课时训练(二十六) 矩形、菱形、正方形(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2022·广安]下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形;②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;③对角线相等的四边形一定是矩形;④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个2.[2022·湘潭]如图K26-1,已知点E,F,G,H分别是菱形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是( )图K26-1A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形3.[2022·无锡]下列性质中,菱形具有而矩形不一定具有的是( )A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.邻边互相垂直4.如图K26-2,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE=22.5°,EF⊥AB,垂足为F,则EF的长为( )17\n图K26-2A.1B.2C.4-22D.32-45.[2022·新疆维吾尔生产建设兵团]如图K26-3,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M,N分别是AB,BC边的中点,则MP+PN的最小值是( )图K26-3A.12B.1C.2D.26.如图K26-4,在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,将矩形ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,则折痕EF的长为( )图K26-4A.6B.12C.25D.457.[2022·扬州]如图K26-5,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为AD的中点,若OE=3,则菱形ABCD的周长为 . 17\n图K26-58.[2022·黄冈]已知:如图K26-6,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则∠BED= 度. 图K26-69.[2022·菏泽]菱形ABCD中,∠A=60°,其周长为24cm,则菱形的面积为 cm2. 10.如图K26-7,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4.设AB=x,AD=y,则x2+(y-4)2的值为 . 图K26-711.如图K26-8,正方形ABCD的边长为4,E为BC上的一点,BE=1,F为AB上的一点,AF=2,P为AC上一个动点,则PF+PE的最小值为 . 12.在矩形ABCD中,AD=5,AB=4,点E,F在直线AD上,且四边形BCFE为菱形,若线段EF的中点为M,则线段AM的长为 . 图K26-813.[2022·内江]如图K26-9,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,F分别是AB,BC上的点,AE=CF,并且∠AED=∠CFD.17\n求证:(1)△AED≌△CFD;(2)四边形ABCD是菱形.图K26-914.如图K26-10,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至点F使CF=BE,连接AF,DE,DF.(1)求证:四边形AEFD是矩形;(2)若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的长.图K26-1017\n15.[2022·盐城]如图K26-11,已知△ABC中,∠ABC=90°.(1)尺规作图:按下列要求完成作图(保留作图痕迹,请标明字母).①作线段AC的垂直平分线l,交AC于点O;②连接BO并延长,在BO的延长线上截取OD,使得OD=OB;③连接DA,DC.(2)判断四边形ABCD的形状,并说明理由.图K26-1116.[2022·盐城]在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图K26-12所示.(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.17\n图K26-1217.[2022·扬州]如图K26-13,将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C',使点A'落在∠ACB'的平分线CD上,连接AA'.(1)判断四边形ACC'A'的形状,并说明理由;(2)在△ABC中,∠B=90°,AB=24,cos∠BAC=1213,求CB'的长.图K26-1317\n|拓展提升|18.[2022·南通]如图K26-14,矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F,G,H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为( )图K26-14A.55B.105C.103D.15319.[2022·重庆B卷]如图K26-15,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,CD是斜边AB上的中线,将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置,连接AE.若DE∥AC,则AE的长度等于 . 图K26-1520.[2022·绍兴]小敏思考解决如下问题:原题:如图K26-16①,点P,Q分别在菱形ABCD的边BC,CD上,∠PAQ=∠B,求证:AP=AQ.(1)小敏进行探索,若将点P,Q的位置特殊化:把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF,使AE⊥BC,点E,F分别在边BC,CD上,如图②,此时她证明了AE=AF.请你证明.(2)受以上(1)的启发,在原题中,添加辅助线:如图③,作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F.请你继续完成原题的证明.17\n(3)如果在原题中添加条件:AB=4,∠B=60°,如图①.请你编制一个计算题(不标注新的字母),并直接给出答案.图K26-1617\n参考答案1.C [解析]根据菱形的判定定理,四边相等的四边形一定是菱形,故①正确;由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四边都相等,由此可判定所得四边形是菱形,故②错误;对角线相等的平行四边形是矩形,故③错误;平行四边形是中心对称图形,根据中心对称图形的性质,经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形,面积当然相等,所以经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分,故④正确.综上所述,正确的说法有2个.故选C.2.B [解析]连接AC和BD,∵E,F,G,H分别是菱形ABCD各边的中点,∴EH∥BD∥FG,EF∥AC∥HG,EH=FG=12BD,EF=HG=12AC,∴四边形EFGH为平行四边形,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴EF⊥FG,∴▱EFGH是矩形.3.C [解析]对角线互相垂直是菱形具有的性质,矩形不一定具有.故选C.4.C [解析]由∠BAE=22.5°,∠ADB=45°,∠BAD=90°,EF⊥AB,易知△ADE是等腰三角形,△BEF是等腰直角三角形,∴DE=AD=4,BE=42-4.设EF=x,则2x2=(42-4)2,解得x=4-22(x=22-4为负值,舍去).故选C.5.B [解析]如图,取AD的中点M',连接M'N交AC于点P,则由菱形的轴对称性可知M,M'关于直线AC对称,从而17\nM'P=PM,此时MP+PN的值最小,而易知四边形CDM'N是平行四边形,故M'N=CD=1,于是,MP+PN的最小值是1,因此选B.6.D [解析]设BE=x,则CE=BC-BE=16-x.∵沿EF折叠后点C与点A重合,∴AE=CE=16-x.在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,即82+x2=(16-x)2,解得x=6,∴AE=16-6=10.由翻折的性质,得∠AEF=∠CEF.∵矩形ABCD的对边AD∥BC,∴∠AFE=∠CEF,∴∠AEF=∠AFE,∴AF=AE=10.如图,过点E作EH⊥AD于点H,则四边形ABEH是矩形,∴EH=AB=8,AH=BE=6,∴FH=AF-AH=10-6=4.在Rt△EFH中,EF=EH2+FH2=82+42=45.7.24 [解析]∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,AB=BC=CD=DA,∴△AOD为直角三角形.∵OE=3,且点E为线段AD的中点,17\n∴AD=2OE=6.∴C菱形ABCD=4AD=4×6=24.8.45 [解析]由题意得,AB=AE,∠BAD=90°,∠DAE=∠AED=60°.所以∠BAE=150°,∠AEB=15°.所以∠BED=∠AED-∠AEB=60°-15°=45°.9.183 [解析]如图,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,∵∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形,又∵菱形ABCD周长为24cm,即BD=AB=6cm,在Rt△AOD中,OD=3cm,∴AO=AD2-OD2=62-32=33(cm),∴AC=2AO=63cm,菱形的面积=12AC·BD=12×63×6=183(cm2).10.16 [解析]在矩形ABCD中,CD=AB=x,BC=AD=y.在Rt△BDE中,∠BDE=90°,F为BE的中点,所以BF=EF=DF=4,所以CD2+CF2=DF2,即x2+(4-y)2=x2+(y-4)2=16.11.17 [解析]如图,作E关于直线AC的对称点E',连接E'F,则E'F的长即为PE+PF的最小值.过点F作FG⊥CD于点G.由正方形的对称性,易知DE'=BE=1.易证四边形BCGF是矩形,所以CG=BF=AB-AF=2,FG=BC=4.在Rt△E'FG中,GE'=CD-DE'-CG=4-1-2=1,GF=4,所以E'F=FG2+E'G2=42+12=17.17\n12.5.5或0.5 [解析]∵四边形BCFE是菱形,∴BE=BC=AD=5.如图①,在Rt△AEB中,由勾股定理,得AE=3,∵EF=BC=5,M是EF的中点,∴EM=2.5,∴AM=3+2.5=5.5.如图②,在Rt△AEB中,由勾股定理,得AE=3,∵EF=5,M是EF的中点,∴EM=2.5,∴AM=3-2.5=0.5.13.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,在△AED和△CFD中,∠A=∠C,AE=CF,∠AED=∠CFD,∴△AED≌△CFD(ASA).(2)由(1)得△AED≌△CFD,∴AD=DC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是菱形.14.解:(1)证明:∵CF=BE,∴CF+EC=BE+EC.17\n即EF=BC.∵在▱ABCD中,AD∥BC且AD=BC,∴AD∥EF且AD=EF.∴四边形AEFD是平行四边形.∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°.∴▱AEFD是矩形.(2)∵▱AEFD是矩形,DE=8,∴AF=DE=8.∵AB=6,BF=10,∴AB2+AF2=62+82=102=BF2.∴∠BAF=90°.∵AE⊥BF,∴S△ABF=12AB·AF=12BF·AE.∴AE=AB·AFBF=245.15.解:(1)完成的作图如图所示.作出AC的垂直平分线l,得到点O;作出点D.(2)四边形ABCD为矩形.理由:∵线段AC的垂直平分线l交AC于点O,∴OA=OC,又∵OD=OB,∴四边形ABCD为平行四边形.又∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD为矩形.17\n16.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABD=45°,∠ADB=45°,AB=AD.∴∠ABE=∠ADF=135°.又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)四边形AECF是菱形.理由:连接AC交BD于点O,图略.则AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.又∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形.17.解:(1)四边形ACC'A'为菱形.理由如下:∵△A'B'C'是由△ABC平移得到的,∴AA'∥CC'且AA'=CC',∴四边形ACC'A'是平行四边形,∠AA'C=∠A'CC'.∵CD平分∠ACC',∴∠ACA'=∠A'CC',∴∠AA'C=∠ACA',∴AC=AA',∴四边形ACC'A'为菱形.(2)∵∠B=90°,cos∠BAC=1213,∴ABAC=1213.∵AB=24,∴AC=26,∴BC=AC2-AB2=262-242=10,∴CB'=CC'-B'C'=AC-BC=16.17\n18.B [解析]作点F关于CD的对称点F',易证四边形EFGH为平行四边形,△AEH≌△CGF,∴AH=CF=CF'.当H,G,F'三点共线时,GH+GF'最小,即GH+GF最小.过点F'作点F'M⊥AD,交AD延长线于点M.则HM=5,F'M=10,根据勾股定理可求得HF'=55,所以GH+GF为55,即四边形EFGH周长的最小值为105.19.23 [解析]∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,CD是斜边AB上的中线,∴CD=12AB=DA=DB.令∠B=x°,则∠DCB=∠B=x°,由翻折知,DE=DB,∠ECD=∠DCB=x°=∠CED.∵DE∥AC,∴∠ACE=∠CED=x°.由∠ACB=90°,得3x=90,x=30,从而∠B=30°,于是AC=12AB.在Rt△ABC中,tanB=ACBC,得AC=BC·tanB=6tan30°=23.∴AB=2AC=43,ED=BD=12AB=23,∴AC=DE,又AC∥DE,从而四边形ACDE是平行四边形.又∵CD=DE,∴四边形ACDE是菱形.∴AE=AC=23.20.[解析](1)可先求出∠AFC=∠AFD=90°,然后证明△AEB≌△AFD即可;(2)先求出∠EAP=∠FAQ,再证明△AEP≌△AFQ即可;(3)可以分三个不同的层次,①直接求菱形本身其他内角的度数或边的长度,也可求菱形的周长.②可求PC+CQ,BP+QD,∠APC+∠AQC的值.③可求四边形APCQ的面积、△ABP与△AQD的面积和、四边形APCQ周长的最小值等.17\n解:(1)证明:如图①,在菱形ABCD中,∠B+∠C=180°,∠B=∠D,AB=AD,∵∠EAF=∠B,∴∠C+∠EAF=180°,∴∠AEC+∠AFC=180°.∵AE⊥BC,∴∠AEB=∠AEC=90°,∴∠AFC=90°,∠AFD=90°,∴△AEB≌△AFD,∴AE=AF.(2)证明:如图②,∵∠PAQ=∠EAF=∠B,∴∠EAP=∠EAF-∠PAF=∠PAQ-∠PAF=∠FAQ.∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEP=∠AFQ=90°.∵AE=AF,∴△AEP≌△AFQ,∴AP=AQ.17\n(3)答案不唯一,举例如下:层次1:①求∠D的度数.答案:∠D=60°.②分别求∠BAD,∠BCD的度数.答案:∠BAD=∠BCD=120°.③求菱形ABCD的周长.答案:16.④分别求BC,CD,AD的长.答案:4,4,4.层次2:①求PC+CQ的值.答案:4.②求BP+QD的值.答案:4.③求∠APC+∠AQC的值.答案:180°.层次3:①求四边形APCQ的面积.答案:43.②求△ABP与△AQD的面积和.答案:43.③求四边形APCQ周长的最小值.答案:4+43.17
