第一节 角、相交线与平行线考点1 角1.[2022甘肃白银]若一个角为65°,则它的补角的度数为( )A.25° B.35° C.115° D.125°2.[2022山东德州]如图,将一副三角尺按不同的位置摆放,下列摆放方式中,α与β互余的是( ) 图(1) 图(2) 图(3) 图(4)A.图(1)B.图(2)C.图(3)D.图(4)3.[2022河北]如图,快艇从P处向正北航行到A处时,向左转50°航行到B处,再向右转80°继续航行,则此时快艇的航行方向为( )A.北偏东30° B.北偏东80°C.北偏西30°D.北偏西50°考点2 相交线4.[2022广东广州越秀区二模]如图,直线AB⊥CD于点O,直线EF经过点O,若∠1=26°,则∠2的度数是( )A.26°B.64°C.54°D.以上答案都不对(第4题) (第5题)5.[2022湖南邵阳模拟]如图,OC⊥AB于点O,∠1=∠2,则图中互余的角有 对. 考点3 平行线6.[2022广东广州]如图,直线AD,BE被直线BF和AC所截,则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( )39\nA.∠4,∠2B.∠2,∠6C.∠5,∠4D.∠2,∠47.[2022平顶山一模]如图,BE∥AF,点D是AB上一点,且DC⊥BE于点C,若∠A=35°,则∠ADC的度数为( )A.105°B.115°C.125°D.135°(第7题) (第8题)8.[2022濮阳二模]如图,AB∥CD,AD平分∠BAC,若∠ADC=70°,则∠ACD的度数为( )A.35°B.40°C.45°D.50°9.[2022海南]将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置,如果∠CDE=40°,那么∠BAF的大小为( )A.10°B.15°C.20°D.25°(第9题) (第10题)10.[2022湖南郴州]如图,直线a,b被直线c所截,下列条件中,不能判定a∥b的是( )A.∠2=∠4B.∠1+∠4=180°C.∠5=∠4D.∠1=∠311.[2022湖北十堰张湾区模拟]如图,直线a∥b,Rt△BCD如图放置,∠DCB=90°.若∠1+∠B=70°,则∠2的度数为( )A.20°B.40°C.30°D.25°(第11题) (第12题)12.[2022原创]如图,直线a,b被直线c,d所截,若∠1=80°,∠2=100°,∠3=85°,则∠4的度数是( )A.80°B.85°C.95°D.100°39\n13.[2022湖北天门]如图,AD∥BC,∠C=30°,∠ADB∶∠BDC=1∶2,则∠DBC的度数是( )A.30°B.36°C.45°D.50°(第13题) (第14题)14.[2022湖北恩施州]如图所示,直线a∥b,∠1=35°,∠2=90°,则∠3的度数为( )A.125°B.135°C.145°D.155°15.[2022四川内江]如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,已知∠BDC=62°,则∠DFE的度数为( )A.31°B.28°C.62°D.56°(第15题) (第17题)16.[2022贵州铜仁]在同一平面内,设a,b,c是三条互相平行的直线,已知a与b的距离为4cm,b与c的距离为1cm,则a与c的距离为( )A.1cmB.3cmC.5cm或3cmD.1cm或3cm17.[2022湖南湘潭]如图,点E是AD延长线上一点,若添加一个条件,使BC∥AD,则可添加的条件为 .(任意添加一个符合题意的条件即可) 18.[2022内蒙古通辽]如图,∠AOB的一边OA为平面镜,∠AOB=37°45',在OB边上有一点E,从点E射出一束光线经平面镜反射后,反射光线DC恰好与OB平行,则∠DEB的度数是 . (第18题) (第19题)19.[2022安徽合肥45中模拟]如图所示,AB∥EF,∠B=35°,∠E=25°,则∠C+∠D的度数为 . 考点4 命题与证明20.[2022重庆B卷]下列命题是真命题的是( )A.如果一个数的相反数等于这个数本身,那么这个数一定是0B.如果一个数的倒数等于这个数本身,那么这个数一定是1C.如果一个数的平方等于这个数本身,那么这个数一定是039\nD.如果一个数的算术平方根等于这个数本身,那么这个数一定是021.[2022湖南衡阳]下列命题是假命题的是( )A.正五边形的内角和为540°B.矩形的对角线相等C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.圆内接四边形的对角互补22.[2022浙江舟山]用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是( )A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆心上D.点在圆上或圆内23.[2022江苏无锡]命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是 . 24.[2022北京]用一组数a,b,c的值说明命题“若a<b,则ac<bc”是错误的,则这组数的值可以是a= ,b= ,c= . 第二节 三角形及其性质考点1 三角形及其边、角关系1.[2022河北]下列图形具有稳定性的是( ) A B C D2.[2022湖南长沙]一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3,则这个三角形一定是( ) A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形3.[2022湖南常德]已知三角形两边的长分别是3和7,则此三角形第三边的长可能是( )A.1B.2C.8D.114.[2022青海]如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D,若∠A=50°,则∠BDC= °. 考点2 三角形中的重要线段5.[2022山东泰州]三角形的重心是( )A.三角形三条边上中线的交点B.三角形三条边上高线的交点C.三角形三条边垂直平分线的交点39\nD.三角形三条内角平分线的交点6.[2022浙江杭州]若线段AM,AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线,则( )A.AM>ANB.AM≥ANC.AM<AND.AM≤AN7.[2022湖北黄冈]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=( )A.2B.3C.4D.23(第7题) (第8题)8.[2022四川达州]如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M.若BC=7,则MN的长为( )A.32B.2C.52D.3考点3 等腰三角形的性质与判定9.[2022浙江湖州]如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是( )A.20°B.35°C.40°D.70°(第9题) (第12题)10.[2022江苏宿迁]若实数m,n满足等式|m-2|+n-4=0,且m,n恰好是等腰三角形ABC的两条边的长,则△ABC的周长是( )A.12B.10C.8D.611.[2022湖北武汉]平面直角坐标系中,已知点A(2,2),B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是( )A.5B.6C.7D.812.[2022贵州遵义]如图,在△ABC中.点D在BC边上,BD=AD=AC,点E为CD的中点.若∠CAE=16°,则∠B为 °. 13.[2022山东淄博]在边长为4的等边三角形ABC中,点D为BC边上的任意一点(不与点B,C重合),过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,则DE+DF= . 考点4 直角三角形的性质与判定39\n14.[2022四川泸州]“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边的长为a,较短直角边的长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )A.9B.6C.4D.315.[2022湖北黄冈]如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿3cm且与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 cm(杯壁厚度不计). 考点5 角平分线、线段垂直平分线的性质与判定16.[2022河北]已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则下列作法不正确的是( )A.作∠APB的平分线PC,交AB于点CB.过点P作PC⊥AB于点C,且AC=BCC.取AB中点C,连接PCD.过点P作PC⊥AB,垂足为点C17.[2022黑龙江大庆]如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,点M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB=( )A.30°B.35°C.45°D.60°(第17题) (第18题) (第19题)18.[2022湖南常德]如图,已知BD是△ABC的角平分线,ED垂直平分BC,∠BAC=90°,AD=3,则CE的长为( )A.6B.5C.4D.33考点6 与特殊三角形结合的动态问题19.[2022湖北鄂州]如图,AB=6,点O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=120°,点P是直线l上一点.当△APB为直角三角形时,AP= . 1.[2022平顶山三模]一副三角板有两个三角形,如图叠放在一起,则α的度数是( )A.120°B.135°C.150°D.165°39\n(第1题) (第2题)2.[2022河北唐山路南区一模]已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示,则点P叫做△ABC的( )A.中心B.重心C.外心D.内心3.[2022平顶山三模]等腰三角形一边长等于5,一边长等于10,它的周长是( )A.20B.25C.20或25D.154.[2022山东日照经济开发区一模]如图,已知点P是∠AOB的平分线上的一点,∠AOB=60°,PD⊥OA,点M是OP的中点,DM=4cm,若点C是OB上一个动点,则PC的最小值为( )A.2cmB.23cmC.4cmD.43cm(第4题) (第5题) (第6题)5.[2022郑州二模]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以点A,B为圆心,大于12AB的长为半径作弧,两弧交于点M,N,作直线MN,分别交AB,AC于点D,E,连接CD,BE,则下列结论中不一定正确的是( )A.AD=BDB.BE>CDC.∠BEC=∠BDCD.BE平分∠CBD6.[2022安阳地区模拟]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是AB,AC的中点,连接CD,过点E作EF∥DC交BC的延长线于点F,若四边形DCFE的周长为25cm,AC的长为5cm,则AB的长为( )A.13cmB.12cmC.10cmD.8cm7.[2022河南省实验中学一模]如图所示,点M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,且AB=8,MN=3,则AC的长是( )A.12B.14C.16D.18(第7题) (第8题)8.[2022四川乐山沙湾区二诊改编]如图,已知A(0,0),B(43,0),C(0,4),在△ABC内依次作等边三角形,使一边在x轴上,第三个顶点在BC边上,作出的第1个等边三角形是△AA1B1,第2个是△B1A2B2,第3个是△B2A3B3……则第2019个等边三角形的边长为( )A.322022B.322022C.322022D.32202239\n9.[2022焦作一模]如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,BC=3+1,点E,F分别是BC,AC边上的动点,沿EF所在直线折叠∠C,使点C的对应点C'始终落在边AB上,若△BEC'是直角三角形,则BC'的长为 . 第三节 全等三角形考点1 全等三角形的性质1.[2022四川成都]如图,△ABC≌△A'B'C',其中∠A=36°,∠C'=24°,则∠B= . (第1题) (第2题)2.[2022吉林中考改编]如图,Rt△ABF≌Rt△DCE,且点E,F,B,C在同一直线上.若AB=2,∠AFB=30°,则EC= . 考点2 全等三角形的判定3.[2022贵州黔南州]下列各图中a,b,c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是( ) A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙4.[2022四川成都]如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是( )A.∠A=∠DB.∠ACB=∠DBCC.AC=DBD.AB=DC(第4题)39\n(第5题)5.[2022湖南娄底]如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,请你添加一个条件(不添加字母和辅助线),使Rt△ABC≌Rt△DCB,你添加的条件是 . 考点3 全等三角形的判定与性质6.[2022四川绵阳中考改编]如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上,连接BD,若AE=2,AD=6,则△ABD的面积为( )A.3B.43C.23D.37.(8分)[2022广西桂林]如图,点A,D,C,F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.(1)求证:△ABC≌△DEF;(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度数.8.(8分)[2022浙江嘉兴]在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等边三角形.9.(8分)[2022湖北恩施州]如图,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AB∥DE,AC∥FD,AD交BE于点O.求证:AD与BE互相平分.39\n10.(9分)[2022内蒙古通辽]如图,在△ABC中,点D是BC边上一点,点E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,且AF=CD,连接CF.(1)求证:△AEF≌△DEB;(2)若AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.考点4 全等三角形的应用11.(9分)[2022湖北宜昌]杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语.其具体信息汇集如下.如图,AB∥OH∥CD,相邻平行线间的距离相等,AC,BD相交于O,OD⊥CD,垂足为D.已知AB=20米.请根据上述信息求标语CD的长度.1.[2022信阳二模]如图,E,B,F,C四点在一条直线上,EB=CF,∠A=∠D,则添加下列条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是( )A.DF∥ACB.AB=DEC.∠E=∠ABCD.AB∥DE2.[2022四川绵阳二模]如图,△ABC中,AB=AC,BD=CE,BE=CF,若∠A=50°,则∠DEF的度数是( )39\nA.75°B.70°C.65°D.60°(第2题) (第3题)3.[2022开封一模]如图,点A的坐标为(0,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等腰直角三角形ABC,使∠BAC=90°,设点B的横坐标为x,点C的纵坐标为y,则y关于x的解析式是 . 4.(9分)[2022湖南永州二模]如图,已知△ABC是等边三角形,D,E分别是AC,BC上的两点,AD=CE,且AE与BD交于点P,BF⊥AE于点F.(1)求证:△ABD≌△CAE;(2)若BP=6,求PF的长.5.(10分)[2022许昌一模](1)观察猜想如图(1),点B,A,C在同一条直线上,DB⊥BC,EC⊥BC,且∠DAE=90°,AD=AE,则BC,BD,CE之间的数量关系为 ; (2)问题解决如图(2),在Rt△ABC中,∠ABC=90°,CB=4,AB=2,以AC为直角边向外作等腰直角三角形DAC(∠DAC=90°),连接BD,求BD的长;(3)拓展延伸如图(3),在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,CB=4,AB=2,DC=DA,请直接写出BD的长.第四节 相似三角形考点1 比例的性质1.[2022甘肃兰州]已知2x=3y(y≠0),则下列结论成立的是( ) A.xy=32B.x3=2yC.xy=23D.x2=y339\n2.[2022四川成都]已知a6=b5=c4,且a+b-2c=6,则a的值为 . 考点2 黄金分割3.[2022山西]宽与长的比是5-12(约0.618)的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形(如图所示):作正方形ABCD,分别取AD,BC的中点E,F,连接EF;以点F为圆心,以FD为半径画弧,交BC的延长线于点G;作GH⊥AD,交AD的延长线于点H.则图中下列矩形是黄金矩形的是( )A.矩形ABFEB.矩形EFCDC.矩形EFGHD.矩形DCGH考点3 平行线分线段成比例定理4.[2022山东临沂]如图,已知AB∥CD,AD与BC相交于点O.若BOOC=23,AD=10,则AO= . 5.[2022浙江舟山]如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC交l1,l2,l3于点A,B,C;直线DF交l1,l2,l3于点D,E,F,已知ABAC=13,则EFDE= . (第5题) (第6题)6.[2022四川泸州中考改编]如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,则AGGF的值是 . 考点4 相似三角形的判定7.[2022河北]若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A'B'C',则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比( )A.增加了10%B.减少了10%C.增加了(1+10%)D.没有改变8.[2022湖南邵阳]如图所示,点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F,连接BF.写出图中任意一对相似三角形: . 39\n9.[2022湖北随州]在△ABC中,AB=6,AC=5,点D在边AB上,且AD=2,点E在边AC上,当AE= 时,以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似. 考点5 相似三角形的性质10.[2022重庆A卷]若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则对应高的比为( )A.3∶2B.3∶5C.9∶4D.4∶911.[2022重庆A卷]要制作两个形状相同的三角形框架,已知其中一个三角形的三边长分别为5cm,6cm和9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边长为( )A.3cm B.4cm C.4.5cm D.5cm12.[2022黑龙江齐齐哈尔]经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形,如果其中一个是等腰三角形,另外一个三角形和原三角形相似,那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图,线段CD是△ABC的“和谐分割线”,△ACD为等腰三角形,△CBD∽△ABC,∠A=46°,则∠ACB的度数为 . 考点6 位似13.[2022四川成都]如图,四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶OA'=2∶3,则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为( )A.4∶9B.2∶5C.2∶3D.2∶314.[2022山东潍坊]在平面直角坐标系中,点P(m,n)是线段AB上一点,以原点O为位似中心把△AOB的边长放大到原来的2倍,则点P的对应点的坐标为( )A.(2m,2n) B.(2m,2n)或(-2m,-2n)C.(12m,12n) D.(12m,12n)或(-12m,-12n)考点7 相似三角形的应用15.[2022山东临沂]如图,利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m,测得AB=1.6m,BC=12.4m,则建筑物CD的高是( )A.9.3mB.10.5mC.12.4mD.14m16.[2022浙江绍兴]学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置绕O点旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为点B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,则栏杆右端应下降的垂直距离CD为( )39\nA.0.2mB.0.3mC.0.4mD.0.5m17.[2022湖南岳阳]《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形的边长最大是多少步.”该问题的答案是 步.(示意图如图所示) 考点8 相似三角形的判定与性质18.[2022湖北随州]如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,则BDAD的值为( )A.1B.22C.2-1D.2+119.[2022黑龙江哈尔滨]如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GE∥BD,且交AB于点E,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是( )A.ABAE=AGADB.DFCF=DGADC.FGAC=EGBDD.AEBE=CFDF39\n20.[2022北京]如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE,交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为 . 21.(9分)[2022浙江宁波中考改编]若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,则我们把这个三角形叫做比例三角形.(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;(2)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC.求证:△ABC是比例三角形.1.[2022南阳地区模拟]如图,在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,点E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则S△DEF∶S△AOB等于( )A.1∶3B.1∶5C.1∶6D.1∶112.[2022三门峡一模]如图所示,AB∥CD∥EF,AC与BD相交于点E,若CE=4,CF=3,AE=BC,则CDAB的值是 . (第2题) (第3题)3.[2022周口地区模拟]如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,且BC=2,则AB= . 39\n4.(9分)[2022洛阳地区模拟]如图,△ABC是一块锐角三角形材料,边BC=120cm,高AD=80cm,要把它加工成矩形零件EFHG,使矩形的一边GH在BC上,其余两个顶点E,F分别在AB,AC上.(1)求证:AMAD=EFBC.(2)设EF=x,EG=y,用含x的代数式表示y.(3)设矩形EFHG的面积是S,求S与x的函数关系式,并求当x为何值时S取得最大值,最大值是多少?5.(10分)[2022商丘地区模拟]如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,点D,E分别在边AC,AB上,AD=DE=12AB.将△ADE绕点A逆时针旋转,连接BE,CD,记旋转角为θ.(1)问题发现①当θ=0°时,BECD= ; ②当θ=180°时,BECD= . (2)拓展探究试判断:当0°≤θ<360°时,BECD的大小有无变化?请仅就图(2)的情形给出证明;(3)问题解决①在旋转过程中,BE的最大值为 ; ②当△ADE旋转至B,D,E三点共线时,线段CD的长为 . 39\n[2022原创]【问题发现】(1)如图(1),在△ABC中,点E是AC的中点,点D在边BC上,直线AD与BE相交于点P,CD∶CB=1∶3,求APPD的值.小明通过添加辅助线,经过推理和计算得到APPD的值为 . 【拓展探究】(2)在(1)的条件下,若点D在边BC的延长线上,且CD∶CB=m∶n,如图(2),求APPD的值;【解决问题】(3)如图(3),在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点E是AC的中点,点D在直线CB上,直线AD与BE相交于点P,CD=4,CB=3,AC=8,请直接写出线段BP的长.第五节 锐角三角函数及其应用考点1 锐角三角函数的相关概念1.[2022天津]cos30°的值等于( )39\n A.22B.32C.1D.32.[2022云南]在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,则∠A的正切值为( )A.3B.13C.1010D.310103.[2022贵州贵阳中考改编]如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则sin∠BAC的值为( )A.12B.1C.22D.3考点2 解直角三角形4.[2022黑龙江哈尔滨]在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cosB的值为( )A.154B.14C.1515D.417175.[2022福建福州]如图,以点O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,点P是AB上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是( )A.(sinα,sinα)B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)D.(sinα,cosα)6.[2022浙江嘉兴中考改编]如图,把4个边长为1的正方形拼接成一排,求得tan∠BA1C=1,tan∠BA2C=13,tan∠BA3C=17,则tan∠BA4C= . 7.(8分)[2022贵州贵阳]如图(1),在Rt△ABC中,小亮探究asinA与bsinB之间关系的方法:∵sinA=ac,sinB=bc,∴c=asinA,c=bsinB,∴asinA=bsinB.根据你掌握的三角函数知识.在图(2)的锐角三角形ABC中,探究asinA,bsinB,csinC之间的关系,并写出探究过程.39\n考点3 解直角三角形的实际应用之仰角、俯角问题8.(9分)[2022山东德州]如图,两座建筑物的水平距离BC为60m,从点C测得点A的仰角α为53°,从点A测得点D的俯角β为37°,求两座建筑物的高度(参考数据:sin37°≈35,cos37°≈45,tan37°≈34,sin53°≈45,cos53°≈35,tan53°≈43).9.(9分)[2022云南昆明]小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国—南亚博览会”的竖直标语牌CD(如图).她在点A测得标语牌顶端D处的仰角为42°,测得隧道底端B处的俯角为30°(B,C,D三点在同一条直线上),AB=10m,隧道高6.5m(即BC=6.5m),求标语牌CD的高度(结果保留到小数点后一位.参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,3≈1.73)10.(9分)[2022四川泸州]如图,甲建筑物AD,乙建筑物BC的水平距离AB为90m,且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍,从点E(A,E,B在同一水平线上)测得点D的仰角为30°,点C的仰角为60°,求这两座建筑物顶端C,D间的距离(计算结果用根号表示,不取近似值).39\n考点4 解直角三角形的实际应用之坡度、坡角问题11.[2022山东济南]如图,为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度),把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出杆长1m处的点D离地面的高度DE=0.6m,又量得杆底与坝脚的距离AB=3m,则石坝的坡度为( )A.34B.3C.35D.412.(9分)[2022贵州安顺中考改编]如图是某市一座人行天桥的示意图,天桥离地面的高BC是10米,坡面AC的倾斜角∠CAB=45°,在距点A10米处有一建筑物HQ.为了方便行人推车过天桥,市政府部门决定降低坡度,使新坡面DC的倾斜角∠BDC=28°,若新坡面D处与建筑物之间需留下至少1.5米宽的人行道,问该建筑物是否需要拆除.(参考数据:2≈1.414,sin28°≈0.469,cos28°≈0.883,tan28°≈0.532)考点5 解直角三角形的实际应用之方位角问题13.(9分)[2022四川成都]由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2022年5月成功完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70°方向,且与航母相距80nmile,再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37°方向.如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处,求还需航行的距离BD的长.(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)39\n14.(9分)[2022广西贺州]如图,一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B.游轮以202nmile/h的速度向正东方向航行2h到达C处,此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上,求A处与灯塔B相距多少.(结果精确到1nmile,参考数据:2≈1.41,3≈1.73)考点6 解直角三角形的实际应用之其他类型15.(9分)[2022内蒙古赤峰]王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架,如图所示.已知AC=20cm,BC=18cm,∠ACB=50°,王浩的手机长度为17cm,宽为8cm,王浩同学能否将手机放入卡槽AB内?请说明理由.(参考数据:sin50°≈0.8,cos50°≈0.6,tan50°≈1.2)16.(9分)[2022广西桂林]“C919”大型客机首飞成功,激发了同学们对航空科技的兴趣,如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸,图中AB∥CD,AM∥BN∥ED,AE⊥DE,请根据图中数据,求出线段BE和CD的长.(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,结果保留到小数点后一位)39\n1.(9分)[2022洛阳三模]为改善洛阳的公共交通状况,洛阳市开始建设地铁系统.如图为某地地铁出站口的横截面示意图,为提高某一段台阶的安全性,决定进行改善,把坡角由45°减至30°,已知原台阶坡面AB的长为5m.(1)改善后的台阶坡面会加长多少?(2)求BD的长.(结果精确到0.1m,参考数据:2≈1.41,3≈1.73)2.(9分)[2022濮阳二模]如图,小东在楼AB的顶部A处测得该楼正前方旗杆CD的顶端C的俯角为42°,在楼AB的底部B处测得旗杆CD的顶端C的仰角为30°,已知旗杆CD的高度为12m,根据测得的数据,计算楼AB的高度.(结果保留整数,参考数据:sin42°≈0.7,cos42°≈0.7,tan42°≈0.9,3≈1.7)39\n3.(9分)[2022开封二模)如图,C地在A地的正东方向,因有大山阻隔,由A地到C地需要绕行B地,已知B地位于A地北偏东67°方向,距离A地520km,C地位于B地南偏东30°方向,若打通穿山隧道,建成两地直达高铁,求A地到C地之间高铁线路的长.(结果保留整数,参考数据:sin67°≈1213,cos67°≈513,tan67°≈125,3≈1.73)4.(9分)[2022新乡一模]如图,为探测某座山的高度AB,某飞机在空中C处测得山顶A处的俯角为31°,此时飞机的飞行高度CH=4km;保持飞行高度与方向不变,继续向前飞行2km到达D处,测得山顶A处的俯角为50°.求此山的高度AB.(参考数据:tan31°≈0.6,tan50°≈1.2)39\n5.(9分)[2022平顶山三模]某商场将一广告牌(AB)放置在商场大楼的顶部(如图所示).小明在商场大楼的广场上的点D处,用1m高的测角仪从点C测得广告牌的底部B的仰角为37°,然后向商场大楼的方向走了4m到达点F处,又从点E测得广告牌的顶部A的仰角为45°.已知商场大楼高BM=17m,且点A,B,M在同一直线上,求广告牌AB高度(结果精确到0.1m,参考数据:3≈1.73,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75).6.(9分)[2022南阳一模]图(1)是太阳能热水器装置的示意图,利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能,玻璃吸热管与太阳光线垂直时,吸收太阳能的效果最好.假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太阳光线与玻璃吸热管垂直).请完成以下计算:如图(2),AB⊥BC,垂足为点B,CD∥AB,FG⊥DE,垂足为点G.若θ=37°50',FG=30cm,CD=10cm,求CF的长.(结果取整数,参考数据:sin37°50'≈0.61,cos37°50'≈0.79,tan37°50'≈0.78) 图(1) 图(2)参考答案第一节 角、相交线与平行线1.C 180°-65°=115°,故该角的补角的度数为115°.故选C.39\n2.A 题图(1)中,α+β=180°-90°=90°,故α与β互余;题图(2)中,根据同角的余角相等,可得α=β;题图(3)中,根据等角的补角相等,可得α=β;题图(4)中,α+β=180°,故α与β互补.故选A.3.A 如图,过点B作BC∥PA,则∠CBD=50°,∴∠CBE=80°-50°=30°,故此时快艇的航行方向为北偏东30°.4.B ∵∠1=26°,∠DOF与∠1是对顶角,∴∠DOF=∠1=26°,又∵∠DOF与∠2互余,∴∠2=90°-∠DOF=90°-26°=64°.故选B.5.4 ∵OC⊥AB,∴∠1+∠AOE=90°,∠2+∠COD=90°,即∠1与∠AOE互余,∠2与∠COD互余,又∵∠1=∠2,∴∠1与∠COD互余,∠2与∠AOE互余.故题图中互余的角有4对.6.B 根据同位角和内错角的定义可得,∠1的同位角是∠2,∠5的内错角是∠6.故选B.7.C ∵BE∥AF,∠A=35°,∴∠B=∠A=35°,又∵DC⊥BE,∴∠BCD=90°,∴∠ADC=∠B+∠BCD=35°+90°=125°,故选C.8.B ∵AB∥CD,∴∠BAD=∠ADC=70°.∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD=2×70°=140°.∵AB∥CD,∴∠ACD=180°-∠BAC=180°-140°=40°.故选B.9.A 易知DE∥AF,∠B=30°,∴∠CFA=∠CDE=40°,∴∠BAF=∠CFA-∠B=40°-30°=10°.10.D 由∠2=∠4,∠1+∠4=180°或∠5=∠4,均可判定a∥b.由∠1=∠3,不能判定a∥b.故选D.11.A 如图,由三角形外角的性质可得∠3=∠1+∠B=70°.∵a∥b,∴∠3+90°+∠2=180°,∴∠2=20°.故选A.12.B ∵∠1=80°,∠2=100°,∴∠1+∠2=180°,∴a∥b.又∵∠3=85°,∴∠4=∠3=85°.故选B.13.D ∵AD∥BC,∴∠ADC=180°-∠C=150°,∠ADB=∠DBC.又∵∠ADB∶∠BDC=1∶2,∴∠ADB=50°,∴∠DBC=50°.14.A 如图,过直角顶点作直线c∥a,则c∥b,∴∠6=∠1=35°,∴∠4=∠5=90°-∠6=55°,∴∠3=180°-∠4=125°.15.D ∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BC,∠ADC=90°,∴∠FDB=90°-∠BDC=90°-62°=28°.∵AD∥BC,∴∠CBD=∠FDB=28°.由折叠得∠FBD=∠CBD=28°,∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°.故选D.16.C 当c在a,b之间时,a与c的距离为4-1=3(cm);当a,c在b的两侧时,a与c的距离为4+1=5(cm).17.答案不唯一,如∠A+∠ABC=180°等. 同旁内角互补,两直线平行,据此应添加:∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°;内错角相等,两直线平行,据此应添加:∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE.18.75°30'(或75.5°) ∵CD∥OB,∴∠ADC=∠AOB=37°45'.由题可得∠EDO=∠ADC=37°45',∴∠DEB=∠AOB+∠EDO=2×37°45'=75°30'(或75.5°).19.240° 如图,过点C作CG∥AB,过点D作DH∥EF.∵AB∥EF,∴AB∥EF∥CG∥DH,∴∠1=∠B=35°,∠2=∠E=25°,∠GCD+∠HDC=180°,∴∠BCD+∠CDE=35°+180°+25°=240°.20.A 如果一个数的相反数等于这个数本身,那么这个数一定是0,是真命题;如果一个数的倒数等于这个数本身,那么这个数一定是1,是假命题,也可能是-1;如果一个数的平方等于这个数本身,那么这个数一定是0,是假命题,也可能是1;如果一个数的算术平方根等于这个数本身,那么这个数一定是0,是假命题,也可能是1.故选A.21.C 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,故选项C中的命题是假命题.39\n22.D 假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是:点在圆上或圆内.故选D.23.菱形的四条边相等24.1 2 0(答案不唯一,满足a<b,c≤0即可) 根据不等式的基本性质,可知当c为0或负数时,该命题是错误的.第二节 三角形及其性质真题分点练1.A 三角形具有稳定性,故选A.2.B 设该三角形最小的内角度数为x°,则其他两个内角的度数分别为2x°,3x°,根据三角形内角和定理得x+2x+3x=180,解得x=30,则3x=90,所以该三角形最大的内角为90°,故它是直角三角形.3.C 根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,可知应选C.4.115 ∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=130°.∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于D,∴∠DBC+∠DCB=12(∠ABC+∠ACB)=12×130°=65°,∴∠BDC=115°.5.A 三角形的重心是三条中线的交点,故选A.6.D 根据垂线段最短,可得AM≤AN,且当AB=AC时,等号成立.故选D.7.C ∵CE是Rt△ABC斜边AB上的中线,∴AE=CE=5,∴DE=AE-AD=5-2=3.∵CD为AB边上的高,∴CD⊥DE.在Rt△CDE中,由勾股定理得,CD=CE2-DE2=52-32=4.故选C.8.C ∵△ABC的周长为19,BC=7,∴AB+AC=12.∵∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∴BA=BE,N是AE的中点.∵∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,∴AC=DC,M是AD的中点,∴DE=BE+DC-BC=AB+AC-BC=5,MN是△ADE的中位线,∴MN=12DE=52.故选C.9.B ∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∴AD⊥BC,∴∠CAB=2∠CAD=40°,∴∠B=∠ACB=12(180°-∠CAB)=70°.∵CE是△ABC的角平分线,∴∠ACE=12∠ACB=35°.故选B.10.B ∵|m-2|+n-4=0,∴m-2=0,n-4=0,解得m=2,n=4.当等腰三角形ABC的腰长为2时,三边的长分别为2,2,4,不符合三角形三边关系;当等腰三角形ABC的腰长为4时,三边的长分别为2,4,4,符合三角形三边关系,周长为2+4+4=10.故选B.11.A 分三种情况讨论:①当AC=AB时,满足条件的点C只有(0,0)一个;②当BC=BA时,满足条件的点C有(4+22,0)和(4-22,0)两个;③当CA=CB时,满足条件的点C有(2,0)和(0,-2)两个.综上所述,满足条件的点C共有5个,故选A.12.37 ∵AD=AC,点E是CD的中点,∴AE⊥CD,∴∠AEC=90°,∴∠C=90°-∠CAE=74°.∵AD=AC,∴∠ADC=∠C=74°.∵AD=BD,∴2∠B=∠ADC=74°,∴∠B=37°.13.23 如图,过点A作AG⊥BC于点G.∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,∴AG=32AB=23.连接AD,则S△ABD+S△ACD=S△ABC,∴12AB·DE+12AC·DF=12BC·AG.∵AB=AC=BC=4,∴DE+DF=AG=23.14.D 由题意可知小正方形的边长为a-b.∵每一个直角三角形的面积都为12ab=12×8=4,∴4×12ab+(a-b)2=25,∴(a-b)2=25-16=9,∴a-b=3,故选D.39\n15.20 由题意画出部分侧面展开图如图所示,作点A关于CF的对称点A',过点A'作A'G∥CF交EF的延长线于点G,连接A'B,交CF于点H,连接AH,则此时蚂蚁从外壁A处沿AH爬到H处,再沿HB爬到内壁B处所走的路程最短,为A'B.易知△A'GB是直角三角形,A'G=16,BG=14-5+3=12,所以A'B=A'G2+BG2=162+122=20,即蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为20cm.16.B 选项A中,作∠APB的平分线PC,交AB于点C,只需再证明AC=BC及PC⊥AB即可,故作法正确;选项C中,取AB中点C,连接PC,只需再证明PC⊥AB即可,故作法正确;选项D中,过点P作PC⊥AB,垂足为点C,只需再证明点C是AB中点即可,故作法正确.故选B.17.B 过点M作MN⊥AD于点N,∵∠B=∠C=90°,∴AB∥CD,∴∠DAB=180°-∠ADC=70°.∵DM平分∠ADC,MN⊥AD,MC⊥CD,∴MN=MC.∵点M是BC的中点,∴MC=MB,∴MN=MB,又MN⊥AD,MB⊥AB,∴∠MAB=12∠DAB=35°,故选B.18.D ∵DE垂直平分BC,∴CD=DB,∴∠C=∠DBC.∵BD平分∠ABC,∠DEB=∠A=90°,∴DE=AD=3,∠ABD=∠DBC,∴∠DBC=∠C=∠ABD,又∵∠BAC=90°,∴∠C=30°,∴CE=3DE=33.19.3,33或37 如图,以点O为圆心,OA为半径作圆,交直线l于点P1,P2,过点A作AP3⊥AB交直线l于点P3,过点B作BP4⊥AB交直线l于点P4,易知P1,P2,P3,P4四点均符合题意.∵∠1=120°,∴∠AOP1=60°,故△AOP1是等边三角形,则AP1=OA=3;在Rt△AP1P2中,∠AP1P2=60°,则AP2=3AP1=33;同理可求得AP3=BP4=33.在Rt△ABP4中,AP4=AB2+BP42=62+(33)2=37.综上所述,AP的长为3,33或37.模拟提升练1.D 如图,由三角形外角的性质,得∠1=45°+90°=135°,α=∠1+30°=135°+30°=165°.故选D.2.B 观察题图可知,点P是三角形三条中线的交点,故点P是△ABC的重心,故选B.3.B 当5为腰,10为底时,∵5+5=10,∴不能构成三角形;当腰为10时,能构成三角形,∴等腰三角形的周长为10+10+5=25.故选B.4.C ∵点P是∠AOB的平分线上一点,∠AOB=60°,∴∠AOP=12∠AOB=30°.∵PD⊥OA,点M是OP的中点,DM=4cm,∴OP=2DM=8cm,∴PD=12OP=4cm.∵点C是OB上一个动点,∴当PC⊥OB时,PC取最小值,∴PCmin=PD=4cm.故选C.5.D 由题意可知,直线MN是线段AB的垂直平分线,∴AE=BE,AD=BD,故A项中的结论正确;在Rt△ABC中,点D是AB的中点,∴CD=AD,又∵DE⊥AB,∴在Rt△ADE中,AE>AD,∴BE>CD,故B项中的结论正确;∵∠BEC是等腰三角形ABE的外角,∴∠BEC=2∠A,∵∠BDC是等腰三角形ACD的外角,∴∠BDC=2∠A,∴∠BEC=∠BDC,故C项中的结论正确;∵∠BEC=2∠A,∴∠EBC=90°-2∠A,又∵∠A=∠EBD,∴只有当∠A=30°时,才有∠EBC=30°=∠EBD,即BE平分∠CBD,故D项中的结论不一定正确.故选D.6.A ∵点D,E分别是AB,AC的中点,∴ED是Rt△ABC的中位线,∴ED∥FC,BC=2DE,又∵EF∥DC,∴四边形CDEF是平行四边形,∴DC=EF.∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线,∴AB=2DC.∵四边形DCFE的周长为25cm,∴BC=2DE=25-AB.∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5cm,∴AB2=BC2+AC2,即AB2=(25-AB)2+52,解得AB=13,故选A.39\n7.B 延长BN交AC于D,在△ANB和△AND中,∠NAB=∠NAD,AN=AN,∠ANB=∠AND=90°,∴△ANB≌△AND,∴AD=AB=8,BN=ND,又∵M是边BC的中点,∴MN是△BCD的中位线,∴DC=2MN=6,∴AC=AD+CD=14,故选B.8.A ∵B(43,0),C(0,4),∠BOC=90°,∴OB=43,OC=4,∴∠OCB=60°.∵△AA1B1为等边三角形,∴∠A1AB1=60°,∴∠COA1=30°,∴∠CA1O=90°.在Rt△BAA1中,AA1=12OB=12×43.同理,得B1A2=12A1B1=122×43,依此类推,第n个等边三角形的边长为12n×43,故第2019个等边三角形的边长为122022×43=322022,故选A.9.3+33或2 分两种情况讨论.①如图(1),当∠BEC'=90°时,∵∠B=30°,∴BE=3C'E,又∵CE=C'E,BC=3+1,∴BE=3,C'E=1,∴BC'=2C'E=2.②如图(2),当∠BC'E=90°时,∵∠B=30°,∴BE=2C'E=2CE,又∵BC=3+1,∴BE=23(3+1),C'E=13(3+1),∴BC'=3C'E=3+33.综上所述,BC'的长为3+33或2. 图(1) 图(2)第三节 全等三角形真题分点练1.120° 由全等三角形的性质可得∠A=∠A'=36°,∠C=∠C'=24°,∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-36°-24°=120°.2.4 ∵△ABF≌△DCE,∴BF=EC.在Rt△ABF中,∠AFB=30°,AB=2,∴BF=2AB=4,∴EC=BF=4.3.B 利用SAS,可证明三角形乙和△ABC全等,利用AAS,可证明三角形丙和△ABC全等,故选B.4.C 已知∠ABC=∠DCB,BC=CB,根据全等三角形的判定,可知添加夹这组对应角的另一边对应相等或添加另一组角对应相等均可判定△ABC≌△DCB.添加A,B,D中条件,均能判定△ABC≌△DCB.添加C中条件,不能判定△ABC≌△DCB.故选C.5.答案不唯一,如AB=DC等. 在Rt△ABC与Rt△DCB中,∠A=∠D=90°,BC=CB.添加AB=DC或AC=DB,可利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DCB;添加∠ABC=∠DCB或∠ACB=∠DBC,可利用AAS证明Rt△ABC≌Rt△DCB.6.D ∵∠ECD=∠ACB=90°,∴∠ECA=∠DCB.∵CE=CD,CA=CB,∴△ECA≌△DCB,∴∠CDB=∠E=45°,BD=AE=2.∵∠EDC=45°,∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°,∴S△ADB=12AD·BD=12×6×2=3,故选D.7.(1)证明:∵AC=AD+DC,DF=DC+CF,AD=CF,∴AC=DF.在△ABC和△DEF中,AB=DE,BC=EF,AC=DF,∴△ABC≌△DEF.(4分)(2)由(1)可知,∠F=∠ACB,∵∠A=55°,∠B=88°,∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=180°-(55°+88°)=37°,∴∠F=∠ACB=37°.(8分)8.证明:∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°.39\n∵点D为AC的中点,∴AD=DC.在Rt△ADE和Rt△CDF中,AD=DC,DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△CDF,(4分)∴∠A=∠C,∴BA=BC.(6分)又∵AB=AC,∴AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形.(8分)9.证法一:如图,连接AE,BD.∵FB=CE,(1分)∴FB+FC=CE+FC,即BC=EF.∵AB∥ED,∴∠ABC=∠DEF.∵AC∥FD,∴∠ACB=∠DFE.在△ABC和△DEF中,∠ABC=∠DEF,BC=EF,∠ACB=∠DFE,∴△ABC≌△DEF,∴AB=DE.又∵AB∥DE,∴四边形ABDE是平行四边形,∴AD与BE互相平分.(8分)证法二:∵FB=CE,∴FB+FC=CE+FC,即BC=EF.∵AB∥ED,∴∠ABC=∠DEF.∵AC∥FD,∴∠ACB=∠DFE.在△ABC和△DEF中,∠ABC=∠DEF,BC=EF,∠ACB=∠DFE,∴△ABC≌△DEF,∴AB=DE.39\n在△ABO和△DEO中,∠ABO=∠DEO,∠AOB=∠DOE,AB=DE,∴△ABO≌△DEO,∴OA=OD,OB=OE,∴AD与BE互相平分.(8分)10.(1)证明:∵点E是AD的中点,∴AE=DE.∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∠EAF=∠EDB,∴△AEF≌△DEB.(3分)(2)四边形ADCF是矩形.证明:连接DF,∵AF∥CD,AF=CD,∴四边形ADCF是平行四边形.∵△AEF≌△DEB,∴BE=FE.又∵AE=DE,∴四边形ABDF是平行四边形,∴DF=AB.∵AB=AC,∴DF=AC,∴四边形ADCF是矩形.(9分)11.∵AB∥CD,OD⊥CD,∴∠ABO=∠CDO=90°.(2分)∵相邻两平行线间的距离相等,∴OB=OD.(4分)在△ABO与△CDO中,∠ABO=∠CDO,OB=OD,∠AOB=∠COD,∴△ABO≌△CDO,(8分)∴CD=AB=20米.(9分)(也可利用“AAS”证△ABO≌△CDO,其他过程相同)模拟提升练1.B ∵EB=CF,∴EF=BC.添加选项A中的条件后,可得∠C=∠DFE,可利用AAS证明△ABC≌△DEF;添加选项B中的条件后,不能证明△ABC≌△DEF;添加选项C中的条件后,可利用AAS证明△ABC≌△DEF;添加选项D中的条件后,可得∠ABC=∠E,可利用AAS证明△ABC≌△DEF.故选B.2.C ∵AB=AC,∴∠B=∠C.在△DBE和△ECF中,BD=EC,∠B=∠C,EB=CF,∴△DBE≌△ECF,∴∠EFC=∠DEB.∵∠A=50°,∴∠C=(180°-50°)÷2=65°,∴∠CFE+∠FEC=180°-65°=115°,∴∠DEB+∠FEC=115°,∴∠DEF=180°-115°=65°,故选C.39\n3.y=x+1 如图,过点C作CD⊥y轴于点D,∵∠CAB=90°,∴∠OAB+∠CAD=90°.∵∠AOB=90°,∴∠OAB+∠ABO=90°,∴∠CAD=∠ABO.在△OAB和△DCA中,∠AOB=∠ADC,∠OBA=∠DAC,AB=AC,∴△OAB≌△DCA,∴AD=OB=x.∵点C到x轴的距离为y,∴AD+OA=y,∴y=x+1.4.(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=CA,∠BAD=∠ACE=60°.在△ABD和△CAE中,AB=CA,∠BAD=∠ACE,AD=CE,∴△ABD≌△CAE.(4分)(2)∵△ABD≌△CAE,∴∠ABD=∠CAE.∴∠BPF=∠BAP+∠ABD=∠BAP+∠CAE=∠BAD=60°.∵BF⊥AE,∴∠PFB=90°,∴PF=12BP=3.(9分)5.(1)BC=BD+CE(2分)(2)过点D作DE⊥AB,交BA的延长线于点E,同(1)可得△ABC≌△DEA,∴DE=AB=2,AE=BC=4.在Rt△BDE中,BE=2+4=6,∴BD=62+22=210.(8分)(3)BD=32.(10分)第四节 相似三角形真题分点练1.A 将等式2x=3y两边同时除以2y,得2x2y=3y2y,即xy=32.2.12 设a6=b5=c4=k,则a=6k,b=5k,c=4k.因为a+b-2c=6,所以6k+5k-2×4k=6,解得k=2,所以a=6k=6×2=12.3.D 设正方形ABCD的边长为2,则FG=FD=12+22=5,DH=CG=FG-FC=5-1.矩形DCGH的宽与长的比为DHCD=5-12,故矩形DCGH是黄金矩形.4.4 ∵AB∥CD,∴AOOD=BOOC=23,∴AOAD=25,则AO=25AD=25×10=4.5.2 ∵ABAC=13,∴BCAB=2.∵l1∥l2∥l3,∴EFDE=BCAB=2.6.65 如图,过点F作FN∥AD,交AB于点N,交BE于点M.∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD.∵FN∥AD,∴四边形ANFD是平行四边形.∵∠D=90°,∴四边形ANFD是矩形.设DE=a,则AE=3a,AB=CD=FN=AD=4a,AN=DF=2a.∵AN=BN,MN∥AE,∴BM=ME,MN=32a,∴FM=52a,∵AE∥FM,∴AGGF=AEFM=3a52a=65.39\n7.D 由题意,可知A'B'=(1+10%)AB,B'C'=(1+10%)BC,A'C'=(1+10%)AC,∴ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'=11+10%,∴△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B',即∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比没有改变.8.△EFC∽△AFD,△EAB∽△AFD,△EFC∽△EAB(答案不唯一,任写一个即可)9.125或53 分两种情况讨论:①当△ADE∽△ABC时,如图(1),ADAB=AEAC,即26=AE5,解得AE=53.②当△ADE∽△ACB时,如图(2),ADAC=AEAB,即25=AE6,解得AE=125. 图(1) 图(2)10.A 根据“相似三角形对应高之比等于相似比”可知,对应高的比为3∶2.11.C 设另一个三角形的最长边长为xcm.由题意可知,这两个三角形相似,对应边成比例,故2.55=x9,解得x=4.5.12.113°或92° ∵△CBD∽△ABC,∴∠BCD=∠A=46°.∵∠ADC=∠BCD+∠B,∴∠ADC>∠BCD,∴∠ADC>∠A,∴AC≠CD,分两种情况讨论:①当AC=AD时,∠ACD=∠ADC=12(180°-46°)=67°,∴∠ACB=67°+46°=113°;②当DA=DC时,∠ACD=∠A=46°,∴∠ACB=46°+46°=92°.13.A 由题意可知,四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的位似比为2∶3,∴它们的面积比为4∶9.14.B 根据位似的特征,可知将点P的横、纵坐标分别乘以2或-2,即可得到点P的对应点的横、纵坐标,故选B.15.B 由题意知BE∥CD,∴△ABE∽△ACD,∴BECD=ABAC,即1.2CD=1.61.6+12.4,解得CD=10.5.16.C ∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴AB∥CD,∴AOCO=ABCD,即41=1.6CD,解得CD=0.4.故选C.17.6017 如图,设该直角三角形的短直角边为BC,长直角边为AB,其容纳的正方形DEFB的边长为x,则DE=BF=x,AD=12-x,FC=5-x.易得△ADE∽△EFC,∴ADEF=DEFC,即12-xx=x5-x,解得x=6017.18.C ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴(ABAD)2=S△ABCS△ADE=2,∴ABAD=2,则BDAD=ABAD-1=2-1.19.D ∵EG∥BD,∴ABAE=ADAG,选项A中的结论错误;∵GF∥AC,∴DFCF=DGAG,选项B中的结论错误;∵GF∥AC,∴FGAC=DGAD,∵EG∥BD,∴EGBD=AGAD,而DG与AG不一定相等,故选项C中的结论不一定正确;∵EG∥BD,GF∥AC,∴AEBE=AGDG=CFDF,选项D中的结论正确.故选D.20.103 在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC=AB2+BC2=42+32=5.∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠FAE=∠FCD,∠AEF=∠CDF,∴△AEF∽△CDF,∴CFAF=CDAE=2,∴CF=2AF,∴CF=23AC=23×5=103.21.(1)43,92或6.(3分)(2)证明:∵AD∥BC,39\n∴∠ACB=∠CAD.又∵∠BAC=∠ADC,∴△ABC∽△DCA,∴BCCA=CAAD,即CA2=BC·AD.∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD,∴CA2=BC·AB.∴△ABC是比例三角形.(9分)模拟提升练1.C ∵四边形ABCD是平行四边形,∴DO=BO,又∵点E为OD的中点,∴DE=14DB,∴DE∶EB=1∶3.∵AB∥DC,∴△DFE∽△BAE,∴S△DEFS△BAE=(13)2=19,∴S△DEF=19S△BAE.∵S△AOBS△ABE=23,∴S△AOB=23S△BAE,∴S△DEF∶S△AOB=19S△BAE23S△BAE=1∶6,故选C.2.13 ∵AB∥EF,∴CEEA=CFBF,∵CE=4,CF=3,AE=BC,∴4AE=3AE-3,解得AE=12,∵AB∥CD,∴CDAB=CEAE=412=13.3.5+1 如图,作∠ABC的平分线交AC于点D,∵AB=AC,且∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∴∠ABD=∠CBD=36°,∴DA=DB,而∠BDC=∠A+∠ABD=72°,∴BD=BC,∴AD=BC.∵∠CBD=∠A,∠BCD=∠ACB,∴△BCD∽△ABC,∴BC∶AB=CD∶BC,∴BC2=CD·AB,∴AD2=CD·AC,∴点D为AC的黄金分割点,∴ADAC=5-12,即2AC=5-12,∴AC=5+1=AB.4.(1)证明:∵四边形EFHG是矩形,∴EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴AMAD=EFBC.(3分)(2)∵EF=x,EG=y,∴AM=80-y,根据(1)中结论,可得80-y80=x120,整理,得y=-23x+80.(6分)(3)S矩形EFHG=EG·EF=(-23x+80)x=-23x2+80x,(8分)即S=-23(x-60)2+2400,故当x=60时,S最大,最大值为2400.(9分)5.(1)①2(1分)②2(2分)(2)当0°≤θ<360°时,BECD的大小没有变化.39\n证明:∵∠CAB=∠DAE,∴∠CAD=∠BAE.∵ADAC=AEAB,∴△ADC∽△AEB,∴BECD=ABAC=222=2.(6分)(3)①22+2(8分)②3-1或3+1(10分)6.(1)①CE=EF(1分)②12(2分)(2)CEMN=12.(3分)证明:如图,过点M作MG∥AB,交CD于点H,交CF于点G.(4分)则∠CMG=∠A=45°,CH⊥MG,∴MH=HC.∵∠CMG=∠CMN+∠NMG=∠BAC=2∠CMN,∴∠CMN=∠NMG.又∵CE⊥NM,∴CE=EG.(5分)∵∠1+∠3=∠4+∠2=90°,且∠3=∠4,∴∠1=∠2,∴△MHN≌△CHG,(7分)∴MN=CG=2CE,∴CEMN=12.(8分)(3)CEMN=tanα2.(10分)原创新题练(1)32(2分)(2)过点A作直线AF∥PB交直线DB于点F,则CEEA=CBBF,APPD=FBDB.(6分)又∵点E是AC的中点,∴CEEA=CBBF=1.∵CD∶CB=m∶n,∴设CD=mk,则CB=FB=nk,DB=DC+BC=(m+n)k,∴APPD=FBDB=nm+n.(8分)(3)BP的长为5或7.(10分)原创新题练(1)32(2分)(2)过点A作直线AF∥PB交直线DB于点F,则CEEA=CBBF,APPD=FBDB.(6分)又∵点E是AC的中点,∴CEEA=CBBF=1.∵CD∶CB=m∶n,∴设CD=mk,则CB=FB=nk,DB=DC+BC=(m+n)k,∴APPD=FBDB=nm+n.(8分)(3)BP的长为5或7.(10分)第五节 锐角三角函数及其应用39\n真题分点练1.B2.A 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,∴tanA=BCAC=31=3,故选A.3.C 连接BC,由题可得AB=BC=5,AC=10,∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC为等腰直角三角形,∴∠BAC=45°,∴sin∠BAC=22,故选C.4.A 由勾股定理,得BC=AB2-AC2=42-12=15.根据余弦的定义,得cosB=BCAB=154.5.C 过点P作PC⊥OB于点C.在Rt△POC中,PC=sinα·OP=sinα,OC=cosα·OP=cosα,故点P的坐标为(cosα,sinα).6.113 过点C作CH⊥BA4于点H,由勾股定理,得BA4=42+12=17,A4C=10,∵S△BA4C=12×1×1=12,∴12×17×CH=12,解得CH=1717,则A4H=A4C2-CH2=131717,∴tan∠BA4C=CHA4H=113.7.如图,过点A作AD⊥BC于点D,过点B作BE⊥AC于点E,在Rt△ABD中,sin∠ABD=ADc,∴AD=csin∠ABD.在Rt△ADC中,sinC=ADb,∴AD=bsinC,∴csin∠ABD=bsinC,即bsin∠ABD=csinC.(6分)同理可得asin∠BAC=csinC,则asin∠BAC=bsin∠ABC=csinC.(8分)8.如图,过点D作DE⊥AB于点E,则DE=BC=60.在Rt△ABC中,tan53°=ABBC,∴AB60≈43,∴AB=80.(4分)在Rt△ADE中,tan37°=AEDE,∴34≈AE60,∴AE=45,∴CD=BE=AB-AE=35.答:两座建筑物的高度分别约为80m和35m.(9分)39\n9.如图,过点A作AE⊥BD于点E.在Rt△AEB中,∵∠EAB=30°,AB=10m,∴BE=5m,AE=53m.在Rt△ADE中,DE=AE·tan42°≈7.79(m),∴BD=DE+BE=12.79m,∴CD=BD-BC=12.79-6.5≈6.3(m).答:标语牌CD的高度约为6.3m.(9分)10.由题意知:BC=6AD,AE+BE=AB=90m.在Rt△ADE中,tan30°=ADAE,sin30°=ADDE,∴AE=AD33=3AD,DE=2AD.在Rt△BCE中,tan60°=BCBE,sin60°=BCCE,∴BE=BC3=23AD,CE=23BC3=43AD.∵AE+BE=AB=90m,∴3AD+23AD=90,∴AD=103,∴DE=203m,CE=120m.∵∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°,∠DEA=30°,∠CEB=60°,∴∠DEC=90°,∴CD=DE2+CE2=15600=2039(m).答:这两座建筑物顶端C,D间的距离为2039m.(9分)11.B 如图,过点C作CF⊥AB,垂足为点F,则DE∥CF,∴ADAC=DECF,即15=0.6CF,解得CF=3,∴AF=52-32=4,又∵AB=3,∴BF=4-3=1,故石坝的坡度为CFBF=31=3,故选B.12.由题意知,AH=10米,BC=10米,在Rt△ABC中,∵∠CAB=45°,∴AB=BC=10米.在Rt△DBC中,∵∠CDB=28°,∴DB=BCtan∠CDB=10tan28°≈18.80(米),∴DH=AH+AB-DB=10+10-18.80=1.2(米),故该建筑物需要拆除.(9分)39\n13.由题可知∠ACD=70°,∠BCD=37°,AC=80nmile.在Rt△ACD中,cos∠ACD=CDAC,∴0.34≈CD80,∴CD=27.2.在Rt△BCD中,tan∠BCD=BDCD,∴0.75≈BD27.2,∴BD=20.4.答:还需航行的距离BD的长约为20.4nmile.(9分)14.过点C作CM⊥AB,垂足为M,在Rt△ACM中,∠MAC=90°-45°=45°,则∠MCA=45°,∴AM=MC,由勾股定理得AM2+MC2=AC2=(202×2)2,解得AM=CM=40.∵∠ECB=15°,∴∠BCF=90°-15°=75°,∴∠B=∠BCF-∠MAC=75°-45°=30°,在Rt△BCM中,tanB=tan30°=CMBM,即33=40BM,∴BM=403,∴AB=AM+BM=40+403≈40+40×1.73≈109(nmile).答:A处与灯塔B约相距109nmile.(9分)15.王浩同学能将手机放入卡槽AB内.(1分)理由:如图,过点A作AD⊥BC于点D,∵∠C=50°,AC=20cm,∴AD=AC·sin50°≈20×0.8=16(cm),CD=AC·cos50°≈20×0.6=12(cm).∵BC=18cm,∴DB=BC-CD=18-12=6(cm),∴AB=AD2+BD2=162+62=292(cm).∵17<292,∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内.(9分)16.∵BN∥ED,∴∠BDE=∠NBD=37°,∵AE⊥DE,∴∠E=90°,∴BE=DE·tan∠BDE≈18.8(cm).(3分)过点C作CF⊥AE于点F,∵∠FCA=∠CAM=45°,∴AF=FC=25cm.∵CD∥AE,39\n∴四边形CDEF为矩形,∴CD=EF.∵AE=AB+EB=17+18.8=35.8(cm),∴CD=EF=AE-AF=35.8-25=10.8(cm).答:线段BE的长约为18.8cm,线段CD的长约为10.8cm.(9分)模拟提升练1.(1)在Rt△ABC中,∠ABC=45°,AB=5,∴BC=AC=AB·sin∠ABC=5×22=522.∵∠ADC=30°,∴AD=2AC=52,∴AD-AB=52-5≈2.1.答:改善后的台阶坡面会加长约2.1m.(4分)(2)∵∠ADC=30°,∴CD=ACtan∠ADC=52233=562,∴BD=CD-BC=562-522=52×2×(3-1)≈2.6.答:BD的长约为2.6m.(9分)2.在Rt△CBD中,∠CBD=30°,CD=12m,∴DB=CDtan30°=123(m).过点C作CE⊥AB于点E,则CE=DB=123m.由题可知,∠ACE=42°,则AE=CE·tan42°≈123×0.9≈18.4(m),∴AB=BE+AE=CD+AE=12+18.4≈30(m).答:楼AB的高度约为30m.(9分)3.过点B作BD⊥AC于点D.根据题意可知∠ABD=67°,∴AD=AB·sin67°≈520×1213=480(km),(2分)BD=AB·cos67°≈520×513=200(km).(4分)由题意可知∠CBD=30°,∴CD=BD·tan30°=20223km,(6分)∴AC=AD+CD=480+20223≈595(km).答:A地到C地之间高铁线路的长约为595km.(9分)4.延长BA交直线CD于点E.由题意知BE=CH=4km.设AE=xkm.在Rt△ADE中,∠ADE=50°,∴DE=AEtan50°≈x1.2=56x(km),∴CE=(56x+2)km.在Rt△ACE中,∠ACE=31°,39\n∴AE=CE·tan31°,即x≈0.6(56x+2),解得x=2.4,∴AB=BE-AE=4-2.4=1.6(km).答:此山的高度AB约为1.6km.(9分)5.过点C作CN⊥AM于点N,则点C,E,N在同一直线上.设AB=xm,则AN=x+(17-1)=(x+16)(m).在Rt△AEN中,∠AEN=45°,∴EN=AN=(x+16)m.(3分)在Rt△BCN中,∠BCN=37°,∴BN=CN·tan37°,(6分)∴17-1≈0.75(x+16+4),解得x≈1.3.答:宣传牌AB的高度约为1.3m.(9分)6.如图,延长ED,BC交于点K,过点E作EM∥AB,交BC于点M.由题意可知∠1+θ=90°,且∠1=∠2,∠2+∠K=90°,∴∠K=θ=37°50'.(2分)在Rt△CDK中,CK=CDtan∠K≈100.78≈12.82(cm).(4分)在Rt△KGF中,KF=GFsin∠K≈300.61≈49.18(cm),(7分)∴CF=KF-KC=49.18-12.82≈36(cm),(8分)答:CF的长约为36cm.(9分)39
