课时训练(二十五) 平行四边形(限时:30分钟)|夯实基础|1.下列说法错误的是( )A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形2.[2022·玉林]在四边形ABCD中:①AB∥CD;②AD∥BC;③AB=CD;④AD=BC.从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有( )A.3种B.4种C.5种D.6种3.如图K25-1,在▱ABCD中,M是BC延长线上的一点,若∠A=135°,则∠MCD的度数是( )图K25-1A.45°B.55°C.65°D.75°4.[2022·衡阳]如图K25-2,在四边形ABCD中,ΑΒ∥CD,要使四边形ABCD是平行四边形,可添加的条件不正确的是( )图K25-211\nA.ΑΒ=CDB.ΒC=ΑDC.∠Α=∠CD.ΒC∥ΑD5.如图K25-3,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,且∠ADC=60°,AB=12BC.下列结论:①∠CAD=30°;②S▱ABCD=AB·AC;③OB=AB;④OE=14BC,其中成立的有( )图K25-3A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图K25-4,▱ABCD中,AC=8,BD=6,AD=a,则a的取值范围是 . 图K25-47.[2022·扬州]在▱ABCD中,∠B+∠D=200°,则∠A= °. 8.[2022·南充]如图K25-5,在▱ABCD中,过对角线BD上一点P作EF∥BC,GH∥AB,且CG=2BG,S△BPG=1,则S▱AEPH= . 图K25-59.如图K25-6,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为 . 11\n图K25-610.[2022·陕西]如图K25-7,点O是▱ABCD的对称中心,AD>AB,E,F是AB边上的点,且EF=12AB,G,H是BC边上的点,且GH=13BC.若S1,S2分别表示△EOF和△GOH的面积,则S1与S2之间的等量关系是 . 图K25-711.[2022·宁夏]如图K25-8,将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在点A'处.若∠1=∠2=50°,则∠A'为 . 图K25-812.[2022·无锡]如图K25-9,平行四边形ABCD中,E,F分别是边BC,AD的中点,求证:∠ABF=∠CDE.图K25-911\n13.[2022·镇江]如图K25-10,点B,E分别在AC,DF上,AF分别交BD,CE于点M,N,∠A=∠F,∠1=∠2.(1)求证:四边形BCED是平行四边形;(2)已知DE=2,连接BN.若BN平分∠DBC,求CN的长.图K25-1014.[2022·连云港]如图K25-11,将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠,折叠后点C落在点F处,DF交AB于点E.(1)求证:∠EDB=∠EBD;(2)判断AF与DB是否平行,并说明理由.图K25-1111\n|拓展提升|15.[2022·长春]如图K25-12,在▱ABCD中,AD=7,AB=23,∠B=60°.E是边BC上任意一点,沿AE剪开,将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置,得到四边形AEFD,则四边形AEFD周长的最小值为 . 图K25-1216.[2022·无锡]如图K25-13,已知▱OABC的顶点A,C分别在直线x=1和x=4上,O是坐标原点,则对角线OB长的最小值为 . 图K25-1317.如图K25-14,▱ABCD中,AB=2,AD=1,∠ADC=60°,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,折痕交CD边于点E.(1)求证:四边形BCED'是菱形;(2)若点P是直线l上的一个动点,请计算PD'+PB的最小值.图K25-1411\n参考答案1.D [解析]一组对边相等,另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形,例如:等腰梯形,所以D选项说法错误.故选D.2.B [解析]平行四边形判定一:两组对边分别平行的四边形是平行四边形:①②;平行四边形判定二:两组对边分别相等的四边形是平行四边形:③④;平行四边形判定三:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形:①③或②④.共有4种选法,故选B.3.A [解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠BCD=135°,∴∠MCD=180°-∠BCD=180°-135°=45°.故选A.4.B [解析]添加B,构成“一组对边平行,另一组对边相等”的条件,不能判定为平行四边形,B错误,故选B.5.C [解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠EAD=60°,∴△ABE是等边三角形,∴AE=AB=BE,∠AEB=60°.11\n∵AB=12BC,∴AE=BE=12BC,∴AE=EC,∴∠ACB=30°,∴∠BAC=90°,∴∠CAD=30°,故①正确;∵AC⊥AB,∴S▱ABCD=AB·AC,故②正确;∵在Rt△ABO中,AB是直角边,OB是斜边,∴AB≠OB,故③错误;∵CE=BE,CO=OA,∴OE=12AB,∴OE=14BC,故④正确.故选C.6.1<a<7 [解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=12AC=4,OD=12BD=3.在△AOD中,由三角形的三边关系得4-3<AD<4+3,即1<a<7.7.80 [解析]根据“平行四边形的对角相等、邻角互补”可以求得∠A=180°-200°÷2=80°.8.4 [解析]由“平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形”可推出▱AEPH的面积等于▱PGCF的面积.∵CG=2BG,∴BG∶BC=1∶3,BG∶PF=1∶2.∵△BPG∽△BDC,且相似比为1∶3,∴S△BDC=9S△BPG=9.∵△BPG∽△PDF,且相似比为1∶2,∴S△PDF=4S△BPG=4.∴S▱AEPH=S▱PGCF=9-1-4=4.9.25° [解析]∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且有公共边CD,∴AD=DE,∵∠ADE=∠BCF=60°+(180°-110°)=130°,∴∠DAE=12(180°-∠ADE)=12×50°=25°.10.2S1=3S2S1=32S2,S2=23S1均正确[解析]连接AC,BD.11\n∵四边形ABCD为平行四边形,∴AO=OC.∴S△AOB=S△BOC.∵EF=12AB,∴S1=12S△AOB.∴S△AOB=2S1.∵GH=13BC,∴S2=13S△BOC.∴S△BOC=3S2.∴2S1=3S2.11.105° [解析]在平行四边形ABCD中,由AD∥BC,得∠3=∠5.又由折叠得:∠A=∠A',∠4=∠5,所以∠3=∠4.根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,以及∠1=50°,可得∠3=25°,则∠ABC=∠2+∠3=75°.因为AD∥BC,根据两直线平行,同旁内角互补得∠A=105°,∴∠A'=105°.12.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB=CD,AD=BC.∵E,F分别是边BC,AD的中点,∴AF=CE.在△ABF和△CDE中,AB=CD,∠A=∠C,AF=CE,∴△ABF≌△CDE(SAS),∴∠ABF=∠CDE.13.解:(1)证明:∵∠A=∠F,∴DF∥AC.又∵∠1=∠2,∠1=∠DMN,11\n∴∠DMN=∠2.∴DB∥EC.∵DB∥EC,DE∥BC,∴四边形BCED为平行四边形.(2)∵BN平分∠DBC,∴∠DBN=∠NBC,∵DB∥EC,∴∠DBN=∠BNC,∴∠NBC=∠BNC,∴BC=CN.∵四边形BCED为平行四边形,∴BC=DE=2.∴CN=2.14.解:(1)证明:由折叠可知∠CDB=∠EDB.∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CDB=∠EBD,∴∠EDB=∠EBD.(2)AF∥DB.理由:∵∠EDB=∠EBD,∴ED=EB.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC.由折叠可知DF=DC,∴AB=DF.∵ED=EB,∴EA=EF,∴∠EAF=∠EFA.在△AEF中,∠EAF+∠EFA+∠AEF=180°,即2∠EAF+∠AEF=180°,同理,在△BDE中,2∠EBD+∠BED=180°,∵∠AEF=∠BED,∴∠EAF=∠EBD,∴AF∥DB.15.20 [解析]如图,当AE⊥BC时,四边形AEFD的周长最小.11\n在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=23,∠B=60°,∴AE=AB·sin60°=23×32=3,由平移性质可知,四边形AEFD是平行四边形,∴四边形AEFD周长的最小值为2(AD+AE)=2×(7+3)=20.16.5 [解析]当点B在x轴上时,对角线OB的长最小,如图所示,设直线x=1与x轴交于点D,直线x=4与x轴交于点E,根据题意得∠ADO=∠CEB=90°,OD=1,OE=4,∵四边形ABCO是平行四边形,∴OA∥BC,OA=BC,∴∠AOD=∠CBE.在△AOD和△CBE中,∠ADO=∠CEB,∠AOD=∠CBE,OA=BC,∴△AOD≌△CBE,∴OD=BE=1,∴OB=OE+BE=5.17.解:(1)证明:由折叠,知∠DAE=∠D'AE,∠DEA=∠D'EA,∠D=∠AD'E,∵DE∥AD',∴∠DEA=∠EAD',∴∠DAE=∠EAD'=∠DEA=∠D'EA,∴∠DAD'=∠DED',∴四边形DAD'E是平行四边形,11\n∴DE=AD',DA=ED'.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AB∥DC,∴CE=D'B,CE∥D'B,∴四边形BCED'是平行四边形.∵ED'=AD=AD'=1,AB=2,∴BD'=ED'=1,∴▱BCED'是菱形.(2)如图,∵D与D'关于AE对称,∴连接BD交AE于P,则BD的长即为PD'+PB的最小值.过D作DG⊥BA,交BA的延长线于G,∵CD∥AB,∴∠DAG=∠CDA=60°,∵AD=1,∴AG=12,DG=32,∴BG=52,∴BD=DG2+BG2=7,∴PD'+PB的最小值为7.11
