反比例函数图象与三等分角三等分角是古希腊几何尺规作图当中的名题,与化圆为方、倍立方体问题一起被称为古希腊三大几何问题,而如今数学上已证实了这个问题无解.该问题的完整叙述为:只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分.在尺规作图的前提下,此题无解.若将条件放宽,例如允许使用有刻度的直尺,或者配合其他曲线,可以将一给定角三等分.下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法,如图:1.建立平面直角坐标系,将已知锐角∠AOB的顶点与原点重合,角的一边OB与x轴正方向重合.2.在平面直角坐标系里,绘制函数y=1x的图象,图象与已知角的另一边OA交于点P.3.以点P为圆心、2OP的长为半径作弧,交函数y=1x的图象于点R.4.分别过点P,R作x轴和y轴的平行线,两线相交于点M.5.连接OM,得到∠MOB,这时,∠MOB=13∠AOB.阅读下列材料并完成相应任务: 三等分任意角问题是数学史上一个著名的问题,直到1837年,数学家才证明了“三等分任意角”是不能用尺规完成的.在探索中,出现了不同的解决问题的方法. 方法一:如图(1),四边形ABCD是矩形,借助几何画板的度量功能,在DA的延长线上取一点F,并连接CF,在CF上取一点G,使∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠F,CF与AB交于点E,此时∠ECB=13∠ACB. 方法二:图(2)是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法:将给定的锐角∠AOB置于平面直角坐标系中,边OB在x轴上,边OA与函数y=1x的图象交于点P,以点P为圆心,2OP的长为半径作弧,交图象于点R,过点P作x轴的平行线,过点R作y轴的平行线,两直线相交于点M,连接OM得到∠MOB,过点P作PH⊥x轴于点H,过点R作RQ⊥PH于点Q,则∠MOB=13∠AOB. (1)在“方法一”中,若∠ACF=40°,GF=4,求BC的长; (2)完成“方法二”的证明. 图(1) 图(2)参考答案反比例函数图象与三等分角2\n(1)∵∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠F,∴AC=AG=GF=4.∵∠ACF=40°,∠ECB=13∠ACB,∴∠ACB=60°,∴BC=AC·cos∠ACB=4×12=2.(2)证明:设P(a,1a),R(b,1b),则M(b,1a),Q(a,1b),设直线OM的解析式为y=kx,则k=1ab,∴直线OM的解析式为y=1abx.∵点Q的坐标是(a,1b),满足直线OM的解析式,∴点Q在直线OM上.由题易知四边形PMRQ是矩形,连接RP,交QM于点S,如图,则PS=MS.又∵PR=2OP,∴OP=PS=MS,∴∠POS=∠PSO,∠MPS=∠PMS.又∵∠PSO是△PSM的外角,∴∠PSO=2∠PMS.∵PM∥x轴,∴∠PMO=∠MOB,∴∠POS=2∠MOB,∴∠MOB=13∠AOB.2
