第七章图形的变化“将军饮马”问题的拓展与妙用唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中不仅描述了作者紧张的从军生活和悲壮的边塞军营景象,同时也隐含着一个经典有趣的数学问题———“将军饮马”问题.诗中将军的行程,可以抽象为:如图(1)所示,在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边点P处饮马后再回到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?确定最近行程的饮马点P,可以通过轴对称变换的思想解决. 图(1) 图(2)如图(2),作点A关于直线l的对称点A1,连接A1B,交直线l于点P,那么点P就是所求的点.一、问题的变式“将军饮马”从条件上看属于同侧两定点,一条定直线类型,所求的点在定直线上.1.条件由同侧两定点,一条定直线变为异侧两定点,一条定直线如图(3),点A,B是直线l异侧的两定点.问题:在直线l上确定一点P,使|PA-PB|最大.方法:作点A关于直线l的对称点A',连接BA'并延长交直线l于点P,则此时|PA-PB|最大. 图(3) 图(4)2.结论由求一点变为求一线如图(4),点A,B是直线l同侧的两定点,线段PQ在直线l上移动.问题:确定PQ的位置,使PA+PQ+QB的值最小.方法:将点B沿平行于直线l的方向平移到点B',使BB'=PQ,再作点A关于直线l的对称点A',连接A'B',交直线l于点P,则此时PA+PQ+QB的值最小.3.变条件,变结论(1)条件由同侧两定点,一条定直线变为一定点两条定直线,结论由求一点变为求两点.如图(5),点A是两相交直线a,b内的一定点,点P,Q分别是直线a,b上两动点.问题:确定P,Q的位置,使PA+PQ+QA的值最小.方法:分别作点A关于直线a,b的对称点A',A″,连接A'A″,分别交直线a,b于点P,Q,则PA+PQ+QA=A'A″,此时值最小. 图(5) 图(6)②条件由同侧两定点一直线变为两定点两直线,结论由求一点变为求两点.如图(6),点A,B是两相交直线a,b内两定点,点P,Q分别是直线a,b上两动点.问题:确定P,Q的位置,使PA+PQ+QB的值最小.3\n方法:作点A关于直线a的对称点A',作点B关于直线b的对称点B',连接A'B',分别交直线a,b于点P,Q,则PA+PQ+QB=A'B',此时值最小.二、模型的应用1.如图(7),在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是 . 图(7) 图(8)解析:识别模型,此问题为“将军饮马”问题.由正方形的性质,得出点B,D关于直线AC对称.如图(8),连接DE,交AC于点P,再连接BP.根据两点之间线段最短,可知此时PB+PE的值最小.进而利用勾股定理求解即可.2.如图(9),在四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别有一点M,N,使△AMN的周长最小,此时∠AMN+∠ANM的度数为( )A.130° B.120° C.110° D.100° 图(9) 图(10)解析:观察图形,容易看出,求△AMN的周长最小问题是“一定点(A)两定直线(BC,CD)”模型,其构图方略是:如图(10),作点A关于直线BC的对称点A'和关于直线CD的对称点A″,连接A'A″,分别交BC,CD于点M,N,此时△AMN的周长最小,据此求解即可.3.如图(11),在平面直角坐标系中,抛物线y=-33x2-233x经过点A,B(1,-3),O(点O为原点).图(11)在该抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.解析:识别模型,该问题是“将军饮马”问题.易知OB=2,要使△BOC的周长最小,必须使BC+CO的值最小.因为点O与点A关于抛物线的对称轴对称,所以CO=CA,所以当A,C,B三点共线,即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时,BC+CO的值最小,此时△BOC的周长最小,据此求解即可.三、结论的推广推广1:在平面直角坐标系中的四边形周长最小如图(12),在平面直角坐标系中有四点A(-8,3),B(-4,5),C(0,n),D(m,0).求当四边形ABCD的周长最小时m,n的值.3\n 图(12) 图(13) 解析:如图(13),作点B关于y轴的对称点B'(4,5),作点A关于x轴的对称点A'(-8,-3),连接A'B',分别交x轴,y轴于点D和点C,此时BC+CD+DA的值最小.即四边形ABCD的周长最小,据此求解即可.推广2:求代数式的最小值已知实数x,求代数式x2+1+(5-x)2+9的最小值.图(14)解析:构造图(14),其中点A到直线l的距离AG为1,点B到直线l的距离BH为3,且GH=5,点P在线段GH上运动,设GP=x,则PH=5-x.在Rt△AGP,Rt△BHP中,根据勾股定理,得AP=x2+1,BP=(5-x)2+9,则AP+BP=x2+1+(5-x)2+9,要使AP+BP的值最小,利用“将军饮马”问题解决即可.作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交直线l于点P,此时线段A'B的长度就是x2+1+(5-x)2+9的最小值,据此求解即可.3
