCF.设CF=BF=a.CG=DG=b.∴2ab=ba.∴b2=2a2.∵a>0,b>0,∴b=2a.在Rt△GCF中,3a2=64,∴a=22.∴AB=2b=22a=2.10.7211.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABC=90°.∵△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,∴BE=BF.∴∠ABC-∠CBF=∠EBF-∠CBF,即∠ABF=∠CBE.在△ABF和△CBE中,AB=CB,∠ABF=∠CBE,BF=BE,∴△ABF≌△CBE.13\n(2)△CEF是直角三角形.理由如下:∵△EBF是等腰直角三角形,∴∠BFE=∠FEB=45°.∴∠AFB=180°-∠BFE=135°.又∵△ABF≌△CBE,∴∠CEB=∠AFB=135°.∴∠CEF=∠CEB-∠FEB=135°-45°=90°.∴△CEF是直角三角形.12.A [解析]∵在矩形ABCD中,∴∠PAB+∠PAD=90°,即∠PAB=90°-∠PAD,∵∠APB=80°,∴∠PAB+∠PBA=180°-80°=100°.∴90°-∠PAD+∠PBA=100°,即∠PBA-∠PAD=10°①,同理可得:∠PDC-∠PCB=180°-50°-90°=40°②.由②-①,得∠PDC-∠PCB-(∠PBA-∠PAD)=30°.∴(θ1+θ4)-(θ2+θ3)=30°.故选A.13.0或1<AF<113或4 [解析]∵△EFP是直角三角形,且点P在矩形ABCD的边上,∴P是以EF为直径的☉O与矩形ABCD的交点,(1)当AF=0时,如图①,此时点P有两个,一个与D重合,一个交在边AB上.(2)当☉O与AD相切时,设与AD边的切点为P,如图②,此时△EFP是直角三角形,点P只有一个;(3)当☉O与BC相切时,如图③,连接OP,此时构成三个直角三角形,则OP⊥BC.设AF=x,则BF=P1C=4-x,EP1=x-1.∵OP∥EC,OE=OF,∴OG=12EP1=x-12.∴☉O的半径为OF=OP=x-12+(4-x).在Rt△OGF中,由勾股定理,得OF2=OG2+GF2,∴x-12+4-x2=x-122+12.解得x=113,∴当1<AF<113时,这样的直角三角形恰好有两个.(4)当AF=4,即F与B重合时,这样的直角三角形恰好有两个,如图④.综上所述,AF的值是0或1<AF<113或4.13\n14.解:(1)证明:∵AG平分∠BAD,CE平分∠BCD,∴∠BAG=12∠BAD,∠DCE=12∠DCB.∵在▱ABCD中,∠BAD=∠DCB,AB=CD,∴∠BAG=∠DCE.同理可得,∠ABG=∠CDE.在△ABG和△CDE中,∠BAG=∠DCE,AB=CD,∠ABG=∠CDE,∴△ABG≌△CDE(ASA).(2)四边形EFGH是矩形.证明:∵AG平分∠BAD,BG平分∠ABC,∴∠GAB=12∠BAD,∠GBA=12∠ABC.∵在▱ABCD中,∠DAB+∠ABC=180°,∴∠GAB+∠GBA=12(∠DAB+∠ABC)=90°,∴∠AGB=90°.同理可得,∠DEC=90°,∠AHD=90°=∠EHG,∴四边形EFGH是矩形.(3)依题意,得∠BAG=12∠BAD=30°.∵AB=6,∴BG=12AB=3,AG=33=CE.∵BC=4,∠BCF=12∠BCD=30°,13\n∴BF=12BC=2,CF=23.∴EF=33-23=3,GF=3-2=1.∴矩形EFGH的面积=EF·GF=3.15.解:(1)BP=CE;CE⊥AD.连接AC,交BD于点O,如图①.①∵BA=BC,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.∴AC=AB,∠BAC=60°=∠PAE.∴∠BAP=∠CAE.在△BAP和△CAE中,AB=AC,∠BAP=∠CAE,AP=AE,∴△BAP≌△CAE(SAS).∴BP=CE.∵△BAP≌△CAE,∴∠ACE=∠ABP=12∠ABC=30°.∵∠ACD=60°,∴∠ECD=30°.∴CE为△ACD的角平分线.13\n∵CA=CD,由三线合一知CE⊥AD.(2)仍然成立,理由如下(选择图②):如图②,连接AC,交BD于点O,设CE交AD于点H.②在菱形ABCD中,∠ABC=60°,BA=BC,∴△ABC为等边三角形.∴BA=CA.∵△APE为等边三角形,∴AP=AE,∠PAE=∠BAC=60°.∴∠BAP=∠CAE.在△BAP和△CAE中,AB=AC,∠BAP=∠CAE,AP=AE,∴△BAP≌△CAE(SAS).∴BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°.∵AC和BD为菱形的对角线,③∴∠CAD=60°.∴∠AHC=90°,即CE⊥AD.13\n选择图③,理由如下:如图③,连接AC,交BD于点O,设CE交AD于点H.同理得△BAP≌△CAE,∴BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°.又∵∠CAD=60°,∴CE⊥AD.(3)如图④,连接AC,交BD于点O,连接CE,交AD于点H.④由(2)可知,CE⊥AD,CE=BP,在菱形ABCD中,AD∥BC,∴EC⊥BC.∵BC=AB=23,BE=219,∴在Rt△BCE中,CE=(219)2-(23)2=8.∴BP=CE=8.∵AC与BD是菱形的对角线,∴∠ABD=12∠ABC=30°,AC⊥BD.∴BD=2BO=2AB·cos30°=6,AO=12AB=3,DP=BP-BD=8-6=2.13\n∴OP=OD+DP=5.在Rt△AOP中,AP=AO2+OP2=27,∴S四边形ADPE=S△ADP+S△APE=12DP·AO+34AP2=12×2×3+34×(27)2=83.13
