课时训练(二十三) 矩形、菱形、正方形(限时:50分钟)|夯实基础|1.[2022·日照]如图K23-1,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,添加下列条件,不能判定四边形ABCD是菱形的是( )图K23-1A.AB=ADB.AC=BDC.AC⊥BDD.∠ABO=∠CBO2.[2022·哈尔滨]如图K23-2,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=8,tan∠ABD=34,则线段AB的长为( )图K23-2A.7B.27C.5D.103.[2022·宿迁]如图K23-3,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点,若菱形ABCD的周长为16,∠BAD=60°,则△OCE的面积是( )图K23-312\nA.3B.2C.23D.44.[2022·兰州]如图K23-4,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,BE∥DF且BE与DF之间的距离为3,则AE的长度是( )图K23-4A.7B.38C.78D.585.[2022·临沂]如图K23-5,点E,F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点.则下列说法中正确的个数是( )图K23-5①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形;②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形;③若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分;④若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.A.1B.2C.3D.46.[2022·株洲]如图K23-6,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为 . 图K23-67.[2022·黔东南州]已知一个菱形的边长为2,较长的对角线长为23,则这个菱形的面积是 . 12\n8.[2022·广州]如图K23-7,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是 . 图K23-79.[2022·南通]如图K23-8,在△ABC中,AD,CD分别平分∠BAC和∠ACB,AE∥CD,CE∥AD.若从三个条件:①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC中选择一个作为已知条件,则能使四边形ADCE为菱形的是 (填序号). 图K23-810.[2022·舟山]如图K23-9,等边三角形AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF=45°.求证:矩形ABCD是正方形.图K23-912\n11.[2022·湘西州]如图K23-10,在矩形ABCD中,E是AB的中点,连接DE,CE.图K23-10(1)求证:△ADE≌△BCE;(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周长.12\n12.[2022·南京]如图K23-11,在四边形ABCD中,BC=CD,∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.求证:图K23-11(1)∠BOD=∠C;(2)四边形OBCD是菱形.|拓展提升|13.[2022·自贡]如图K23-12,在△ABC中,AC=BC=2,AB=1,将它沿AB翻折得到△ABD,则四边形ADBC的形状是 12\n;点P,E,F分别为线段AB,AD,DB上的任意点,则PE+PF的最小值是 . 图K23-1214.[2022·武汉]以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则∠BEC的度数是 . 15.[2022·玉林]如图K23-13,在▱ABCD中,DC>AD,四个角的平分线AE,DE,BF,CF的交点分别是E,F,过点E,F分别作DC与AB间的垂线段MM'与NN',在DC与AB上的垂足分别是M,N与M',N',连接EF.图K23-13(1)求证:四边形EFNM是矩形;(2)已知:AE=4,DE=3,DC=9,求EF的长.12\n12\n参考答案1.B2.C [解析]由菱形性质可知BO=DO=4,∠AOB=90°,由tan∠ABD=34,可知AO=3,由勾股定理得AB=5.3.A [解析]根据菱形ABCD的周长为16可知AB=BC=CD=DA=4,再根据∠BAD=60°得:BD=4,即BO=DO=2,根据勾股定理得CO=23,从而求得S△COD=23,根据OE是中线得S△OCE=12S△COD=3,故选A.4.C [解析]设AE=x,则BE=9+x2,由S四边形BEDF=3BE=3DE,所以BE=DE.即9+x2=4-x,解得x=78.5.A [解析]∵点E,F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点,∴EH=12BD=FG,EH∥BD∥FG,∴四边形EFGH是平行四边形.由AC=BD可得EH=EF,∴四边形EFGH为菱形,①错误;由AC⊥BD,可得EH⊥EF,∴四边形EFGH为矩形,②错误;由四边形EFGH是平行四边形,无法得到AC与BD互相平分,③错误;由四边形EFGH是正方形,可得到AC与BD互相垂直且相等,④正确.故选A.6.52 [解析]∵四边形ABCD是矩形,∴BD=AC=10,OD=12BD,∴OD=5,∵P,Q分别为AO,AD的中点,∴PQ=12OD=52.7.23 [解析]如图,在菱形ABCD中,AB=2,AC=23,则AO=3,∠AOB=90°,由勾股定理得OB=1.则BD=2,∴S菱形ABCD=12AC·BD=12×23×2=23.8.(-5,4) [解析]由A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0)可得AO=3,AB=5.由菱形ABCD四边相等可得CD=AD=AB=5,在Rt△AOD中,由勾股定理可得OD=AD2-AO2=4,所以C(-5,4).9.② [解析]∵AD,CD分别平分∠BAC和∠ACB,∴∠DAC=12∠BAC,∠DCA=12∠BCA.∵AE∥CD,CE∥AD,∴四边形ADCE为平行四边形.要使四边形ADCE为菱形,则需要条件AD=CD,∴需要条件∠DAC=∠DCA.∴需要条件∠BAC=∠BCA.∴需要条件②AB=BC.10.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=∠C=90°.∵△AEF是等边三角形,∴AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°.12\n又∠CEF=45°,∴∠CFE=∠CEF=45°,∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°,∴△ABE≌△ADF(AAS),∴AB=AD,∴矩形ABCD是正方形.11.解:(1)证明:在矩形ABCD中,AD=BC,∠A=∠B=90°.∵E是AB的中点,∴AE=BE.在△ADE与△BCE中,AD=BC,∠A=∠B,AE=BE,∴△ADE≌△BCE(SAS).(2)由(1)知:△ADE≌△BCE,则DE=EC.在Rt△ADE中,AD=4,AE=12AB=3,由勾股定理知,DE=AD2+AE2=42+32=5,∴△CDE的周长=2DE+DC=2DE+AB=2×5+6=16.12.证明:(1)∵OA=OB=OD,∴点A,B,D在以点O为圆心,OA为半径的圆上.∴∠BOD=2∠BAD.又∠C=2∠BAD,∴∠BOD=∠C.(2)如图,连接OC.∵OB=OD,CB=CD,OC=OC,∴△OBC≌△ODC.∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO.∵∠BOD=∠BOC+∠DOC,∠BCD=∠BCO+∠DCO,∴∠BOC=12∠BOD,∠BCO=12∠BCD.12\n又∠BOD=∠BCD.∴∠BOC=∠BCO,∴BO=BC.又OB=OD,BC=CD,∴OB=BC=CD=DO,∴四边形OBCD是菱形.13.菱形 154 [解析]∵AD=BD=AC=BC,∴四边形ADBC是菱形.作E关于AB的对称点E',根据菱形的对称性可知点E'在AC上,连接E'F交AB于点P,∴PE+PF=PE'+PF=E'F,当E'F是AC,BD之间的距离时,E'F为最小.过点B作BH⊥AC于点H,设AH=x,则CH=2-x,由AB2-AH2=BH2=BC2-CH2,得1-x2=4-(2-x)2,解得x=14,∴BH=1-(14) 2=154.∴PE+PF的最小值为154.14.30°或150° [解析]分两种情况:(1)如图①,等边三角形ADE在正方形ABCD内部时,连接CE,BE,则∠CDE=∠CDA-∠ADE=90°-60°=30°,∵CD=DE,∴∠DCE=75°,∴∠ECB=15°,同理可以得到∠EBC=15°,∴∠BEC=150°.(2)如图②,等边三角形ADE在正方形ABCD外部时,连接CE,BE,则∠CDE=∠CDA+∠ADE=90°+60°=150°,∵CD=DE,∴∠CED=15°,同理∠AEB=15°,∴∠BEC=∠AED-∠CED-∠AEB=60°-15°-15°=30°.12\n15.解:(1)证明:过点E,F分别作AD,BC的垂线,垂足分别是G,H.∵∠3=∠4,∠1=∠2,EG⊥AD,EM⊥CD,EM'⊥AB,∴EG=ME,EG=EM',∴EG=ME=EM'=12MM',同理可证:FH=NF=N'F=12NN'.∵CD∥AB,MM'⊥CD,NN'⊥CD,∴MM'=NN',∴ME=NF=EG=FH.∵MM'∥NN',∴四边形EFNM是平行四边形,又∵MM'⊥CD,∴四边形EFNM是矩形.(2)∵DC∥AB,∴∠CDA+∠DAB=180°,∵∠3=12∠CDA,∠2=12∠DAB,∴∠3+∠2=90°.∴∠DEA=90°.在Rt△DEA中,∵AE=4,DE=3,∴AD=32+42=5.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠DAB=∠DCB,12\n又∵∠2=12∠DAB,∠5=12∠DCB,∴∠2=∠5,由(1)知GE=NF,∴在△GEA和△NFC中,∠2=∠5,∠EGA=∠FNC=90°,GE=NF,∴△GEA≌△NFC,∴AG=CN.在Rt△DME和Rt△DGE中,∵DE=DE,ME=EG,∴Rt△DME≌Rt△DGE,∴DG=DM,∴DM+CN=DG+AG=AD=5,∴MN=CD-DM-CN=9-5=4.∵四边形EFNM是矩形,∴EF=MN=4.12
