第一节 圆的基本性质考点1 圆周角定理及其推论1.[2022山东聊城]如图,☉O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是( ) A.25°B.27.5°C.30°D.35°(第1题) (第2题)2.[2022陕西]如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,∠BCA=65°,作CD∥AB,并与☉O相交于点D,连接BD,则∠DBC的大小为( )A.15°B.35°C.25°D.45°3.[2022广东广州]如图,在☉O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为点E,连接CO,AD,∠BAD=20°,则下列说法中正确的是( )A.AD=2OBB.CE=EOC.∠OCE=40°D.∠BOC=2∠BAD4.(9分)[2022湖北宜昌中考改编]如图,在△ABC中,AB=AC.以AB为直径的半圆交AC于点D,交BC于点E.延长AE至点F,使EF=AE,连接FB,FC.(1)求证:四边形ABFC是菱形;(2)若AD=7,BE=2,求cos∠BAD的值.考点2 圆内接四边形的性质5.[2022江苏苏州]如图,AB是半圆的直径,O为圆心,C是半圆上的点,D是AC上的点,若∠BOC=40°,则∠D的度数为( )A.100°B.110°C.120°D.130°32\n(第5题) (第6题)6.[2022湖北黄石]如图,已知☉O为四边形ABCD的外接圆,O为圆心,若∠BCD=120°,AB=AD=2,则☉O的半径长为( )A.322B.62C.32D.2337.[2022江苏扬州]如图,已知☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,则AB= . (第7题) (第8题)8.[2022湖南永州]如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点D是AC的中点,点E是BC上的一点,若∠CED=40°,则∠ADC= °. 9.(9分)[2022江苏无锡]如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cosB=35,求AD的长.32\n1.[2022平顶山一模]如图,已知AB是☉O的直径,BC是弦,∠ABC=40°,过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D,连接DC,则∠DCB为( )A.20°B.25°C.30°D.35°2.[2022南阳地区模拟]如图,在☉O中,∠AOB的度数为160°,C是优弧AB上一点,D,E是AB上不同的两点(不与点A,B重合),则∠D+∠E的度数为( )A.160°B.140°C.100°D.80°(第2题) (第3题)3.[2022南阳地区模拟]如图,四边形ABCD内接于☉O,F是CD上一点,且DF=BC,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC,若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为( )A.45°B.50°C.55°D.60°4.[2022浙江金华一模]如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆O上,把半圆沿弦AC折叠,AC恰好经过点O,则BC与AC的关系是( )A.BC=12ACB.BC=13ACC.BC=ACD.不能确定(第4题) (第5题)5.[2022洛阳三模]如图,以△ABC的边BC为直径的☉O交AB,AC于点D,E,连接OD,OE,若∠DOE=40°,则∠A的度数为 . 6.(9分)[2022合肥瑶海区一模]如图,在半径为4的☉O中,AB,CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交☉O于点E,且EM>MC.连接DE,DE=15.(1)求证:AM·MB=EM·MC;(2)求EM的长.32\n7.(9分)[2022焦作一模]如图,在△ABC中,以AB为直径的☉O交AC,BC于点D,E.连接ED,若ED=EC.(1)求证:AB=AC;(2)填空:①若AB=6,CD=4,则BC= ; ②连接OD,当∠A= °时,四边形ODEB是菱形. 8.(9分)[2022三门峡二模改编]如图,在△ABC中,AB=102,∠BAC=60°,∠B=45°,点D是BC边上一动点,连接AD,以AD为直径作☉O,☉O交边AB,AC于点E,F,连接OE,OF,DE,DF,EF.(1)求EFOE的值;(2)当∠BAD= °时,四边形OEDF正好是菱形,请说明理由; (3)点D运动过程中,线段EF的最小值为 (直接写出结果). 第二节 与圆有关的位置关系考点1 点与圆的位置关系1.[2022山东枣庄]如图,在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点),若以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围为( ) 32\nA.22<r<17B.17<r<32C.17<r<5D.5<r<292.[2022山东泰安]如图,☉M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点,若点A,B关于原点O对称,则AB的最小值为( )A.3B.4C.6D.8(第2题) (第3题)3.[2022安徽中考改编]如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为 . 考点2 直线与圆的位置关系4.[2022湖南湘西州中考改编]已知☉O的半径为5cm,圆心O到直线l的距离为6cm,则直线l与☉O的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.无法确定5.[2022黑龙江大庆]已知直线y=kx(k≠0)经过点(12,-5),将直线向上平移m(m>0)个单位,若平移后得到的直线与半径为6的☉O相交(点O为坐标原点),则m的取值范围为 . 6.(9分)[2022湖北仙桃]如图,在☉O中,AB为直径,AC为弦.过BC延长线上一点G,作GD⊥AO于点D,交AC于点E,交☉O于点F,M是GE的中点,连接CF,CM.(1)判断CM与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若∠ECF=2∠A,CM=6,CF=4,求MF的长.考点3 切线的性质7.[2022黑龙江哈尔滨]如图,点P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为( )A.3B.33C.6D.932\n(第7题) (第8题)8.[2022山东泰安]如图,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M,若∠ABC=55°,则∠ACD等于( )A.20°B.35°C.40°D.55°9.[2022江苏连云港]如图,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=22°,则∠OCB= . (第9题) (第10题)10.[2022浙江宁波]如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心、PM的长为半径作☉P.当☉P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为 . 11.(9分)[2022北京]如图,AB是☉O的直径,过☉O外一点P作☉O的两条切线PC,PD,切点分别为C,D,连接OP,CD.(1)求证:OP⊥CD;(2)连接AD,BC.若∠DAB=50°,∠CBA=70°,OA=2,求OP的长.12.(9分)[2022湖北随州]如图,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,CN为☉O的切线,连接AC,BC,过点O作OM⊥AB,分别交AC,CN于D,M两点.(1)求证:MD=MC;(2)若☉O的半径为5,AC=45,求MC的长.32\n考点4 切线的判定13.(9分)[2022湖北黄石]如图,已知A,B,C,D,E是☉O上五点,☉O的直径BE=23,∠BCD=120°,A为BE的中点,延长BA到点P,使BA=AP,连接PE.(1)求线段BD的长;(2)求证:直线PE是☉O的切线.14.(9分)[2022江西]如图,在△ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心、OC的长为半径作圆,与BC相切于点C,过点A作AD⊥BO,交BO的延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.(1)求证:AB为☉O的切线;(2)若BC=6,tan∠ABC=43,求AD的长.考点5 三角形的内切圆和外接圆15.[2022广东广州]如图,☉O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的( )A.三条边的垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点16.[2022湖北武汉]已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为( )A.32B.32C.3D.2332\n17.[2022河北]如图,点I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2.将∠ACB平移,使其顶点与点I重合,则图中阴影部分的周长为( )A.4.5B.4C.3D.218.[2022山东临沂]如图,在△ABC中,∠A=60°,BC=5cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm. (第18题) (第19题)19.[2022江苏泰州]如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B,P的坐标分别为(1,0),(2,5),(4,2).若点C在第一象限内,且横坐标、纵坐标均为整数,P是△ABC的外心,则点C的坐标为 . 20.(9分)[2022浙江温州]如图,D是△ABC的BC边上一点,连接AD,作△ABD的外接圆,将△ADC沿直线AD折叠,点C的对应点E落在BD上.(1)求证:AE=AB;(2)若∠CAB=90°,cos∠ADB=13,BE=2,求BC的长.21.(9分)[2022江苏南京]结果如此巧合!下框中是小颖对一道题目的解答.32\n题目:如图,Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,求△ABC的面积.解:设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x,根据切线长定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x,根据勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2,整理,得x2+7x=12,所以S△ABC=12AC·BC=12(x+3)(x+4)=12(x2+7x+12)=12×(12+12)=12.小颖发现12恰好就是3×4,即△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗?请你帮她完成下面的探索.已知:△ABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n.可以一般化吗?(1)若∠C=90°,求证:△ABC的面积等于mn.倒过来思考呢?(2)若AC·BC=2mn,求证:∠C=90°.改变一下条件……(3)若∠C=60°,用m,n表示△ABC的面积.32\n考点6 正多边形和圆22.[2022四川达州]以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是( )A.22B.32C.2D.323.[2022湖南株洲]如图,正五边形ABCDE和正三角形AMN都是☉O的内接多边形,则∠BOM= . 24.[2022四川宜宾]刘徽是中国古代卓越的数学家之一,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设☉O的半径为1,若用☉O的外切正六边形的面积S来近似估计☉O的面积,则S= .(结果保留根号) 1.[2022郑州外国语模拟改编]如图,☉O是△ABC的外接圆,弦AC的长为2,sinB=23,则☉O的直径为( )A.4B.3C.2D.1(第1题) (第2题)2.[2022南阳地区模拟]如图,☉O的半径为2,△ABC是☉O的内接三角形,连接OB,OC.若∠BAC与∠BOC互补,则弦BC的长为( )A.43B.33C.23D.33.[2022江苏泰州姜堰区二模改编]如图,☉C经过正六边形ABCDEF的顶点A,E,点P是优弧AE上一点,则∠APE= °. 4.(9分)[2022洛阳二模]如图,AB为☉O的直径,CD切☉O于点D,AC⊥CD于点C,交☉O于点E,连接AD,BD,ED.(1)求证:BD=ED;(2)若CE=3,CD=4,求AB的长.32\n5.(9分)[2022平顶山二模]如图,AB是☉O的直径,且AB=6,点M为☉O外一点,且MA,MC分别切☉O于点A,C.点D是直线BC与AM延长线的交点.(1)求证:DM=AM;(2)填空:①当CM= 时,四边形AOCM是正方形; ②当CM= 时,△CDM为等边三角形. 6.(9分)[2022安阳二模]如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A,B重合的动点,PC∥AB,点M是OP的中点,连接AM并延长,交PC于点C,连接OC,BC,AP.(1)求证:四边形OBCP是平行四边形;(2)填空:①当∠BOP= °时,四边形AOCP是菱形; ②连接BP,当∠ABP= °时,PC是☉O的切线. 32\n第三节 与圆有关的计算考点1 弧长的计算1.[2022湖北咸宁]如图,☉O的半径为3,四边形ABCD内接于☉O,连接OB,OD,若∠BOD=∠BCD,则BD的长为( ) A.πB.32πC.2πD.3π(第1题) (第2题)2.[2022山东烟台]如图,▱ABCD中,∠B=70°,BC=6,以AD为直径的☉O交CD于点E,则DE的长为( )A.13πB.23πC.76πD.43π3.[2022甘肃兰州A]如图,△ABC的外接圆O的半径为3,∠C=55°,则劣弧AB的长是 .(结果保留π) (第3题) (第4题)4.[2022山东潍坊]如图,点A1的坐标为(2,0),过点A1作x轴的垂线,交直线l:y=3x于点B1,以原点O为圆心、OB1的长为半径画弧,交x轴的正半轴于点A2;再过点A2作x轴的垂线,交直线l于点B2,以原点O为圆心、OB2的长为半径画弧,交x轴的正半轴于点A3……按此作法进行下去,则A2022B2022的长是 . 5.(9分)[2022湖北荆州]问题:已知α,β均为锐角,tanα=12,tanβ=13,求α+β的度数.探究:32\n(1)用6个小正方形构造如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为1),请借助这个网格图求出α+β的度数.延伸:(2)设经过图中M,P,H三点的圆弧与AH交于R,求MR的长度.考点2 扇形面积的计算6.[2022黑龙江哈尔滨]一个扇形的圆心角为135°,弧长为3πcm,则此扇形的面积是 cm2. 7.[2022山东日照]如图,四边形ABCD中,AB=CD,AD∥BC,以点B为圆心、BA为半径的圆弧与BC交于点E,四边形AECD是平行四边形,AB=6,则图中扇形的面积是 . 考点3 阴影部分面积的计算8.[2022山西]如图,正方形ABCD内接于☉O,☉O的半径为2,以点A为圆心,AC长为半径画弧交AB的延长线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积是( )A.4π-4B.4π-8C.8π-4D.8π-89.[2022山东莱芜]如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,BC=2,将Rt△ABC绕点A顺时针旋转90°得到Rt△ADE,则BC扫过部分的面积为( )A.π2B.(2-3)πC.2-32πD.π32\n10.[2022辽宁营口]如图,将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A'B'CD'的位置,AB=2,AD=4,则阴影部分的面积为 . (第10题) (第11题)11.[2022湖北荆门]已知:如图,△ABC内接于☉O,且半径OC⊥AB,点D在半径OB的延长线上,且∠A=∠BCD=30°,AC=2,则阴影部分的面积为 . 12.[2022四川乐山]如图,△OAC的顶点O在坐标原点,OA边在x轴上,OA=2,AC=1,把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O'AC',使得点O'的坐标是(1,3),则在旋转过程中线段OC扫过部分(阴影部分)的面积为 . 1.[2022南阳一模]如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形OCED的顶点C,D分别在半径OA,OB上,顶点E在AB上,以点O为圆心、OC的长为半径作CD.若OA=2,则阴影部分的面积为( )A.πB.π2C.2D.1(第1题) (第2题)2.[2022许昌二模]如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,将矩形ABCD绕顶点B旋转得到矩形A'BC'D',点A'恰好落在矩形ABCD的边CD上,则AD扫过的部分(即阴影部分)的面积为( )A.π8B.22-π2C.2-π3D.π63.[2022信阳二模改编]如图,半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b,然后半圆沿直线b进行无滑动滚动,使半圆的直径与直线b重合,则圆心O运动路径的长度等于 . 32\n4.[2022漯河二模]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=43,以点C为圆心,CB的长为半径画弧,与AB边交于点D,将BD绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合,则图中阴影部分的面积为 . (第4题) (第5题)5.[2022焦作一模]如图,在圆心角为90°的扇形AOB中,半径OA=3,OC=AC,OD=12BD,F是弧AB的中点.将△OCD沿CD折叠,点O落在点E处,则图中阴影部分的面积为 . 6.[2022潍坊二模改编]如图所示的图形是由若干条圆心相同的圆弧组成,其圆心角为90°,最小的扇形半径为1.若每两个相邻圆弧的半径之差为1,由里往外的阴影部分的面积依次记为S1,S2,S3,…,S20,则S1+S2+S3+…+S20= . (第6题) (第7题)7.[2022洛阳一模]如图,在圆心角为90°的扇形OAB中,半径OA=2cm,C为弧AB的中点,D是OA的中点,则图中阴影部分的面积为 cm2. 8.[2022南阳宛城区二模]如图,AC是半圆O的一条弦,将弧AC沿AC折叠后恰好过圆心O,☉O的半径为2,则图中阴影部分的面积为 . (第8题) (第9题)9.[2022平顶山三模]如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,点D为边AB的中点.以点B为圆心、BD的长为半径作弧,交BC于点E;以点C为圆心、CD的长为半径作弧,交AC于点F,则图中阴影部分的面积为 . 10.[2022开封二模]运用图形变化的方法研究下列问题:如图,EF是☉O的直径,CD,AB是☉O的弦,且AB∥CD∥EF,EF=20,CD=16,AB=12.则图中阴影部分的面积是 . (第10题) (第11题)11.[2022郑州地区模拟]如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,连接AD,则图中阴影部分面积是 . 32\n参考答案第一节 圆的基本性质AC,∴∠ABC=∠BCA=65°,∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°,∴∠BDC=∠BAC=50°.∵CD∥AB,∴∠ABD=∠BDC=50°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°.故选A.3.D ∵2OB=AB≠AD,故选项A错误;由垂径定理可知,点E是CD的中点,由圆周角定理及其推论可知,∠COB=2∠BAD=40°,∴∠OCE=50°,∴CE≠EO,故选项B,C错误,选项D正确.∴∠AEB=90°.∵AB=AC,∴CE=BE.又∵EF=AE,∴四边形ABFC是菱形.(3分)(2)设CD=x,则AB=AC=7+x.连接BD,∵AB为半圆的直径,∴∠ADB=90°,∴AB2-AD2=CB2-CD2,即(7+x)2-72=42-x2,解得x1=1,x2=-8(舍去),(6分)∴AB=7+x=7+1=8,∴cos∠BAD=ADAB=78.(9分)5.B ∵∠BOC=40°,OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=12(180°-40°)=70°,∴∠D=180°-∠OBC=110°.故选B.6.D 如图,作直径BM,连接DM,BD,则∠BDM=90°.∵∠BCD=120°,∴∠A=60°,∴∠M=60°.又AB=AD=2,∴BD=2.在Rt△BDM中,sinM=BDBM=2BM=32,∴BM=433,∴OB=12BM=233,故☉O的半径长为233.故选D.7.22 如图,连接OA,OB,在优弧AB上任取一点D,连接AD,BD.∵∠ACB=135°,∴∠ADB=45°,∴∠AOB=2∠ADB=90°.∵OA=OB=2,∴AB=22.8.100 连接AE.∵点D是AC的中点,∴∠AED=∠CED=40°,∴∠AEC=80°.∵四边形ADCE是☉O的内接四边形,∴∠ADC+∠AEC=180°,∴∠ADC=180°-∠AEC=100°.9.如图,连接BD,分别延长AD,BC交于点E.(1分)32\n∵∠A=90°,∴BD是☉O的直径,∴∠ECD=∠BCD=90°.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠ABC+∠ADC=180°.∵∠ADC+∠EDC=180°,∴∠EDC=∠ABC,(3分)∴cos∠EDC=cos∠ABC=35,∴CDED=35,即10ED=35,解得ED=503.(4分)在Rt△EDC中,由勾股定理,得EC=ED2-CD2=403.(6分)易得△ECD∽△EAB,∴CDAB=ECEA,即1017=403EA,解得EA=683,∴AD=EA-ED=683-503=6.(9分)模拟提升练1.B 设OD交BC于点E.∵OD⊥BC,∴∠OEB=90°,∵∠ABC=40°,∴∠BOD=50°,∴∠DCB=12∠BOD=25°.故选B.2.C 如图,连接OC.∵∠AOB=160°,∴∠AOC+∠BOC=360°-∠AOB=200°.∵∠D=12∠AOC,∠E=12∠BOC,∴∠D+∠E=12∠AOC+12∠BOC=12(∠AOC+∠BOC)=100°.故选C.3.B ∵四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=105°,∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-105°=75°.∵DF=BC,∠BAC=25°,∴∠DCE=∠BAC=25°,∴∠E=∠ADC-∠DCE=75°-25°=50°.故选B.4.A 如图,连接OC,BC,过O作OE⊥AC于点D,交半圆O于点E.由折叠可知OD=1232\nOE.∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90°,∴OD∥BC.∵OA=OB,∴OD=12BC,∴BC=OE=OB=OC,∴∠COB=60°,∴∠AOC=120°,∴BC=12AC.故选A.5.70° 连接BE.∵∠DOE=40°,∴∠ABE=12∠DOE=20°.∵BC为☉O的直径,∴∠BEA=∠BEC=90°,∴∠A=90°-∠ABE=90°-20°=70°.6.(1)证明:连接AC,EB,则∠CAM=∠BEM.又∵∠AMC=∠EMB,∴△AMC∽△EMB,∴AMEM=MCMB,即AM·MB=EM·MC.(4分)(2)∵DC为☉O的直径,且DC=4×2=8,∴∠DEC=90°,EC=DC2-DE2=82-(15)2=7.∵OA=OB=4,M为OB的中点,∴AM=6,BM=2.设EM=x,则CM=7-x.由(1)知AM·MB=EM·MC,得6×2=x(7-x).解得x1=3,x2=4.∵EM>MC,∴EM=4.(9分)7.(1)证明:∵ED=EC,∴∠EDC=∠C.∵四边形ABED是☉O的内接四边形,∴∠EDC=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.(3分)(2)①43(7分)②60(9分)解法提示:①连接AE,∵AB为☉O的直径,∴AE⊥BC,又∵AB=AC,∴BE=EC.∵∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△CDE∽△CBA,∴CDCB=CEAC,即4BC=12BC6,∴BC=43.②∵四边形ODEB是菱形,∴OB=BE=OD=ED=OE,∴∠BOE=∠EOD=60°,∴∠BOD=120°,∴∠A=60°.8.(1)∵∠BAC=60°,∴∠EOF=120°.过点O作OH⊥EF于点H,则EH=FH.设OE=x,则OF=x,FH=EH=32x,32\n∴EF=3x,∴EFOE=3.(3分)(2)30(4分)理由:∵四边形OEDF是菱形,∴OE=ED=DF=FO.又∵OE=OD=OF,∴OE=ED=DF=FO=OD,∴∠OED=∠EOD=∠DOF=∠DFO=60°.∵AD是☉O的直径,∴∠DEA=∠DFA=90°,∴∠AEO=∠OFA=30°,又∵OE=OA=OF,∴∠EAO=∠OAF=30°.(7分)(3)53(9分)解法提示:由(1)可知EF=3OE=32AD,故当AD最短,即AD⊥BC时,EF有最小值.∵AB=102,∠B=45°,AD⊥BC,∴AD=102÷2=10,∴EF的最小值为10×32=53.第二节 与圆有关的位置关系真题分点练1.B 给各点标上字母,如图所示,则AB=22+22=22,AC=AD=42+12=17,AE=32+32=32,AF=52+22=29,AG=AM=AN=42+32=5,∴当17<r<32时,以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内.故选B.2.C 连接OP.∵PA⊥PB,∴∠APB=90°.∵点A,B关于原点O对称,∴AO=BO,∴AB=2PO.若要使AB取得最小值,则OP需取得最小值.连接OM,交☉M于点P',当点P与P'重合时,OP取得最小值,过点M作MQ⊥x轴于点Q,则OQ=3,MQ=4,∴OM=5,又∵MP'=2,∴OP'=3,∴AB的最小值为2OP'=6,故选C.3.2 ∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∴∠ABP+∠PBC=90°.∵∠PAB=∠PBC,∴∠BAP+∠ABP=90°,∴∠APB=90°,∴点P在以AB为直径的圆上.设AB的中点为O,连接OC,交☉O于点P,此时PC最小.在Rt△BCO中,∵∠OBC=90°,BC=4,OB=3,∴OC=5,∴PC=OC-OP=5-3=2,即PC的最小值为2.4.C ∵6>5,∴直线和圆相离.故选C.5.0<m<132 把点(12,-5)代入直线y=kx,得-5=12k,∴k=-512.直线y=-512x向上平移m(m>0)个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=-512x+m(m>0),设直线l与x轴,y轴分别交于点A,B,则A(125m,0),B(0,m),即OA=125m,OB=m.在Rt△OAB中,AB=OA2+OB2=14425m2+m2=135m,过点O作OD⊥AB于点D,∵S△ABO=12OD·AB=12OA·OB,∴12OD·135m=12×125m2,解得OD=1213m.由直线l与☉O相交可知1213m<6,解得m<132,即m的取值范围为0<m<132.32\n6.(1)CM与☉O相切.(1分)理由如下:如图,连接OC.∵OC=OA,∴∠A=∠1.∵GD⊥OA,∴∠A+∠2=∠A+∠3=∠1+∠3=90°.(2分)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠GCE=90°.∵M是GE的中点,∴MG=ME=MC,(3分)∴∠3=∠MCE,∴∠1+∠MCE=90°,∴OC⊥MC,∴CM与☉O相切.(4分)(2)如图,∵∠GCE=90°,∴∠G+∠3=90°.又∵∠A+∠3=90°,∴∠A=∠G.(5分)∵MG=MC,∴∠4=∠G+∠MCG=2∠G.∵∠5=2∠A,∴∠4=∠5,∴∠3=∠MCE=∠EFC,△ECF∽△EMC,∴CE=CF,ECEM=EFEC.(6分)∵EM=CM=6,EC=CF=4,∴EF=EC2EM=426=83,∴MF=EM-EF=6-83=103.(9分)7.A 连接OA,根据切线的性质可得,OA⊥AP,∵∠P=30°,∴OP=2OA.又∵OA=OB=3,∴OP=6,∴BP=OP-OB=3.故选A.8.A ∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,∴∠ADC+∠ABC=180°,∠ACB=90°,∴∠ADC=180°-∠ABC=125°,∠BAC=90°-∠ABC=35°.由题易得∠MCA=∠ABC=55°,∠AMC=90°.∵∠ADC=∠AMC+∠DCM,∴∠DCM=∠ADC-∠AMC=35°,∴∠ACD=∠MCA-∠DCM=55°-35°=20°.故选A.9.44° 连接OB.∵BC是☉O的切线,∴OB⊥BC,∴∠OBA+∠CBP=90°.∵OC⊥OA,∴∠A+∠APO=90°.∵OA=OB,∠OAB=22°,∴∠OBA=∠OAB=22°,∴∠APO=∠CBP=68°.∵∠APO=∠CPB,∴∠CPB=∠CBP=68°,∴∠OCB=180°-68°-68°=44°.10.3或43 ∵AB=8,点M是AB的中点,∴BM=4.当☉P与CD相切于点C时,如图(1),设PM=PC=r,则BP=8-r.在Rt△BPM中,根据勾股定理,得BM2+BP2=PM2,即42+(8-r)2=r232\n,解得r=5,∴BP=8-5=3;当☉P与AD相切于点E时,如图(2),连接PE,则PE⊥AD,∴PE=CD=8,∴PM=8.在Rt△BPM中,根据勾股定理,得BP=PM2-BM2=82-42=43.综上可知,BP=3或43.图(1) 图(2)11.(1)证明:如图,连接OC,OD.∵PC,PD为☉O的两条切线,∴PC=PD.又∵OC=OD,∴OP垂直平分CD,即OP⊥CD.(4分)(2)如图,∵OD=OA,∠DAB=50°,∴∠ADO=∠DAB=50°.∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠CBA=70°,∴∠ADC=180°-∠CBA=110°,∴∠ODC=∠ADC-∠ADO=60°.∵OP⊥CD,∴∠ODC+∠DOP=90°,∴∠POD=30°.∵PD为☉O的切线,OD为半径,∴∠ODP=90°.∵OA=2,∴OD=OA=2.在Rt△ODP中,OP=ODcos∠POD=232=433.(9分)12.(1)证明:连接OC.∵CN为☉O的切线,∴OC⊥CM,∴∠OCA+∠ACM=90°.∵OM⊥AB,∴∠OAC+∠ODA=90°.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠ACM=∠ODA=∠CDM,∴MD=MC.(3分)32\n(2)依题意可知AB=5×2=10.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴BC=102-(45)2=25.∵∠AOD=∠ACB,∠A=∠A,∴△AOD∽△ACB,∴ODBC=AOAC,即OD25=545,得OD=52.(6分)设MC=MD=x,则OM=x+52,在Rt△OCM中,由勾股定理得(x+52)2=x2+52,解得x=154,即MC=154.(9分)13.(1)如图,连接DE.∵BE为☉O的直径,∴∠BDE=90°.∵B,C,D,E四点共圆,∴∠BCD+∠BED=180°,∴∠BED=60°,∴BD=BE·sin60°=23×32=3.(4分)(2)证明:如图,连接AE.∵BE为☉O的直径,∴BA⊥AE.∵点A为BE的中点,∴BA=AE.(6分)又∵AB=AP,∴AB=AE=AP,∴△BEP为直角三角形,∴PE⊥EB,∴直线PE是☉O的切线.(9分)14.(1)证明:过点O作OE⊥AB于点E,则∠OEB=90°.∵BC切☉O于点C,∴∠OCB=90°.∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°.∵∠AOD=∠BOC,∴∠CBD=∠OAD.∵∠AOD=∠BAD,32\n∴∠OAD=∠ABD,∴∠ABD=∠CBO.在△OEB和△OCB中,∠OEB=∠OCB,∠ABD=∠CBO,BO=BO,∴△OEB≌△OCB,∴OE=OC,∴AB为☉O的切线.(4分)(2)∵BC=6,tan∠ABC=43,∠ACB=90°,∴AC=BC·tan∠ABC=8,∴AB=BC2+AC2=62+82=10.∵AB与BC均为☉O的切线,∴BE=BC=6,∴AE=AB-BE=10-6=4.设OC=OE=x,在Rt△AEO中,AO2=AE2+OE2,即(8-x)2=42+x2,解得x=3,∴OB=OC2+BC2=32+62=35.∵S△BOA=12AB·OE=12BO·AD,∴AB·OE=BO·AD,∴AD=AB·OEBO=10×335=25.(9分)15.B ∵☉O是△ABC的内切圆,∴点O到△ABC三边的距离相等,∴点O是△ABC三条角平分线的交点.故选B.16.C 如图,BC=5,AB=7,AC=8,设内切圆的半径为R.过点A作AD⊥BC于点D.设BD=x,则CD=5-x.由勾股定理得:AB2-BD2=AC2-CD2,即72-x2=82-(5-x)2,解得x=1,所以AD=AB2-BD2=43.由面积公式可知,S△ABC=12BC·AD=12(AB+BC+AC)·R,即12×5×43=12×(7+5+8)R,解得R=3.故选C.17.B 如图,连接AI,BI.∵点I是△ABC的内心,∴∠CAI=∠IAD.根据平移的性质,可知DI∥AC,∴∠AID=∠CAI,∴∠AID=∠IAD,∴ID=AD.同理可得IE=BE,故阴影部分的周长为ID+IE+DE=AD+BE+DE=AB=4.故选B.18.1033 能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片是如图所示的△ABC的外接圆☉O.连接OB,OC,则∠BOC=2∠BAC=120°.过点O作OD⊥BC于点D,则∠BOD=1232\n∠BOC=60°.由垂径定理得BD=12BC=52cm,∴OB=BDsin60°=533(cm),故能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是1033cm.19.(7,4),(6,5)或(1,4) ∵点A,B,P的坐标分别为(1,0),(2,5),(4,2),∴PA=PB=32+22=13.∵点C在第一象限内,且横坐标、纵坐标均为整数,P是△ABC的外心,∴PC=PA=PB=13=22+32,则点C的坐标为(7,4),(6,5)或(1,4).20.(1)证明:由折叠可得△ADE≌△ADC,∴∠AED=∠ACD,AE=AC.∵∠ABD=∠AED,∴∠ABD=∠ACD,∴AB=AC,∴AE=AB.(3分)(2)如图,过点A作AH⊥BE于点H.∵AB=AE,BE=2,∴BH=EH=1,∠ABE=∠AEB=∠ADB.又cos∠ADB=13,∴cos∠ABE=13,∴BHAB=13,∴AC=AB=3.∵∠BAC=90°,AC=AB,∴BC=32.(9分)21.设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x,由题易得AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x.(1)在Rt△ABC中,根据勾股定理,得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,整理,得x2+(m+n)x=mn,所以S△ABC=12AC·BC=12(x+m)(x+n)=12[x2+(m+n)x+mn]=12(mn+mn)=mn.(3分)(2)证明:由AC·BC=2mn,得(x+m)(x+n)=2mn,32\n整理,得x2+(m+n)x=mn,所以AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2[x2+(m+n)x]+m2+n2=m2+n2+2mn=(m+n)2=AB2,根据勾股定理的逆定理,可得∠C=90°.(6分)(3)如图,过点A作AG⊥BC,垂足为点G.在Rt△ACG中,AG=AC·sin60°=32(x+m),CG=AC·cos60°=12(x+m),所以BG=BC-CG=x+n-12(x+m).在Rt△ABG中,根据勾股定理,得AG2+BG2=AB2,即[32(x+m)]2+[x+n-12(x+m)]2=(m+n)2,整理,得x2+(m+n)x=3mn,所以S△ABC=12BC·AG=12(x+n)·32(x+m)=34[x2+(m+n)x+mn]=34(3mn+mn)=3mn.(9分)22.A 如图(1),∵☉O的半径OC=2,∴边心距OD=2×sin30°=1;如图(2),∵☉O的半径OB=2,∴边心距OE=2×sin45°=2;如图(3),∵☉O的半径OA=2,∴边心距OD=2×cos30°=3,则该三角形的三边长分别为1,2,3.∵12+(2)2=(3)2,∴该三角形是直角三角形,其面积为12×1×2=22.故选A. 图(1) 图(2) 图(3)23.48° 连接OA.∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠AOB=360°5=72°.∵△AMN是正三角形,∴∠AOM=360°3=120°,∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°.32\n24.23 如图,∵六边形ABCDEF为正六边形,∴△ABO为等边三角形.∵☉O的半径为1,∴OM=1,∴BM=AM=33,∴AB=233,∴S=6S△ABO=6×12×233×1=23.模拟提升练1.B 如图,作直径AD,连接CD,则∠ACD=90°,∠D=∠B,∴sinD=sinB=23,在Rt△ADC中,AC=2,∴AD=ACsinD=3,∴☉O的直径为3.故选B.2.C ∵∠BAC与∠BOC互补,∴∠BAC+∠BOC=180°.∵∠BAC=12∠BOC,∴∠BOC=120°.如图,过点O作OD⊥BC,垂足为点D,则BD=CD,∠DOC=12∠BOC=60°,∴DC=OC·sin60°=2×32=3,∴BC=2DC=23,故选C.3.30 如图,连接AC,EC.∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BAF=∠F=∠DEF=∠B=∠D=(6-2)×180°6=120°,AB=BC=CD=DE,∴∠BAC=∠BCA=12(180°-∠B)=30°,同理∠CED=30°,∴∠CAF=∠BAF-∠BAC=120°-30°=90°,同理∠CEF=90°.在四边形ACEF中,∠ACE=360°-90°-90°-120°=60°,∴∠APE=12∠ACE=30°.4.(1)证明:如图,连接OD,OE.∵CD切☉O于点D,∴OD⊥CD.32\n又∵AC⊥CD,∴OD∥AC.∴∠EAO=∠DOB,∠AEO=∠EOD.又∵∠EAO=∠AEO,∴∠DOB=∠EOD,∴BD=ED.(4分)(2)∵AC⊥CD,∴∠ACD=90°.又∵CE=3,CD=4,∴ED=5.∵BD=ED,∴BD=5.∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ACD=∠ADB.∵四边形ABDE内接于☉O,∴∠CED=∠B,∴△CDE∽△DAB,∴CEDB=DEAB,即35=5AB,解得AB=253.(9分)5.(1)证明:如图,连接OM.(1分)∵MA,MC分别切☉O于点A,C,∴MA⊥OA,MC⊥OC.在Rt△MAO和Rt△MCO中,MO=MO,AO=CO,∴Rt△MAO≌Rt△MCO,∴MC=MA.(3分)∵OC=OB,∴∠2=∠B,又∵∠1+∠2=90°,∠D+∠B=90°,∴∠1=∠D,∴DM=MC,∴DM=AM.(5分)(2)①3(7分)②3(9分)解法提示:①由四边形AOCM是正方形,可知CM=OA=12AB=12×6=3.②由△CDM为等边三角形,可知∠CMD=60°.32\n由(1)得,Rt△MAO≌Rt△MCO,∴∠CMO=∠AMO=12(180°-∠CMD)=60°,∴CM=OC3=3.6.(1)证明:∵点M是OP的中点,∴OM=PM.∵PC∥AB,∴∠AOM=∠CPM.在△AOM和△CPM中,∠AOM=∠CPM,OM=PM,∠AMO=∠CMP,∴△AOM≌△CPM,(3分)∴PC=OA.∵OA=OB,∴PC=OB.又∵PC∥OB,∴四边形OBCP是平行四边形.(5分)(2)①120(7分)②45(9分)解法提示:①∵四边形AOCP是菱形,∴AO=AP,又∵AO=OP,∴△AOP是等边三角形,∴∠AOP=60°,∴∠BOP=120°.②∵PC∥OB,∴∠CPB=∠OBP,又∵OP=OB,∴∠OPB=∠OBP,∴∠OPB=∠BPC.∵PC是☉O的切线,∴∠OPC=90°,∴∠ABP=∠OPB=12∠OPC=12×90°=45°.第三节 与圆有关的计算真题分点练1.C ∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠BCD+∠A=180°.∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠BCD,∴2∠A+∠A=180°,∴∠A=60°,∴∠BOD=120°,∴BD的长为120π×3180=2π.故选C.32\n2.B 连接OE,如图所示.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B=70°,AD=BC=6,∴OA=OD=3.∵OD=OE,∴∠OED=∠D=70°,∴∠DOE=180°-2×70°=40°,∴DE的长为40π×3180=23π.故选B.3.116π ∵∠C=55°,∴∠AOB=2∠C=110°,∴劣弧AB的长为110×π×3180=116π.4.22022π3 根据题意可得OA1=2,A1B1=23,∴tan∠A1OB1=3,∴∠A1OB1=60°,OB1=4,∴OA2=OB1=4=22,∴OB2=8,∴OA3=OB2=8=23.依此规律,可得OA2019=22019,∴A2022B2022的长是60×π×22022180=22022π3.5.(1)连接MH,MA,则tan∠PHM=12=tanα,∴∠PHM=α.易得AM=MH=5,AH=10,∵AM2+MH2=AH2,∴△AMH是等腰直角三角形,∴∠AHM=45°,∴α+β=∠PHM+∠PHA=∠AHM=45°.(4分)(2)设MH交QN于点O,连接MR,RO,则点O是M,P,H三点所在圆的圆心,MH为☉O的直径,∴∠MRH=90°.∵∠AHM=45°,∴△MRH是等腰直角三角形,∴∠RMO=45°,RO⊥MH,∴MR的长度=90360×5π=5π4.(9分)6.6π 设扇形的半径为rcm,则135×πr180=3π,解得r=4,所以扇形的面积为12×3π×4=6π(cm2).7.6π ∵四边形AECD是平行四边形,∴AE=CD.∵BE=AB=CD=6,∴AB=BE=AE,∴△ABE是等边三角形,∴∠B=60°,∴S扇形ABE=60π×62360=6π.8.A 由圆及正方形的对称性可知,阴影部分的面积为扇形EAF的面积减去△ABD的面积,即S阴影=S扇形EAF-S△ABD=90360×π×42-12×2×4=4π-4.故选A.9.D 在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,BC=2,∴AC=23,AB=4.由旋转可知,S△ABC=S△ADE,∠DAE=∠CAB=30°,AE=AC=23,AD=AB=4,∠CAE=∠DAB=90°,∴S阴影部分=S扇形BAD+S△ABC-S扇形CAE-S△ADE=S扇形BAD-S扇形CAE=90π×42360-90π×(23)2360=π.故选D.10.83π-23 如图,连接CE.∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=4,CD=AB=2,∠BCD=∠ADC=90°,由旋转可知CE=BC=4,∴CE=2CD,∴∠DEC=30°,∴∠DCE=60°,由勾股定理得DE=23,∴S阴影部分=S扇形ECB'-S△CDE=60π×42360-12×2×23=83π-23.32\n11.23-23π ∵OC⊥AB,∠A=∠BCD=30°,∴∠O=60°,AC=BC,∴BC=AC=2,△OBC是等边三角形,∴∠OCB=60°,∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°,∴CD=3OC=23,∴S阴影=S△OCD-S扇形BOC=12×2×23-60π×22360=23-23π.12.π2 如图,过点O'作O'M⊥OA于点M,则∠O'MA=90°,∵点O'的坐标是(1,3),∴O'M=3,OM=1,∵AO=2,∴AM=2-1=1,∴tan∠O'AM=31=3,∴∠O'AM=60°,∴∠CAC'=∠OAO'=60°.∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O'AC',∴S△OAC=S△O'AC',∴S阴影部分=S扇形OAO'+S△O'AC'-S△OAC-S扇形CAC'=S扇形OAO'-S扇形CAC'=60π×22360-60π×12360=π2.模拟提升练1.D 连接OE,由题分析可知,S阴影部分=S扇形BOE+S△COE-S扇形COD.∵四边形OCED是正方形,∴∠BOE=45°,S扇形BOE=45π·OA2360=45π×22360=π2.在Rt△OCE中,CE=OC=22=2,∴S△OCE=12OC·CE=1.又∵S扇形COD=90π·OC2360=π2,∴S阴影部分=S扇形BOE+S△COE-S扇形COD=π2+1-π2=1,故选D.2.A 如图,连接BD,BD',在Rt△A'BC中,A'B=AB=2,BC=1,由勾股定理得A'C=1,∴BC=A'C,∴∠A'BC=45°,∴∠ABA'=45°,∠DBD'=45°.在Rt△ABD中,由勾股定理得BD=3,∴S阴影=S梯形ABA'D-S扇形ABA'+S扇形DBD'-S△A'BD-S△A'BD'=12(2-1+2)×1-45π×(2)2360+45π×(3)2360-12(2-1)×1-12×2×1=2-12-π4+3π8-2+12=π8.故选A.3.5π 如图,由题意可知,圆心O的运动路径为线段OO1和O1O2,即圆心O运动路径的长度为14×2π×5+14×2π×5=5π.4.43 由旋转可知AD=BD,∵∠ACB=90°,∴CD=BD,∵CB=CD,∴△BCD是等边三角形,∴∠BCD=∠CBD=60°,∴BC=33AC=4,∴S阴影部分=12×12×43×4=43.32\n5.9π+92-128 如图,连接OF,过点C作CH⊥OF于点H.∵OA=OB=OF=3,OC=AC,OD=12BD,∴OC=32,OD=1.∵F是弧AB的中点,∠COH=45°,∴CH=OH=324,∴S阴影=S扇形FOB+S△COF-2S△COD=45π×32360+12×3×324-2×12×32×1=9π+92-128.6.195π 由题可知,S1=14π·12=14π;S2=14π·(32-22)=14π+π;S3=14π·(52-42)=14π+2π;…;S20=14π+19π;∴S1+S2+S3+…+S20=5π+(1+2+3+…+19)π=195π.7.π+2-22 如图,连接OC,过点C作CE⊥OA于点E.∵∠AOB=90°,C为弧AB的中点,∴∠COE=45°,∴CE=OC×sin∠COE=2,∴S阴影部分=S扇形AOB-S△BOD-(S扇形AOC-S△COD)=90π×22360-12×1×2-45π×22360+12×1×2=π+2-22.8.3 如图,过点O作OE⊥AC,分别交AC,半圆于点D,E,连接OC,BC,∵OD=DE=12OE=12OA,∴∠A=30°.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠B=60°.∵OB=OC=2,∴△OBC是等边三角形,∴OC=BC,∴弓形OC的面积=弓形BC的面积,∴S阴影=S△OBC=12×2×3=3.9.16 ∵在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,∴∠B=∠A=45°,AB=82,又∵点D是AB的中点,∴BD=AD=CD=42,S△BCD=12S△ABC,∴S阴影部分=S△BCD-S扇形DBE+S扇形DCF=8×84-45×π×(42)2360+45×π×(42)2360=16.10.50π 如图,连接AO,BO,CO,DO.∵AB∥CD∥EF,∴S△ABE=S△AOB,S△CDF=S△COD,∴S阴影=S扇形AOB+S扇形COD.连接AO并延长,交☉O于点G,连接BG,则∠ABG=90°,∴BG=AG2-AB2=202-122=16,∴BG=CD,即∠COD=∠BOG,∴S扇形COD=S扇形BOG,∴S阴影=S扇形AOB+S扇形BOG=S半圆=12×π×(202)2=50π.32\n11.8-π 如图,过点D作DH⊥AE于点H,∵∠AOB=90°,OA=3,OB=2,∴AB=OA2+OB2=13.由旋转的性质可知,OE=OB=2,DE=EF=AB=13,△DHE≌△BOA,∴DH=OB=2,S阴影部分=S△ADE+S△EOF+S扇形AOF-S扇形DEF=12×5×2+12×2×3+90π×32360-90π×(13)2360=8-π.32
