第27讲 概率A组 基础题组一、选择题1.(2022辽宁沈阳)下列事件中,是必然事件的是( )A.将油滴入水中,油会浮在水面上B.车辆随机到达一个路口,遇到红灯C.如果a2=b2,那么a=bD.掷一枚质地均匀的硬币,一定正面向上2.下列事件是随机事件的是( )A.太阳从东方升起B.任意画一个三角形,其内角和是360°C.标准大气压下,温度降到0℃以下,水会结冰D.射击运动员射击一次,命中靶心3.(2022山西)在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球,它们除颜色外都相同,随机从中摸出一个球,记下颜色后放回袋子中,充分摇匀后,再随机摸出一个球,两次都摸到黄球的概率是( )A.49B.13C.29D.194.(2022北京)下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.17\n下面有三个推断:①当投掷次数是500时,计算机记录“钉尖向上”的次数是308,所以“钉尖向上”的概率是0.616;②随着试验次数的增加,“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟此试验,则当投掷次数为1000时,“钉尖向上”的频率一定是0.620.其中合理的是( )A.①B.②C.①②D.①③5.(2022临沂)小明和小华玩“石头、剪刀、布”的游戏,若随机出手一次,则小华获胜的概率是( )A.23B.12C.13D.296.(2022兰州)一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球,其中有9个黄球,每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,那么估计盒子中小球的个数n为( )A.20B.24C.28D.307.(2022河南)现有4张卡片,其中3张卡片正面上的图案是“”,1张卡片正面上的图案是“”,除此之外它们完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是( )A.916B.34C.38D.128.(2022东营)如图,共有12个大小相同的小正方形,其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分,现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影,能构成这个正方体的表面展开图的概率是( )17\nA.47B.37C.27D.17二、填空题9.(2022福建)一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球,2个黄球,1个红球.现添加同种型号的1个球,使得从中随机抽取1个球,这三种颜色的球被抽到的概率都是13,那么添加的球是 . 10.(2022东营)有五张背面完全相同的卡片,其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形,将这五张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取一张卡片,卡片上的图形是中心对称图形的概率是 . 11.(2022北京)从甲地到乙地有A,B,C三条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况,在每条线路上随机选取了500个班次的公交车,收集了这些班次的公交车用时(单位:分钟)的数据:公交车用时公交车用时的频数线路30≤t≤3535<t≤4040<t≤4545<t≤50合计A59151166124500B5050122278500C4526516723500早高峰期间,乘坐 (填“A”“B”或“C”)线路上的公交车,从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大. 12.(2022浙江杭州)一个不透明布袋里共有3个球(只有颜色不同),其中2个红球,1个白球.从中任意摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀,再任意摸出一个球,则两次摸出的球都是红球的概率是 . 三、解答题17\n13.(2022江西)今年某市为创评“全国文明城市”称号,周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部(小悦、小惠、小艳和小倩)中通过抽签的方式确定2名女生去参加.抽签规则:将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面,把四张卡片背面朝上,洗匀后放在桌面上,梁老师先从中随机抽取一张卡片,记下姓名,再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张,记下姓名.(1)该班男生“小刚被抽中”是 事件,“小悦被抽中”是 事件(填“不可能”或“必然”或“随机”);第一次抽取卡片,“小悦被抽中”的概率为 ; (2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果,并求出“小惠被抽中”的概率.14.(2022淄博)“推进全科阅读,培育时代新人”,某学校为了更好地开展学生读书节活动,随机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间,统计数据如下表:时间/小时678910人数58121510(1)写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数;(2)根据上述表格补全下面的条形统计图;(3)学校欲从这50名学生中,随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动,其中抽到的学生读书时间不少于9小时的概率是多少?17\nB组 提升题组 一、选择题1.甲口袋中有2个白球、1个红球,乙口袋中有1个白球、1个红球,这些球除颜色外无其他差别.分别从每个口袋中随机摸出1个球.下列事件中,概率最大的是( )A.摸出的2个球颜色相同B.摸出的2个球颜色不相同C.摸出的2个球中至少有1个红球D.摸出的2个球中至少有1个白球2.(2022淄博)在一个不透明的袋子里装有四个小球,球上分别标有6,7,8,9四个数字,这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏,甲先从袋中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为m,再由乙猜这个小球上的数字,记为n.如果m,n满足|m-n|≤1,那么就称甲、乙两人“心领神会”,则两人“心领神会”的概率是( )A.38B.58C.14D.1217\n3.一个袋中装有红、黄、白球各2个,为了确保一次从中取出的球3种颜色都有,则最少要取出( )A.6个球B.5个球C.4个球D.3个球4.(2022株洲)三名学生坐在仅有的三个座位上,起身后重新就座,恰好有两名同学没有坐回原来的座位的概率是( )A.19B.16C.14D.125.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF、GH过点O,且点E、H在边AB上,点G、F在边CD上,向▱ABCD内部投掷飞镖(每次均落在▱ABCD内,且落在▱ABCD内任何一点的机会均等)恰好落在阴影区域的概率为( )A.12B.13C.14D.18二、填空题6.在一个不透明的盒子中有12个白球,若干个黄球,它们除了颜色不同外,其余均相同,若从中随机摸出一个球是黄球的概率是13,则黄球的个数是 . 7.(2022台州)三名运动员参加定点投篮比赛,原定出场顺序是:甲第一个出场,乙第二个出场,丙第三个出场.由于某种原因,要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序,则抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率为 . 三、解答题8.(2022泰安)为增强学生的安全意识,我市某中学组织初三年级1000名学生参加了“校园安全知识竞赛”活动,随机抽取了一个班学生的成绩进行整理,分为A,B,C,D四个等级,并把结果整理绘制成条形统计图与扇形统计图(部分),请依据如图提供的信息,完成下列问题:17\n(1)请估计本校初三年级等级为A的学生人数;(2)学校决定从得满分的3名女生和2名男生中随机抽取3人参加市级比赛,请求出恰好抽到2名女生和1名男生的概率.9.(2022陕西)端午节“赛龙舟,吃粽子”是中华民族的传统习俗.节日期间,小邱家包了三种不同馅的粽子,分别是:红枣粽子(记为A),豆沙粽子(记为B),肉粽子(记为C),这些粽子除了馅不同,其余均相同.粽子煮好后,小邱的妈妈在一个白盘中放入了两个红枣粽子,一个豆沙粽子和一个肉粽子;在一个花盘中放入了两个肉粽子,一个红枣粽子和一个豆沙粽子.根据以上情况,请你回答下列问题:(1)假设小邱从白盘中随机取一个粽子,恰好取到红枣粽子的概率是多少?(2)若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子,再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子,请用列表法或画树状图的方法,求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率.17\n10.(2022甘肃兰州)甘肃省省会兰州,又名金城.在金城,黄河母亲河通过自身文化的演绎,衍生和流传了独特的“金城八宝”美食,“金城八宝”中甜品类有:味甜汤糊“灰豆子”、醇香软糯“甜胚子”、生津润肺“热冬果”、香甜什锦“八宝百合”;其他类有:青白红绿“牛肉面”、酸辣清凉“酿皮子”、清爽溜滑“浆水面”、香醇肥美“手抓羊肉”.李华和王涛同时去品尝美食,李华准备在“甜胚子、牛肉面、酿皮子、手抓羊肉”这四种美食中选择一种,王涛准备在“八宝百合、灰豆子、热冬果、浆水面”这四种美食中选择一种.(甜胚子、牛肉面、酿皮子、手抓羊肉分别记为A、B、C、D;八宝百合、灰豆子、热冬果、浆水面分别记为E、F、G、H)(1)用画树状图或列表的方法表示李华和王涛同时选择美食的所有可能结果;(2)求李华和王涛同时选择的美食都是甜品类的概率.11.(2022湖北黄冈)我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动”,决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动.为了了解学生对这五项活动的喜爱情况,随机调查了m名学生(每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种).17\n根据以上统计图提供的信息,请解答下列问题:(1)m= ,n= ; (2)补全上图中的条形统计图;(3)若全校共有2000名学生,请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球;(4)在抽查的m名学生中,有小薇、小燕、小红、小梅等10名学生喜欢羽毛球活动,学校打算从小薇、小燕、小红、小梅这4名女生中,选取2名参加全市中学生女子羽毛球比赛,请用列表法或画树状图法求同时选中小红、小燕的概率.(解答过程中,可将小薇、小燕、小红、小梅分别用字母A,B,C,D代表)17\n第27讲 概率A组 基础题组一、选择题1.A 2.D3.A 列表: 第一次第二次 黄1黄2白黄1(黄1,黄1)(黄2,黄1)(白,黄1)黄2(黄1,黄2)(黄2,黄2)(白,黄2)白(黄1,白)(黄2,白)(白,白)由表格可知,共有9种等可能结果,其中两次都摸到黄球的结果有4种,∴P(两次都摸到黄球)=49,故选A.4.B ①不合理,0.616是“钉尖向上”的频率;②合理;③不合理.5.C 画树状图得:∵共有9种等可能的结果,小华获胜的情况数是3种,17\n∴小华获胜的概率是39=13.故选C.6.D 根据题意得9n=30%,解得n=30,所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球.故选D.7.D 记图案“”为字母“a”,图案“”为字母“b”,画树状图如下:共有12种等可能的结果,其中两张卡片正面图案相同的结果有6种,则所求概率为612=12.故选D.8.A 设没有涂上阴影的小正方形分别为A,B,C,D,E,F,G,如图所示,从这几个小正方形中任取一个涂上阴影共有7种情况,而能构成正方体的表面展开图的有D,E,F,G,∴能构成这个正方体的表面展开图的概率是47.故选A.二、填空题9.答案 红球(或红色的)解析 再添加1个球,则箱子中共有6个球.因为从中随机抽取1个球,三种颜色的球被抽到的概率都是13,所以每种颜色的球都有2个,故添加的球是红球.10.答案 45解析 中心对称图形有平行四边形、矩形、正方形、菱形,所以概率为45.11.答案 C 解析 由表格可知,A,B,C三条线路不超过45分钟的频数分别为376,222,477.因为222<376<477,所以从甲地到乙地“用时不超过45分钟”可能性最大的是乘坐C线路上的公交车.17\n12.答案 49解析 分别用红1,红2表示两个红球,用白表示白球.画树状图如下:由树状图可知共有9种等可能的结果,其中符合条件“两次摸出的球都是红球”的结果有4种,故所求概率为49.三、解答题13.解析 (1)不可能;随机;14.(2)解法一:根据题意,画出如下的树状图:由树状图可以得出,所有可能出现的结果共有12种,这些结果出现的可能性相等,“小惠被抽中”的结果共有6种,所以P(小惠被抽中)=612=12.解法二:根据题意,列出表格如下:小悦小惠小艳小倩小悦小悦、小惠小悦、小艳小悦、小倩小惠小惠、小悦小惠、小艳小惠、小倩小艳小艳、小悦小艳、小惠小艳、小倩17\n小倩小倩、小悦小倩、小惠小倩、小艳由上表可以得出,所有可能出现的结果共有12种,这些结果出现的可能性相等,“小惠被抽中”的结果共有6种,所以P(小惠被抽中)=612=12.14.解析 (1)观察表格,可知这组样本数据的平均数为(6×5+7×8+8×12+9×15+10×10)÷50=8.34,故这组样本数据的平均数为8.34.∵这组样本数据中,9出现了15次,出现的次数最多,∴这组数据的众数是9.∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数是8和9,∴这组数据的中位数为12×(8+9)=8.5.(2)补全图形如图所示.(3)∵读书时间是9小时的有15人,读书时间是10小时的有10人,∴读书时间不少于9小时的有15+10=25人,∴被抽到的学生读书时间不少于9小时的概率是2550=12.B组 提升题组一、选择题1.D (1)将甲口袋中的2个白球,1个红球分别记为白1,白2,红1,将乙口袋中的1个白球、1个红球分别记为白3,红2.分别从每个口袋中随机摸出1个球,所有可能出现的结果有(白1,白3),(白1,红2),(白2,白3),(白2,红2),(红1,白3),(红1,红2),共6种,它们出现的可能性相同.(2)摸出的2个球颜色相同的概率为36=12,摸出的2个球颜色不相同的概率为36=12,摸出的2个球中至少有1个红球的概率为46=23,摸出的2个球中至少有1个白球的概率为56,∴概率最大的是摸出的2个球中至少有1个白球.2.B 画树状图如下:17\n由树状图可知,共有16种等可能结果,其中满足|m-n|≤1的有10种结果,∴两人“心领神会”的概率是1016=58,故选B.3.B ∵取出3个时可能为两个颜色,取出4个时可能为两个颜色,取出5个时则最少是三种颜色,∴为了确保一次从中取出的球3种颜色都有,则最少要取出5个球,故选B.4.D 假设三名学生为A,B,C,他们最开始对应的座位为1,2,3,画树状图如下.故选D.5.C ∵四边形ABCD为平行四边形,∴△OEH和△OFG关于点O中心对称,∴S△OEH=S△OFG,∴S阴影部分=S△AOB=14S▱ABCD,∴飞镖恰好落在阴影区域的概率为S阴影部分S▱ABCD=14.故选C.二、填空题6.答案 6解析 设黄球的个数为x,根据题意得x12+x=13,解得x=6.经检验,x=6是原分式方程的解.∴黄球的个数为6.7.答案 13解析 依题意可得甲、乙、丙三人出场顺序的情况有:甲乙丙,甲丙乙,乙丙甲,乙甲丙,丙甲乙,丙乙甲,共6种情况,符合条件的有乙丙甲,丙甲乙这2种情况,∴P=26=13,故答案为13.三、解答题8.解析 (1)由题意得,所抽取班级的人数为8÷20%=40.17\n该班等级为A的人数为40-25-8-2=40-35=5.该校初三年级等级为A的学生人数约为1000×540=1000×18=125.答:估计该校初三年级等级为A的学生人数为125.(2)设两位得满分的男生为m1,m2,三位得满分的女生为g1,g2,g3.从这5名同学中选3名同学的所有可能结果为(m1,m2,g1),(m1,m2,g2),(m1,m2,g3),(m1,g1,g2),(m1,g1,g3),(m1,g2,g3),(m2,g1,g2),(m2,g2,g3),(m2,g1,g3),(g1,g2,g3),共10种.其中,恰好有2名女生,1名男生的结果为(m1,g1,g2),(m1,g1,g3),(m1,g2,g3),(m2,g1,g2),(m2,g1,g3),(m2,g2,g3),共6种.所以恰有2名女生,1名男生的概率为610=35.9.解析 (1)由题意可得,小邱从白盘中随机取一个粽子,恰好取到红枣粽子的概率是24=12.(2)列表如下: 白盘花盘 AABCA(A,A)(A,A)(B,A)(C,A)B(A,B)(A,B)(B,B)(C,B)C(A,C)(A,C)(B,C)(C,C)C(A,C)(A,C)(B,C)(C,C) 由表可知,共有16种等可能的结果,其中满足题意的情况有3种.∴小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率是316.10.解析 (1)列表如下: 王涛李华 EFGHA17\n(A,E)(A,F)(A,G)(A,H)B(B,E)(B,F)(B,G)(B,H)C(C,E)(C,F)(C,G)(C,H)D(D,E)(D,F)(D,G)(D,H)或画树状图如下:(2)根据(1)中表格或树状图,可知共有16种等可能的结果,而同时选择的美食都是甜品类的有3种结果,分别是(A,E),(A,F),(A,G).∴P(同时选择的美食都是甜品类)=316.11.解析 (1)100;5.(2)如图所示.(3)2000×20220=400(名).答:该校约有400名学生喜爱打乒乓球.(4)依题意可画树状图如下:17\n∵一共有12种等可能的结果,符合条件的有2种,∴P(同时选中小红、小燕)=212=16.17
