课时训练(二十二) 平行四边形(限时:40分钟)|夯实基础|1.[2022·绥化]在下列选项中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )A.AD∥BC,AB∥CDB.AB∥CD,AB=CDC.AD∥BC,AB=CDD.AB=CD,AD=BC2.[2022·丽水]如图K22-1,在▱ABCD中,连接AC,∠ABC=∠CAD=45°,AB=2,则BC的长是( )图K22-1A.2B.2C.22D.43.如图K22-2,▱ABCD中,AB=4,BC=6,AC的垂直平分线交AD于点E,则△CDE的周长是( )图K22-2A.6B.8C.10D.124.如图K22-3,已知△ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上,且BC=4CF,四边形DCFE是平行四边形,则图中阴影部分的面积为( )图K22-312\nA.3B.4C.6D.85.[2022·连云港]如图K22-4,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若∠EAF=60°,则∠B= . 图K22-46.[2022·临沂]如图K22-5,在▱ABCD中,AB=10,AD=6,AC⊥BC,则BD= . 图K22-57.[2022·抚顺]如图K22-6,▱ABCD中,AB=7,BC=3,连接AC,分别以点A和点C为圆心,大于12AC的长为半径作弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交CD于点E,连接AE,则△AED的周长是 . 图K22-68.平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分,则该平行四边形的周长为 . 9.[2022·无锡]如图K22-7,平行四边形ABCD中,E,F分别是边BC,AD的中点.求证:∠ABF=∠CDE.12\n图K22-710.[2022·曲靖]如图K22-8,在平行四边形ABCD的边AB,CD上截取AF,CE,使得AF=CE,连接EF,点M,N是线段EF上的两点,且EM=FN,连接AN,CM.图K22-8(1)求证:△AFN≌△CEM;(2)若∠CMF=107°,∠CEM=72°,求∠NAF的度数.12\n11.[2022·永州]如图K22-9,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,以线段AB为边向外作等边三角形ABD,点E是线段AB的中点,连接CE并延长交线段AD于点F.图K22-9(1)求证:四边形BCFD为平行四边形;(2)若AB=6,求平行四边形BCFD的面积.12\n12.如图K22-10,O是△ABC内一点,连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.图K22-10(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.|拓展提升|13.[2022·眉山]如图K22-11,在▱ABCD中,CD=2AD,BE⊥AD于点E,F为DC的中点,连接EF,BF.下列结论:①∠ABC=2∠ABF;②EF=BF;③S四边形DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF.其中正确结论的个数共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个12\n图K22-1114.[2022·陕西]如图K22-12,点O是▱ABCD的对称中心,AD>AB,E,F是AB边上的点,且EF=12AB,G,H是BC边上的点,且GH=13BC.若S1,S2分别表示△EOF和△GOH的面积,则S1与S2之间的等量关系是 . 图K22-1215.[2022·贵阳]如图K22-13,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,点F是DE的中点,AB与AG关于AE对称,AE与AF关于AG对称.图K22-13(1)求证:△AEF是等边三角形;(2)若AB=2,求△AFD的面积.12\n12\n参考答案1.C2.C [解析]证出△ABC是等腰直角三角形,由勾股定理得出BC=22.3.C4.C [解析]设△ABC中BC边上的高为h.∵四边形DCFE是平行四边形,∴DE=CF,DE∥CF,∵BC=4CF,∴DE=14BC,∴S△ADE+S△DEB=12DE·h=12×14BC·h=14×12BC·h=6,故选C.5.60° [解析]根据四边形的内角和,垂直的性质可求得∠C=360°-90°-90°-60°=120°,再根据平行四边形的性质可求得∠B=60°.6.413 [解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=6,OB=OD,OA=OC.∵AC⊥BC,∴AC=AB2-BC2=8,∴OC=4,∴OB=OC2+BC2=213,∴BD=2OB=413.故答案为:413.7.10 [解析]由题意可知MN垂直平分线段AC,∴AE=EC,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,BC=AD.三角形ADE的周长=AD+DE+AE=BC+DE+CE=BC+CD=BC+AB=3+7=10.8.14cm或16cm [解析]如图,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB.∵AE为角平分线,∴∠DAE=∠BAE,∴∠AEB=∠BAE,∴AB=BE.①当AB=BE=2cm,CE=3cm时,周长为14cm;②当AB=BE=3cm,CE=2cm时,周长为16cm.故答案为:14cm或16cm.9.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,12\n∴∠A=∠C,AB=CD,AD=BC.∵E,F分别是边BC,AD的中点,∴AF=CE.在△ABF和△CDE中,AB=CD,∠A=∠C,AF=CE,∴△ABF≌△CDE(SAS),∴∠ABF=∠CDE.10.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∴∠AFN=∠CEM,又AF=CE,FN=EM,∴△AFN≌△CEM.(2)∵∠CMF=107°,∠CEM=72°,∠CMF=∠CEM+∠ECM,∴∠ECM=∠CMF-∠CEM=107°-72°=35°.∵△AFN≌△CEM,∴∠NAF=∠ECM=35°.11.解:(1)证明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,∴∠ABC=60°.在等边三角形ABD中,∠BAD=∠D=60°,∴∠BAD=∠ABC.∴AD∥BC,即FD∥BC.∵E为AB的中点,∴AE=BE.又∵∠AEF=∠BEC,∴△AEF≌△BEC.在△ABC中,∠ACB=90°,E为AB的中点,∴CE=12AB,BE=12AB.∴CE=BE,12\n∴△BCE是等边三角形,∴∠BCE=60°.∵△AEF≌△BEC,∴∠AFE=∠BCE=60°.又∵∠D=60°,∴∠AFE=∠D,∴FC∥BD.∴四边形BCFD是平行四边形.(2)在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,AB=6,∴BC=12AB=3,AC=3BC=33,∴S平行四边形BCFD=33×3=93.12.解:(1)证明:∵D,G分别是AB,AC的中点,∴DG∥BC,DG=12BC.∵E,F分别是OB,OC的中点,∴EF∥BC,EF=12BC,∴DG=EF,DG∥EF,∴四边形DEFG是平行四边形.(2)∵∠OBC和∠OCB互余,∴∠OBC+∠OCB=90°,∴∠BOC=90°.∵M为EF的中点,OM=3,∴EF=2OM=6.由(1)知四边形DEFG是平行四边形,∴DG=EF=6.13.D [解析]如图,延长EF交BC的延长线于G,取AB的中点H,连接FH.12\n∵CD=2AD,DF=FC,∴CF=CB,∴∠CFB=∠CBF,∵CD∥AB,∴∠CFB=∠FBH,∴∠CBF=∠FBH,∴∠ABC=2∠ABF.故①正确;∵DE∥CG,∴∠D=∠FCG,∵DF=FC,∠DFE=∠CFG,∴△DFE≌△CFG,∴FE=FG,∵BE⊥AD,∴∠AEB=90°,∵AD∥BC,∴∠EBG=∠AEB=90°,∴BF=EF,故②正确;∵S△DFE=S△CFG,∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF,故③正确;∵AH=HB,DF=CF,AB=CD,∴CF=BH,∵CF∥BH,∴四边形BCFH是平行四边形,∵CF=BC,∴四边形BCFH是菱形,∴∠BFC=∠BFH,∵FH∥AD,BE⊥AD,∴FH⊥BE,∵FE=FB,∴∠BFH=∠EFH=∠DEF,∴∠EFC=3∠DEF,故④正确.故选D.14.2S1=3S2S1=32S2,S2=23S1均正确[解析]连接AC,BD.∵四边形ABCD为平行四边形,∴AO=OC.∴S△AOB=S△BOC.∵EF=12AB,∴S1=12S△AOB.∴S△AOB=2S1.∵GH=13BC,∴S2=13S△BOC.∴S△BOC=3S2.∴2S1=3S2.15.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∵AE⊥BC,∴AE⊥AD,即∠EAD=90°.在Rt△EAD中,12\n∵F是ED的中点,∴AF=12ED=EF.∵AE与AF关于AG对称,∴AE=AF,∴AE=AF=EF,∴△AEF是等边三角形.(2)由(1)知△AEF是等边三角形,则∠EAF=∠AEF=60°,∠EAG=∠FAG=30°,在Rt△EAD中,∠ADE=30°.∵AB与AG关于AE对称,∴∠BAE=∠GAE=30°.在Rt△AEB中,AB=2,则AE=AB·cos∠BAE=2×cos30°=3.在Rt△EAD中,AD=AE·tan∠AEF=3×tan60°=3,∴S△AFD=12S△AED=12×12AE·AD=12×12×3×3=334.12
