第一节 平行四边形(含多边形)考点1 多边形及其内角和与外角和1.[2022北京中考改编]若正多边形的一个外角是60°,则该正多边形的边数为( ) A.3B.4C.5D.62.[2022湖南邵阳中考改编]如图所示,在四边形ABCD中,AD⊥AB,∠C=110°,它的一个外角∠ADE=60°,则∠B的度数是( )A.30°B.40°C.50°D.60°(第2题) (第3题)3.[2022山东济宁]如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,则∠P的度数是( )A.50° B.55° C.60° D.65°4.[2022上海中考改编]通过画出多边形的对角线,可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有4条,那么该多边形的内角和是 °. 5.[2022山东聊城]如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是 . 6.[2022江苏南京]如图,五边形ABCDE是正五边形.若l1∥l2,则∠1-∠2= °. 考点2 平行四边形的性质7.[2022四川宜宾]在▱ABCD中,若∠BAD与∠CDA的平分线交于点E,则△AED的形状是( ) A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定8.[2022黑龙江鸡西]在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分,则平行四边形ABCD的周长是( )A.22B.20C.22或20D.189.[2022山东青岛]如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,AB=3,AC=2,BD=4,则AE的长为( )A.32B.32C.217D.2217(第9题) (第10题)10.[2022江苏常州]如图,在▱ABCD中,∠A=70°,DC=DB,则∠CDB= . 11.[2022湖南衡阳]如图,▱ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M,连接CM.如果△CDM的周长为8,那么▱ABCD的周长是 . 16\n(第11题) (第12题)12.[2022湖南株洲]如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,恰有BD=CD,过点A作AM⊥BD于点M,过点D作DN⊥AB于点N,且DN=32.在DB的延长线上取一点P,满足∠ABD=∠MAP+∠PAB,则AP= . 13.(6分)[2022福建A]如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD,BC分别相交于点E,F.求证:OE=OF.考点3 平行四边形的判定14.[2022湖北天门]在下列条件中,能够判定一个四边形是平行四边形的是( )A.一组对边平行,另一组对边相等B.一组对边相等,一组对角相等C.一组对边平行,一条对角线平分另一条对角线D.一组对角相等,一条对角线平分另一条对角线15.(8分)[2022山西]已知:如图,在▱ABCD中,延长AB至点E,延长CD至点F,使得BE=DF.连接EF,与对角线AC交于点O.求证:OE=OF.1.[2022周口地区模拟]如图,如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合,那么∠1的度数是( )A.30° B.15° C.18° D.20°16\n(第1题) (第2题)2.[2022洛阳三模]如图,在▱ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为( )A.4B.3C.52D.23.[2022南阳地区模拟]如图,平行四边形ABCD的顶点B,D都在反比例函数y=kx(x>0)的图象上,点D的坐标为(2,6),AB∥x轴,点A的坐标为(0,3),将这个平行四边形向左平移2个单位,再向下平移3个单位后,点C的坐标为( )A.(1,3)B.(4,3)C.(1,4)D.(2,4)(第3题) (第4题)4.[2022平顶山一模改编]如图,在▱ABCD中,BC=202cm,CD=20cm,∠A=45°,动点P从点B出发,沿BC向点C运动,同时动点Q从点D出发,沿DB向点B运动,点P和点Q的运动速度分别为32cm/s和2cm/s,其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为ts,当△BPQ是直角三角形时,t的值为( )A.4B.52C.52或4D.65.[2022周口地区模拟]如图,在▱ABCD中,点O是对角线AC,BD的交点,AC⊥BC,且AB=10cm,AD=8cm,则OB= cm. (第5题) (第6题)6.[2022南阳三模]如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=8cm,BC=12cm,M是BC上一点,且BM=9cm,点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动,同时点F从点C出发,以3cm/s的速度向点B运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为ts,则当以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形时,t= . 7.(9分)[2022广东中山一模]如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DE∥AB,BE=AF.(1)求证:四边形ADEF是平行四边形;(2)若∠ABC=60°,BD=4,求▱ADEF的面积.16\n第二节 矩形、菱形和正方形考点1 矩形的性质1.[2022浙江衢州]如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于( ) A.35B.53C.73D.54(第1题) (第2题)2.[2022贵州遵义]如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于E,F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8,则图中阴影部分的面积为( )A.10B.12C.16D.183.[2022山东威海]矩形ABCD与矩形CEFG如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=( )A.1B.23C.22D.52(第3题) (第4题)4.[2022湖南株洲]如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为 . 5.[2022江苏连云港]如图,E,F,G,H分别为矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,连接AC,HE,EC,GA,GF.已知AG⊥GF,AC=6,则AB的长为 . 6.(9分)[2022湖南张家界]如图,在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.(1)求证:DF=AB;(2)若∠FDC=30°,且AB=4,求AD的长.16\n7.(9分)[2022江苏连云港]如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,连接CE并延长,交BA的延长线于点F,连接AC,DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.考点2 矩形的判定8.[2022上海]已知▱ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是( )A.∠A=∠B B.∠A=∠CC.AC=BDD.AB⊥BC9.(9分)[2022四川达州]如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EF∥BC,分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E,F.(1)若CE=8,CF=6,求OC的长;(2)连接AE,AF,问:当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.考点3 菱形的性质10.[2022湖南益阳]下列性质中菱形不一定具有的是( )A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.既是轴对称图形又是中心对称图形11.[2022内蒙古赤峰]如图,将边长为4的菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在对角线的交点O处,若折痕EF=23,则∠A=( )16\nA.120° B.100° C.60° D.30°(第11题) (第12题)12.[2022江苏宿迁]如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E为边CD的中点,若菱形ABCD的周长为16,∠BAD=60°,则△OCE的面积是( )A.3B.2C.23D.413.[2022山东莱芜]如图,菱形ABCD的边长为6,∠ABC=120°,M是BC边的一个三等分点(CM<BM),P是对角线AC上的动点,当PB+PM的值最小时,PM的长是( )A.72B.273C.355D.264(第13题) (第15题)14.[2022贵州黔西南州]已知一个菱形的边长为2,较长的对角线长为23,则这个菱形的面积是 . 15.[2022浙江宁波]如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,M是AB的中点,连接MD,ME.若∠EMD=90°,则cosB的值为 . 考点4 菱形的判定16.[2022山东临沂]在△ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是( )A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形17.(9分)[2022云南]如图,△ABC是以BC为底的等腰三角形,AD是边BC上的高,点E,F分别是AB,AC的中点.(1)求证:四边形AEDF是菱形;(2)如果四边形AEDF的周长为12,两条对角线的和等于7,求四边形AEDF的面积S.16\n考点5 正方形的性质与判定18.[2022广西梧州]如图,在正方形ABCD中,A,B,C三点的坐标分别是(-1,2),(-1,0),(-3,0),将正方形ABCD向右平移3个单位,则平移后点D的坐标是( )A.(-6,2)B.(0,2)C.(2,0)D.(2,2)(第18题) (第19题)19.[2022湖北宜昌]如图,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EG⊥AB,EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为点G,I,H,J,则图中阴影部分的面积等于( )A.1 B.12 C.13 D.1420.[2022甘肃兰州]在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是: (写出所有正确的序号). 21.(9分)[2022贵州遵义]如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON.(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.16\n1.[2022洛阳二模]如图,在▱ABCD中,AM,CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线,添加一个条件,仍无法判断四边形AMCN为菱形的是( )A.AM=ANB.MN⊥ACC.MN是∠AMC的平分线D.∠BAD=120°(第1题) (第2题)2.[2022洛阳三模]如图,点E,F分别是边长为4的正方形ABCD的边AD,AB上的动点,且AF=DE,BE交CF于点P,在点E,F运动的过程中,PA的最小值为( )A.2B.22C.42-2D.25-23.[2022南阳地区模拟]如图,四边形ABCD是菱形,AB=2,∠ABC=30°,点E是射线DA上一动点,把△CDE沿CE折叠,其中点D的对应点为D',连接D'B,若△D'BC为等边三角形,则DE= . 4.(9分)[2022新乡一模]如图,AD是等腰三角形ABC底边BC上的高,点O是AC的中点,连接DO并延长到点E,连接AE,恰有AE∥BC,连接EC.(1)求证:四边形ADCE是矩形;(2)①若AB=17,BC=16,则矩形ADCE的面积为 ; ②若AB=10,则BC= 时,四边形ADCE是正方形. 5.(9分)[2022信阳地区模拟]如图,在矩形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,CF平分∠ACD交AD于点F,连接EF,交AC于点O,点M为EC的中点,点N为AE上的一个动点(不与点A,E重合),AB=6.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)填空:①当BC= 时,四边形AECF为菱形; 16\n②在①的条件下,当ON= 时,四边形ONMC为平行四边形. 参考答案第一节 平行四边形(含多边形)真题分点练1.D 易得该正多边形的边数为360°÷60°=6.2.B ∵∠ADE=60°,∴∠ADC=120°.∵AD⊥AB,∴∠DAB=90°,∴∠B=360°-∠C-∠ADC-∠A=40°.3.C ∵五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°,∠A+∠B+∠E=300°,∴∠EDC+∠BCD=240°,又∵DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,∴∠PDC+∠PCD=120°,∴∠P=180°-(∠PDC+∠PCD)=180°-120°=60°.故选C.4.900 从该多边形的一个顶点出发的对角线共有4条,则对角线将多边形分割为5个三角形,所以该多边形的内角和是5×180°=900°.5.540°,360°或180° 分三种情况讨论:①当该多边形是三角形时,其内角和为180°;②当该多边形是四边形时,其内角和为360°;③当该多边形是五边形时,其内角和为(5-2)×180°=540°.6.72 如图,过点B作BF∥l1,∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠ABC=108°.∵BF∥l1,l1∥l2,∴BF∥l2,∴∠3=180°-∠1,∠4=∠2,∴180°-∠1+∠2=∠ABC,∴∠1-∠2=180°-∠ABC=72°.7.B ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°.∵∠EAD=12∠BAD,∠ADE=12∠ADC,∴∠EAD+∠ADE=12(∠BAD+∠ADC)=90°,∴∠AED=90°,∴△ADE是直角三角形.8.C 记∠BAD的平分线交BC于点E.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠BAE=∠BEA,∴AB=BE.①当BE=3,EC=4时,AB=3,平行四边形ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(3+3+4)=20.②当BE=4,EC=3时,AB=4,平行四边形ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(4+4+3)=22.故选C.9.D ∵四边形ABCD是平行四边形,AC=2,BD=4,∴AO=1,BO=2.∵AB=3,∴AO2+AB2=BO2,∴△ABO是直角三角形,∠BAO=90°,∴BC=AB2+AC2=(3)2+22=7.∵S△ABC=12AB·AC=12BC·AE,∴12×3×2=12×7·AE,解得AE=2217.10.40° ∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠C=∠A=70°.∵DC=DB,∴∠DBC=∠C=70°,∴∠CDB=180°-70°-70°=40°.11.16 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,又∵OM⊥AC,∴AM=MC,AD+CD=AM+MD+CD=MC+MD+DC=8,∴▱ABCD的周长是2×8=16.16\n12.6 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD.∵BD=CD,∴BD=BA,又∵AM⊥BD,DN⊥AB,∴AM=DN=32.∵∠ABD=∠MAP+∠PAB,∠ABD=∠P+∠PAB,∴∠P=∠MAP,∴△APM是等腰直角三角形,∴AP=2AM=6.13.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,AD∥BC,∴∠ODE=∠OBF.(3分)又∵∠DOE=∠BOF,∴△DOE≌△BOF,∴OE=OF.(6分)14.C 在A中,一组对边平行,另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形;在B中,可举一反例,如图(1),作∠B,在∠B的一边上取点A,以点A为圆心,任意长度为半径(要能与∠B的另一边相交)画弧,交∠B另一边于点E,C,连接AE,AC.以点C为圆心,以AB的长为半径画弧,以点A为圆心,以BE的长为半径画弧,两弧交于点D,连接AD,CD,则四边形ABCD满足AB=CD,∠B=∠D,但很明显四边形ABCD不是平行四边形;在C中,如图(2)所示,可见AB∥CD,OA=OC,因为AB∥CD,所以∠ABO=∠CDO,又OA=OC,∠AOB=∠COD,所以△AOB≌△COD,所以AB=CD,所以四边形ABCD是平行四边形;在D中,举一反例,如图(3),∠ABC=∠ADC,AC平分BD,但显然四边形ABCD不是平行四边形.故选C.15.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.(2分)∵BE=DF,∴AB+BE=CD+DF,即AE=CF.(4分)连接AF,CE,则四边形AFCE是平行四边形,(7分)∴OE=OF.(8分)模拟提升练1.C ∵正五边形每个内角的度数是15×(5-2)×180°=108°,正方形每个内角的度数是90°,∴∠1=108°-90°=18°.故选C.2.B ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE.∵CE平分∠DCB,∴∠DCE=∠BCE,∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC=AB.∵AD=2AB=2CD,∴AD=2DE,∴DE=AE=3,∴AB=DE=3.故选B.3.B ∵点D在反比例函数y=kx(x>0)的图象上,点D的坐标为(2,6),∴k=2×6=12,∴y=12x.∵点A的坐标为(0,3),∴点B的纵坐标为3,令3=12x,解得x=4,∴点B的坐标为(4,3).又∵四边形ABCD是平行四边形,AB∥x轴,D(2,6),∴C(6,6).将这个平行四边形向左平移2个单位,再向下平移3个单位后,点C的坐标为(4,3).故选B.4.C 过点D作DH⊥BC于点H.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠C=∠A=45°,∴DH=CH.∵CD=20cm,∴DH=CH=102cm,∴BH=BC-CH=202-102=102(cm),∴BH=CH,∴BD=CD=20cm,∴∠DBC=∠C=45°.当∠BPQ=90°时,如图(1),BQ=2BP,∴20-2t=2×32t,解得t=52.当∠BQP=90°时,如图(2),BP=2BQ,∴32t=2(20-2t),解得t=4.故选C.16\n 图(1) 图(2)5.73 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=8cm,OA=OC.∵AC⊥BC,∴AC=AB2-BC2=102-82=6(cm),∴OC=12AC=3cm,∴OB=BC2+OC2=82+32=73(cm).6.34或32 由题可知,AE=tcm,CF=3tcm,CM=3cm.①当点F在线段BM上,且AE=FM时,四边形AFME是平行四边形,此时有t=3t-3,解得t=32;②当点F在线段CM上,且AE=FM时,四边形AMFE是平行四边形,此时有t=3-3t,解得t=34.综上所述,t=34或32时,以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形.7.(1)证明:∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBE.∵DE∥AB,∴∠ABD=∠BDE,∴∠DBE=∠BDE,∴BE=DE.∵BE=AF,∴AF=DE,∴四边形ADEF是平行四边形.(4分)(2)过点E作EH⊥BD于点H,则BH=HD=2.∵∠ABC=60°,BD是∠ABC的平分线,∴∠EBD=30°,∴EH=BHtan∠EBD=2tan30°=233,∴S△BDE=12BD·EH=12×4×233=433,又∵AB∥DE,∴S▱ADEF=2S△BDE=833.(9分)第二节 矩形、菱形和正方形真题分点练1.B ∵AD∥BC,∴∠ACB=∠CAF.由折叠的性质可知∠ACB=∠ACF,∴∠ACF=∠CAF,∴AF=CF.设DF=x,则CF=AF=6-x.在Rt△CDF中,由勾股定理得CF2=CD2+DF2,即(6-x)2=42+x2,解得x=53,故DF的长为53.2.C 如图,过点P作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N,则四边形AEPM,DFPM,CFPN,BEPN都是矩形,∴S△AMP=S△AEP,S△PBE=S△PBN,S△PFD=S△PDM,S△PFC=S△PCN,又∵S△ADC=S△ABC,∴S△PBE=S△DFP=12×2×8=8,∴S阴影部分=8+8=16,故选C.16\n3.C 延长GH,交AD于点P,∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形,∴∠ADG=∠ADC=∠CGF=90°,AD=BC=2,GF=CE=1,∴AD∥GF,∴∠PAH=∠GFH,又∵H是AF的中点,∴AH=FH.又∠AHP=∠FHG,∴△APH≌△FGH,∴AP=GF=1,GH=PH=12PG,∴PD=AD-AP=1.∵CG=2,CD=1,∴DG=1,∴GH=12PG=12×PD2+DG2=22.故选C.4.2.5 ∵四边形ABCD是矩形,∴BD=AC=10,∴OD=12BD=5.∵点P,Q分别是AO,AD的中点,∴PQ是△AOD的中位线,∴PQ=12OD=2.5.5.2 连接BD.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=∠DCB=90°,BD=AC=6.∵CG=DG,CF=FB,∴GF=12BD=62.∵AG⊥FG,∴∠AGD+∠CGF=90°,又∵∠DAG+∠AGD=90°,∴∠DAG=∠CGF,∴△ADG∽△GCF,∴ADGC=DGCF.设CF=BF=a(a>0),CG=DG=b(b>0),则2ab=ba,∴b2=2a2,∴b=2a.在Rt△GCF中,b2+a2=64,∴a=22,∴AB=2b=2.6.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠B=90°,∴∠AEB=∠DAF.又∵DF⊥AE,∴∠DFA=90°=∠B.又∵AD=EA,∴△ADF≌△EAB,∴DF=AB.(4分)(2)∵∠ADF+∠FDC=90°,∠DAF+∠ADF=90°,∴∠DAF=∠FDC=30°,∴AD=2DF.∵DF=AB=4,∴AD=2AB=8.(9分)7.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE.∵E是AD的中点,∴AE=DE.又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE,∴CD=FA,又∵CD∥AF,∴四边形ACDF是平行四边形.(4分)(2)BC=2CD.(5分)理由:∵CF平分∠BCD,∴∠DCE=12∠BCD=45°.∵∠CDE=90°,∴△CDE是等腰直角三角形,∴CD=DE,∵E是AD的中点,∴AD=2CD,又∵AD=BC,∴BC=2CD.(9分)8.B 根据“一个角是直角的平行四边形是矩形”和“对角线相等的平行四边形是矩形”,可知选项A,C,D中的条件均可以判定▱ABCD是矩形,而B中的条件不能判定.故选B.9.(1)由题可知,∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF.∵EF∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF,∴∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,∴OE=OC,OF=OC,∴OE=OF.16\n∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°,∴∠ECF=90°.在Rt△CEF中,由勾股定理得EF=CE2+CF2=10,∴OC=12EF=5.(5分)(2)当点O运动到AC的中点处时,四边形AECF是矩形.理由如下:当O为AC的中点时,AO=CO,又∵EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形.由(1)可知∠ECF=90°,∴▱AECF是矩形.(9分)10.C 根据菱形的性质可知,菱形的对角线互相垂直平分,且菱形既是轴对称图形又是中心对称图形,但其对角线不一定相等.故选C.11.A 连接OA,交EF于点G.∵点A与点O关于直线EF对称,点O是菱形对角线的交点,∴AO⊥EF,AO⊥BD,AG=OG,∴EF∥BD,∴EF是△ABD的中位线,∴BD=2EF=43,∴OD=23.∵菱形ABCD的边长为4,∴sin∠OAD=ODAD=234=32,∴∠OAD=60°,∴∠BAD=120°.12.A 过点D作DH⊥AB于点H,∵四边形ABCD是菱形,∴AO=CO,AB=BC=CD=AD.∵菱形ABCD的周长为16,∴AB=AD=4.∵∠BAD=60°,∴DH=4×32=23,∴S菱形ABCD=4×23=83,∴S△ACD=12×83=43.∵点E为边CD的中点,AO=CO,∴OE为△ADC的中位线,∴OE∥AD,∴△CEO∽△CDA,∴S△OCES△ACD=(CECD)2=14,∴S△OCE=14×43=3.故选A.13.A 如图,作点M关于直线AC的对称点M',则点M'在DC上,且CM'=CM=2.连接BM',交AC于点P,此时PB+PM的值最小,为BM'的长.过点B作BE⊥CD于点E.∵∠ABC=120°,∴∠BCD=60°,∴CE=12BC=3,BE=33,则EM'=3-2=1.在Rt△BEM'中,由勾股定理可得BM'=BE2+EM'2=27.∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,∴△ABP∽△CM'P,∴PM'PB=CM'AB=13,又∵BP+PM'=27,∴PM'=72,即PM=72.14.23 依照题意画出图形,如图所示.菱形ABCD的边长是2,设对角线的交点为O.在Rt△AOB中,AB=2,OB=3,∴OA=AB2-OB2=1,∴AC=2OA=2,∴S菱形ABCD=12AC·BD=12×2×23=23.15.3-1216\n 如图,延长DM,交CB的延长线于点F,连接ED.∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°.∵点M是AB的中点,AB=2,∴EM=AM=BM=1.∵AD∥BC,∴∠MAD=∠MBF,∠ADM=∠F,∴△AMD≌△BMF,∴BF=AD=2,MF=MD.∵∠EMD=90°,∴EM⊥DF,即EM垂直平分DF,∴ED=EF.设BE=x,则DE=EF=x+2.在Rt△ABE中,AE2=AB2-BE2=22-x2.在Rt△ADE中,AE2=DE2-AD2=(x+2)2-22,∴22-x2=(x+2)2-22,解得x1=-1+3,x2=-1-3(不合题意,舍去),∴BE=3-1.在Rt△ABE中,cos∠ABE=BEAB=3-12.16.D ∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形.当AD⊥BC或BD=CD时,无法推理出平行四边形AEDF是特殊平行四边形,故选项A,C中的说法错误.当AD垂直平分BC时,AB=AC,且DE,DF是△ABC的中位线,∴AE=AF=DE=DF,∴四边形AEDF是菱形,故选项B中的说法错误.当AD平分∠BAC时,由AE∥DF得∠ADF=∠DAE=∠DAF,∴AF=DF,∴平行四边形AEDF是菱形,故选项D中的说法正确.17.(1)证明:∵AD⊥BC,点E,F分别是AB,AC的中点,∴DE=AE=12AB,DF=AF=12AC.又∵AB=AC,∴AE=AF=DE=DF,∴四边形AEDF是菱形.(4分)(2)如图,连接EF,交AD于点O.∵菱形AEDF的周长为12,∴AE=3.设EF=x,AD=y,则x+y=7,∴x2+2xy+y2=49.①∵四边形AEDF是菱形,∴AO=DO,EO=FO,AD⊥EF.在Rt△AOE中,AO2+EO2=AE2,∴(12y)2+(12x)2=32,即x2+y2=36.②把②代入①,得2xy=13,∴xy=132,故菱形AEDF的面积S=12xy=134.(9分)18.B ∵四边形ABCD是正方形,A,B,C三点的坐标分别是(-1,2),(-1,0),(-3,0),∴D(-3,2),∴平移后点D的坐标是(0,2),故选B.19.B 观察题图可知,阴影部分的面积等于正方形ABCD面积的一半,正方形ABCD的面积为1,故阴影部分的面积为12,故选B.20.①③④ 在▱ABCD中,∵AB⊥AD,∴▱ABCD是矩形,又∵AB=AD,∴▱ABCD是正方形,故条件①正确;由AB⊥BD可知边AB与对角线BD的夹角为90°,∴▱ABCD不可能是正方形,故条件②错误;由OB=OC可知AC=BD,∴▱ABCD是矩形,又∵OB⊥OC,∴▱ABCD是正方形,故条件③正确;∵AB=AD,∴▱ABCD是菱形,又∵AC=BD,∴▱ABCD是正方形,故条件④正确.综上所述,条件①③④正确.21.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,AC⊥BD,∴∠OAM=∠OBN=135°,∠AOB=90°,又∵∠EOF=90°,∴∠AOM=∠BON,∴△OAM≌△OBN,∴OM=ON.(4分)(2)过点O作OH⊥AD于点H,16\n则OH∥AB,OH=DH=AH=12AD=2,又∵E为OM的中点,∴MA=AH=2,∴HM=4,∴OM=22+42=25,∴MN=2OM=210.(9分)模拟提升练1.D ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD=BC,AD∥BC,∴∠DAM=∠AMB,又由题意知∠BAM=∠DAM,∴∠BAM=∠AMB,∴BA=BM,同理DN=DC,∴BM=DN,∴BC-BM=AD-DN,即CM=AN,∴四边形AMCN是平行四边形.A项中,∵AM=AN,∴平行四边形AMCN是菱形.B项中,∵MN⊥AC,∴平行四边形AMCN是菱形.C项中,∵AD∥BC,∴∠ANM=∠CMN.∵MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠CMN,∴∠AMN=∠ANM,∴AM=AN,∴平行四边形AMCN是菱形.D项中,根据∠BAD=120°和四边形AMCN是平行四边形,不能推出四边形AMCN是菱形.故选D.2.D ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA,∠BAE=∠ABC=90°.∵AF=DE,∴AE=BF.在△ABE和△BCF中,AB=BC,∠BAE=∠FBC,AE=BF,∴△ABE≌△BCF,∴∠ABE=∠BCF.∵∠ABE+∠CBP=90°,∴∠BCF+∠CBP=90°,∴∠BPC=90°,则点P在以BC为直径的圆上运动.如图,取BC的中点O,连接OP,OA,则OP=12BC=2.在Rt△AOB中,OA=AB2+OB2=42+22=25.根据两点之间,线段最短,得OP+AP≥OA,∴当O,P,A三点共线时,AP的长度最小,为25-2.故选D.3.23-2或3+1 ∵四边形ABCD是菱形,AB=2,∠ABC=30°,∴CD=AB=2,∠D=∠ABC=30°,∠BCD=150°.∵△D'BC为等边三角形,∴∠BCD'=60°.①当点E在边AD上时,如图(1)所示,过点E作EF⊥CD,垂足为点F,则∠CEF=∠FCE=12(∠BCD-∠BCD')=45°,∴CF=EF.在Rt△DEF中,∠D=30°,∴EF=12DE.设EF=x,则DE=2x,CF=x,FD=3x.∵CF+FD=CD=2,∴x+3x=2,解得x=3-1,∴DE=2x=23-2.②当点E在DA的延长线上时,如图(2),过点B作BH⊥AD,交DA的延长线于点H.由折叠可知∠ED'C=∠D=30°.∵∠BD'C=60°,∴D'E为∠BD'C的平分线.又∵△BD'C是等边三角形,∴D'E⊥BC,∴D'E⊥AD.∵∠ABC=30°,∴∠BAH=30°,又∵AB=2,∴AH=3.设D'E与BC的交点为G,则EH=BG=12BC=1,∴AE=3-1,∴DE=3+1. 图(1) 图(2)4.(1)证明:∵AD是等腰三角形ABC底边BC上的高,∴BD=DC,∠ADC=90°.∵点O是AC的中点,∴AO=OC,∴OD∥AB,又∵AE∥BC,∴四边形ABDE是平行四边形,∴AE=BD,∴AE=DC,∴四边形ADCE是平行四边形,∵∠ADC=90°,∴四边形ADCE是矩形.(5分)(2)①120(7分)②102(9分)16\n5.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AB∥CD,∠B=∠D=90°,∴∠BAC=∠ACD.∵∠BAE=12∠BAC,∠DCF=12∠ACD,∴∠BAE=∠FCD.在△ABE和△CDF中,∠BAE=∠DCF,AB=CD,∠B=∠D,∴△ABE≌△CDF.(5分)(2)①63(7分)②23(9分)16
