负数小史 中国是最早采用正、负数表示相反意义的量,并进行负数运算的国家.有关正、负数的概念和运算法则的系统论述,记载于我国古代数学名著《九章算术》一书中,书中明确提出“正负术”,这是世界上至今发现的最早最详细的记载.公元3世纪,我国数学家刘徽在“正负术”的注文中指出:“两算得失相反,要令正、负以名之,正算(筹)赤,负算(筹)黑,否则以邪正为异.”就是说,对两个得失相反的量,要以正、负加以区别,用红筹表示正,黑筹表示负,也可将算筹正放、斜放来区别.1.我国古代首次阐述了负数及其加减运算法则的数学著作是( )A.《海岛算经》 B.《几何原本》C.《九章算术》 D.《周髀算经》2.中国人最先使用负数,魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出,可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数,斜放表示负数.根据刘徽的这种表示法,观察图(1),可推算图(2)中所得的数值为 . 图(1) 图(2)无理数漫谈 公元前5世纪,毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个既不能用整数,也不能用分数来表示的新数——无理数2.他的发现,在当时的数学届掀起了一场巨大风暴,导致西方数学史上的“第一次数学危机”.这一发现第一次向人们揭示了有理数的缺陷,证实有理数并没有布满数轴上的点,在数轴上存在着不能用有理数表示的“空隙”,而这种“空隙”经后人证明简直多得“不可胜数”.这次数学危机,对以后两千多年数学的发展产生了深远的影响,促使人们从依靠直觉、经验转向依靠证明,推动了公理几何学与逻辑学的发展,并且孕育了微积分的思想萌芽.1.在实数0,π,13,5,-9中,无理数有 个. 2.与7相乘并且结果为有理数的无理数是 (写出一个即可). 3.比较:3-8.1 -2(填“>”,“<”或“=”). 杨辉三角 我们已经知道(a+b)2展开后等于a2+2ab+b2,你能利用多项式乘法法则展开(a+b)3,并且进一步展开(a+b)4,(a+b)5吗?解决上述问题需要大量的计算,是否有简单的方法呢?我们不妨找找规律! 如果将(a+b)n(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由大到小排列,就可以得到下面的等式:(a+b)0=1,它只有一项,系数为1;(a+b)1=a+b,它有两项,系数分别是1,1;(a+b)2=a2+2ab+b2,它有三项,系数分别是1,2,1;(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,它有四项,系数分别是1,3,3,1;……4\n我们发现展开后系数的规律是:每一行的首末都是1,其余的数都等于它肩上的两数字之和,并且与首尾两端“等距离”的两个数相等,具有对称美,每一行的第二个数比行数小1.按照这个规律系数表为:11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1…上表可用来解释二项和的乘方规律.此表在我国南宋数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过,并说明此表引自北宋数学家贾宪在其所著的《释锁算术》,因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角,在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形,帕斯卡是1654年发现这一规律的,比杨辉要迟393年,比贾宪迟600年.1.如图(1)是杨辉三角,图(2)是对应的等式,11 1(a+b)1=a+b1 2 1(a+b)2=a2+2ab+b21 3 3 1(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b31 4 6 4 1(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4……图(1)图(2)根据前面各式的规律,则(a+b)6= .如果将(a+b)8的每一项按字母a的次数由大到小排列,第六项是 . 2.我国古代数学家杨辉发现了如图所示的数字三角形,我们称之为“杨辉三角”.从图中取一列数:1,3,6,10,…,记a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,…,那么a4+a11-2a10+10的值是 . 斐波那契数列斐波那契数,是由意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现,亦称为斐波那契数列,其排列是:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,依次类推下去,你会发现,后一个数等于前面两个数的和.斐波那契数列与黄金分割具有统一美.有趣的是,当数列中的数趋向于无穷大时,前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割比0.618(或者说后一项与前一项的比值的小数部分越来越逼近黄金分割比0.618).斐波那契数列与杨辉三角关系密切.如图所示,将杨辉三角左对齐,成如图所示排列,将同一斜行的数加起来,即得一数列1,1,2,3,5,8,….4\n1.数列1,1,2,3,5,8,13,21,…被称为斐波那契数列.在平面直角坐标系中,点P位于原点,依次以斐波那契数列的每一项为平移距离,将点P先向上平移1个单位长度,得到点P1,再向左平移1个单位长度,得到点P2,接着向下平移2个单位长度,得到点P3,然后向右平移3个单位长度,得到点P4……如此平移下去,则点P9的坐标为 . 2.阅读与计算:请阅读以下材料,并完成相应的任务. 斐波那契数列中的第n个数可以用15[(1+52)n-(1-52)n]表示(其中n≥1).这是用无理数表示有理数的一个范例.任务:请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.海伦-秦九韶公式 假设在一个平面内,有一个三角形,边长分别为a,b,c,半周长p=a+b+c2,此三角形的面积S可由以下公式求得:S=p(p-a)(p-b)(p-c)①,古希腊的几何学家海伦(Heron,约公元50年),在数学史上以解决几何测量问题而闻名,在他的著作《度量》一书中,给出了公式①和它的证明,这一公式称为海伦公式.我国南宋时期数学家秦九韶,曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S=14[a2b2-(a2+b2-c22)2].②下面我们对公式②进行变形:14[a2b2-(a2+b2-c22)2] =(12ab)2-(a2+b2-c24)2 =(12ab+a2+b2-c24)(12ab-a2+b2-c24) =2ab+a2+b2-c24·2ab-a2-b2+c24 =(a+b)2-c24·c2-(a-b)24 =a+b+c2·a+b-c2·c+a-b2·b+c-a2 =p(p-a)(p-b)(p-c). 这充分说明海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式,所以我们也称公式①为海伦-秦九韶公式.1.在△ABC中,AB=4,AC=5,BC=6,请你利用海伦-秦九韶公式求出△ABC的面积.4\n2.如图,在△ABC中,AB=13,BC=12,AC=7,☉O内切于△ABC,切点分别是D,E,F.(1)请你利用海伦-秦九韶公式求出△ABC的面积;(2)求☉O的半径.参考答案负数小史1.C2.-3 由题意知题图(2)表示+2与-5相加,根据有理数加法法则,可知结果为-3.无理数漫谈1.2 -9=-3,为有理数;0,13均为有理数;π,5均为无理数.2.7(答案不唯一)3.< ∵(3-8.1)3=-8.1,(-2)3=-8,-8.1<-8,∴3-8.1<-2.杨辉三角1.a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 56a3b52.-24 由题可知an=1+2+3+…+n=n(n+1)2,∴a10=10×112=55,a11=11×122=66,则a4+a11-2a10+10=10+66-2×55+10=-24.斐波那契数列1.(15,25) 易知点P1的坐标为(0,1),点P2的坐标为(-1,1),点P3的坐标为(-1,1-2),即(-1,-1),点P4的坐标为(-1+3,-1),即(2,-1),点P5的坐标为(2,-1+5),即(2,4),点P6的坐标为(2-8,4),即(-6,4),点P7的坐标为(-6,4-13),即(-6,-9),点P8的坐标为(-6+21,-9),即(15,-9),点P9的坐标为(15,-9+34),即(15,25).2.第1个数为15(1+52-1-52)=15×5=1.第2个数为15[(1+52)2-(1-52)2]=15(1+52+1-52)(1+52-1-52)=15×1×5=1.海伦-秦九韶公式1.∵p=4+5+62=152,∴S△ABC=152(152-4)(152-5)(152-6)=1574.2.(1)∵AB=13,BC=12,AC=7,∴S=p(p-a)(p-b)(p-c)=16×3×4×9=243.(2)记△ABC的周长为l,☉O的半径为r,则l=AB+BC+AC=32,∴S=12lr=243,∴r=48332=332.4
