课时训练29矩形限时：30分钟夯实基础1．如图K29－1所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝13，BC＝12，则△ABO的周长是( )图K29－1A．25B．20C．17D．182．[2022·内江]如图K29－2，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为( )图K29－2A．31°B．28°C．62°D．56°3．[2022·绵阳]如图K29－3，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( )图K29－3A．1B．2C．2D．34．[2022·陕西]如图K29－4所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，则BF长为( )10\n图K29－4A．3102B．3105C．105D．3555．[2022·株洲]如图K29－5，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为 ． 图K29－56．[2022·龙东地区]如图K29－6，在平行四边形ABCD中，添加一个条件 ，使平行四边形ABCD是矩形． 图K29－67．如图K29－7，点E是矩形ABCD内任一点，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ． 图K29－78．[2022·滨州]如图K29－8，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E，F分别在BC，CD上，若AE＝5，∠EAF＝45°，则AF的长为 ． 图K29－810\n9．[2022·湘西州]如图K29－9，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，连接DE，CE．(1)求证：△ADE≌△BCE；(2)若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．图K29－9能力提升10．[2022·泸州]如图K29－10所示，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是( )图K29－10A．24B．14C．13D．2311．[2022·江西]如图K29－11，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为 ． 10\n图K29－1112．如图K29－12所示，在矩形ABCD中，对角线AC＝23，E为BC边上一点，BC＝3BE．将矩形ABCD沿AE所在直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B'处，则AB＝ ． 图K29－1213．[2022·攀枝花]如图K29－13，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB＝13S矩形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和PA＋PB的最小值为 ． 图K29－1314．[2022·包头]如图K29－14，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝AD，连接BD，点E在AB上，且∠BDE＝15°，DE＝43，DC＝221．(1)求BE的长；(2)求四边形DEBC的面积．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)图K29－1410\n拓展练习15．[2022·临沂]将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG．(1)如图K29－15，当点E在BD上时，求证：FD＝CD．(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．图K29－1510\n参考答案1．D2．D3．A4．B [解析]由题意得△ADE∽△BFA，由题意可知AD＝3，DE＝1，设AF＝x，则BF＝3x，由勾股定理得AF2＋BF2＝AB2，即x2＋(3x)2＝22，解得x＝105或x＝-105(舍去)，所以3x＝3105，即BF＝3105．5．2．5 [解析]∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝10，BO＝DO＝12BD＝5．∵P，Q是AO，AD的中点，∴PQ是△AOD的中位线．∴PQ＝12DO＝2．5．故填2．5．6．答案不唯一，如∠ABC＝90°或AC＝BD等 [解析]判定一个平行四边形是矩形，常见的有两种思路，一是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形;二是根据对角线相等的平行四边形是矩形．7．68．4103 [解析]取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND＝DF，连接NF，设DF＝DN＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC＝4，10\n∴NF＝2x，AN＝4－x，∠BME＝∠DNF＝45°，∴∠AME＝∠FNA．∵AB＝2，∴AM＝BM＝1，∵AE＝5，AB＝2，∴BE＝1，∴ME＝BM2＋BE2＝2，∵∠EAF＝45°，∴∠MAE＋∠NAF＝45°，∵∠MAE＋∠AEM＝45°，∴∠MEA＝∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴AMFN＝MEAN，∴12x＝24－x，解得：x＝43，∴AF＝AD2＋DF2＝4103．9．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠B．∵E是AB的中点，∴AE＝BE．在△ADE与△BCE中，AD＝BC，∠A＝∠B，AE＝BE，∴△ADE≌△BCE(SAS)．(2)∵AB＝6，E是AB的中点，∴AE＝BE＝3．在Rt△ADE中，AD＝4，AE＝3，根据勾股定理可得：DE＝AD2＋AE2＝42＋32＝5．∵△ADE≌△BCE，∴DE＝CE＝5．又∵矩形ABCD中，CD＝AB＝6，∴DE＋CE＋CD＝5＋5＋6＝16．即△CDE的周长为16．10\n10．A [解析]∵AD∥BC，BE＝CE，∴BE∶AD＝BF∶FD＝EF∶AF＝1∶2．设EF＝x，则AF＝2x．∵△BEF∽△AEB，∴BE∶AE＝EF∶BE，∴BE2＝EF·AE＝3x2，∴BE＝3x，∴AB2＝AE2－BE2＝6x2，∴AB＝6x．∵AB·BE＝AE·BF，∴BF＝2x．在Rt△BDC中，BD＝DC2＋BC2＝32x，∴DF＝22x，在Rt△DFE中，tan∠BDE＝EFDF＝x22x＝24．11．32 [解析]∵AD＝EF＝DE＝3，∠D＝90°，∴AE2＝AD2＋DE2＝18，∴AE＝AB＝18＝32．12．313．42 [解析]设△PAB中AB边上的高是h，∵S△PAB＝13S矩形ABCD，∴12AB·h＝13AB·AD，10\n∴h＝23AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'，交l于点P'，则BA'即为所求的最短距离．在Rt△ABA'中，AB＝4，AA'＝2＋2＝4，∴BA'＝AB2＋AA'2＝42＋42＝42，即PA＋PB的最小值为42．14．解：(1)在四边形ABCD中，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°．∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BDE＝15°，∴∠ADE＝30°．在Rt△AED中，∵DE＝43，∴AE＝43·sin30°＝23，AD＝43·cos30°＝6，∴AB＝AD＝6，∴BE＝6－23．(2)过点D作DF⊥BC于点F，∴∠BFD＝90°，∵∠BAD＝∠ABC＝90°，∴四边形ABFD是矩形，∴BF＝AD＝6，DF＝AB＝6．在Rt△DFC中，∵DC＝221，∴FC＝DC2－DF2＝43，∴BC＝6＋43，∴S四边形DEBC＝S△DEB＋S△DCB＝36＋63．15．[解析](1)连接AF，结合旋转和矩形的性质证得BD∥AF，且BD＝AF，得到四边形BDFA是平行四边形，得到DF＝AB，进而得到结论;(2)当GC＝GB时，点G位于BC的垂直平分线上，分点G位于BC的左边和右边两种情况讨论．解：(1)证明：如图①，连接AF．①由四边形ABCD是矩形，结合旋转可得BD＝AF，∠EAF＝∠ABD．10\n∵AB＝AE，∴∠ABD＝∠AEB，∴∠EAF＝∠AEB，∴BD∥AF，∴四边形BDFA是平行四边形，∴FD＝AB．∵AB＝CD，∴FD＝CD．(2)当α＝60°或300°时，GC＝GB．理由：②如图②，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边时，易知点G也是AD的垂直平分线上的点，∴DG＝AG．又∵AG＝AD，∴△ADG是等边三角形，③∴∠DAG＝60°，∴α＝60°．如图③，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的左边时，同理，△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°．此时α＝300°．综上所述，当α为60°或300°时，GC＝GB．10
