第25讲 投影与视图A组 基础题组一、选择题1.(2022聊城)如图所示的几何体,它的左视图是( )2.(2022临沂)如图所示的几何体是由五个小正方体组成的,它的左视图是( )3.(2022湖北武汉)某物体的主视图如图所示,则该物体可能为( )13\n4.(2022聊城)如图是由若干个小正方体组成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数,这个几何体的主视图是( )5.(2022福建)某几何体的三视图如图所示,则该几何体是( )A.圆柱B.三棱柱C.长方体D.四棱锥6.(2022长沙)将下列左侧的平面图形绕轴l旋转一周,可以得到的立体图形是( )7.白天在同一时刻,小明的影子比小强的影子长,那么在同一路灯下( ) A.小明的影子比小强的影子长B.小明的影子比小强的影子短C.小明和小强的影子一样长D.无法判断谁的影子长8.圆桌面(桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后,在地面上形成如图所示的圆环形阴影.已知桌面直径为1.2m,桌面离地面1m,若灯泡离地面3m,则地面圆环形阴影的面积是( )13\nA.0.324πm2B.0.288πm2C.1.08πm2D.0.72πm29.如图,是一个正四面体,它的四个面都是正三角形,现沿它的三条棱AC,BC,CD剪开展成平面图形,则所得的展开图是( )二、填空题10.(2022滨州)如图,一个几何体的三视图分别是两个矩形,一个扇形,则这个几何体的表面积为 . 11.(2022青岛)一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体,其最下面一层摆放了9个小立方块,它的主视图和左视图如图所示,则这个几何体的搭法共有 种. 12.一个侧面积为162πcm2的圆锥,其主视图为等腰直角三角形,则这个圆锥的高为 cm. 13.如图,正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M,一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 . 三、解答题13\n14.如图,一个是由若干个完全相同的小正方体组成的几何体.(1)请画出这个几何体的左视图和俯视图;(用阴影表示)(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体,并保持这个几何体的俯视图和左视图不变,那么最多可以再添加几个小正方体?15.如图,甲、乙是住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30m,两楼间的距离AC=30m,现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况.(1)当太阳光与水平线的夹角为30°角时,求甲楼的影子在乙楼上的高度(精确到0.1m,3≈1.73);(2)若甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上,则此时太阳光与水平线的夹角为多少度?B组 提升题组一、选择题13\n 1.(2022江西)如图所示的几何体的左视图为( )2.(2022湖北武汉)一个几何体由若干个相同的正方体组成,其主视图和俯视图如图所示,则这个几何体中正方体的个数最多是( )A.3B.4C.5D.63.(2022济南)如图1,有一正方形广场ABCD,图形中的线段均表示直行道路,BD表示一条以A为圆心,AB为半径的圆弧形道路.如图2,在该广场的A处有一路灯,O是灯泡,夜晚小齐同学沿广场道路散步时,影子长度随行走路线的变化而变化,设他步行的路程为x(m)时,相应影子的长度为y(m),根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3,则他行走的路线是( )A.A→B→E→GB.A→E→D→CC.A→E→B→FD.A→B→D→C二、填空题4.(2022湖北黄冈)如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计). 13\n三、解答题5.一位同学想利用树影测树高AB.在某一时刻测得1m的竹竿的影长为0.7m,但当他马上测树影时,发现影子不全落在地上,一部分落在了附近的一幢高楼上(如图).于是他只测出了留在墙上的影长CD为1.5m,以及地面上的影长BD为4.9m.请你帮他算一下树高到底为多少米.6.研究课题:蚂蚁怎样爬最近?研究方法:如图1,正方体的棱长为5cm,一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处,要求该蚂蚁需要爬行的最短路程,可将该正方体右侧面展开,由勾股定理得最短路程为AC1=AC2+CC12=102+52=55cm.这里,我们将空间两点间最短路程问题转化为平面内两点间距离最短问题.研究实践:(1)如图2,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为6cm,一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处,蚂蚁需要爬行的最短路程为 ; (2)如图3,圆锥的母线长为4cm,圆锥的侧面展开图如图4所示,且∠AOA1=120°,一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发,沿圆锥侧面爬行一周回到点A.求该蚂蚁需要爬行的最短路程;(3)如图5,没有上盖的圆柱盒高为10cm,底面圆的周长为32cm,点A距离下底面3cm.一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处.请求出蚂蚁需要爬行的最短路程.13\n第25讲 投影与视图A组 基础题组一、选择题1.D 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D 7.D 8.D9.B二、填空题10.答案 12+15π解析 由几何体的三视图可得:该几何体是底面圆半径为2,高为3的圆柱的34,该几何体的表面积S=2×2×3+2×270π×22360+270π×2×2360×3=12+15π.11.答案 10解析 设俯视图有9个位置,如图:12345678913\n由主视图和左视图知:①第1个位置一定有4个小立方块,第6个位置一定有3个小立方块;②一定有2个位置有2个小立方块,其余5个位置有1个小立方块;③俯视图最下面一行至少有1个位置有2个小立方块,俯视图中间列至少有1个位置有2个小立方块.则这个几何体的搭法共有10种,如下图所示:421113211图1 421113121图2421113112图3 412113121图441112321113\n图5 411123121图6411123112图7 411113221图8411113122图9 411213121图10故答案为10.12.答案 4解析 设底面半径为rcm,母线为lcm,13\n∵主视图为等腰直角三角形,∴2r=2l,∴S侧=πrl=2πr2=162π(cm2),解得r=4,l=42,∴圆锥的高为4cm.13.答案 13解析 蚂蚁的爬行路线有两种情况:(1)将正方体展开如图,连接AM.∵点M是BC的中点,BC=2,∴CM=12BC=1.又∵CD=AD=2,∴AC=2AD=4.∴AM=AC2+MC2=42+12=17.(2)将正方体展开如图,连接AM.∵点M是BC的中点,BC=2,∴CM=12BC=1.又∵AD=CD=2,∴MD=MC+CD=1+2=3,∴AM=MD2+AD2=32+22=13.∵17>13,13\n∴蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为13.三、解答题14.答案 (1)画图如下:(2)在第二层第二列第二行和第三行各加一个;第三层第二列第三行加一个,第三列第三行加1个,2+1+1=4(个).故最多可再添加4个小正方体.15.解析 (1)如图,延长OB交DC于点E,作EF⊥AB于点F.在Rt△BEF中,∵EF=AC=30m,∠FEB=30°,∴BE=2BF.设BF=xm,则BE=2xm.根据勾股定理知BE2=BF2+EF2,∴(2x)2=x2+302,解得x=103(负值舍去),∴x≈17.3.∴EC=AF=AB-BF=30-17.3=12.7(m).∴当太阳光与水平线的夹角为30°时,甲楼的影子在乙楼上的高度为12.7m.(2)当甲楼的影子刚好落在点C处时,△ABC为等腰直角三角形.因此,当太阳光与水平线的夹角为45°时,甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上.B组 提升题组一、选择题1.D 从左边看是上长下短等宽的两个矩形,矩形的公共边是虚线,故选D.13\n2.C 由题图易得这个几何体共有2层,结合主视图和俯视图可知,左边下层有2个正方体,左边上层最多有2个正方体;右边只有1层,且只有1个正方体.所以这个几何体中的正方体最多有5个.故选C.3.D 根据题图3可得,函数图象的中间一部分为水平方向的线段,故影子的长度不变,即沿着弧形道路步行,故中间一段图象对应的路径为BD,又因为第一段和第三段图象都从左往右上升,所以第一段函数图象对应的路径为正方形的边AB或AD,第三段函数图象对应的路径为BC或DC,故行走的路线是A→B→D→C(或A→D→B→C),故选D.二、填空题4.答案 20解析 如图,将圆柱侧面展开,延长AC至A',使A'C=AC,连接A'B,则线段A'B的长为蚂蚁到蜂蜜的最短距离.过B作BB'⊥AD,垂足为B'.在Rt△A'B'B中,B'B=16cm,A'B'=14-5+3=12(cm),所以A'B=B'B2+A'B'2=162+122=20(cm),即蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.三、解答题5.解析 如图.设树高为xm,过C作CE⊥AB于E.则有x-1.54.9=10.7,解得x=8.5.故树高为8.5m.13\n6.解析 (1)234cm.分两种情况:①AC1=(5+5)2+62=136cm,②AC1=(6+5)2+52=146cm,∵146>136,∴最短路程为136=234cm.(2)如图1,连接AA1,过点O作OP⊥AA1,则AP=A1P,∠AOP=∠A1OP.由题意,OA=4cm,∠AOA1=120°,∴∠AOP=60°.∴AP=OA·sin∠AOP=4·sin60°=23cm.∴蚂蚁需要爬行的最短路程为AA1=43cm.(3)如图2,点B与点B'关于PQ对称,可得AC=16cm,B'C=12cm,∴最短路程为AB'=162+122=20(cm).13
