第二节 矩形、菱形、正方形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2022·荆州中考)菱形不具备的性质是()A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形2．(2022·湘潭中考)如图，已知点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是()A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形3．(2022·易错题)下列命题正确的是()A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形4．(2022·上海中考)已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是()A．∠A＝∠BB．∠A＝∠CC．AC＝BDD．AB⊥BC5．(2022·淮安中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是()A．20B．24C．40D．486．(2022·宜昌中考)如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J.则图中阴影部分的面积等于()8\nA．1B.C.D.7．(2022·广州中考)如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是________________．8．(2022·株洲中考)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为________．9．(2022·改编题)对于▱ABCD，从以下五个关系式中任取一个作为条件：①AB＝BC；②∠BAD＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤∠DAB＝∠ABC.能判定▱ABCD是矩形的序号是__________．10．(2022·南京中考)如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：(1)∠BOD＝∠C；(2)四边形OBCD是菱形．8\n11．(2022·宿迁中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是()A.B．2C．2D．412．(2022·陕西中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3.若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为()A.B.C.D.13．(2022·泸州中考)如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是()8\nA.B.C.D.14．(2022·连云港中考)如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，HE，EC，GA，GF.已知AG⊥GF，AC＝，则AB的长为______．15．(2022·白银中考)已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．(1)求证：△BGF≌△FHC；(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．8\n16．(2022·原创题)如图1，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F.(1)求证：△APE∽△FPA；(2)猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由；(3)如果将正方形变为菱形，如图2所示，其他条件不变，(2)中线段PC，PE，PF之间的关系还成立吗？如果成立，请直接写出结果；如果不成立，请说明理由．17．(2022·创新题)已知：对于任意实数a，b，总有a2＋b2≥2ab，且当a＝b时，代数式a2＋b2取得最小值为2ab.若一个矩形的面积固定为n，它的周长是否会有最值？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽；若没有，请说明理由．8\n参考答案【基础训练】1．B 2.B 3.C 4.B 5.A 6.B 7．(－5，4) 8. 9.②③⑤ 10．证明：(1)如图，延长AO，交CD于点E.∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.又∵∠BOE＝∠ABO＋∠BAO，∴∠BOE＝2∠BAO.同理∠DOE＝2∠DAO，∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)，即∠BOD＝2∠BAD.又∵∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C.(2)如图，连接OC.∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC，∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO.∵∠BOD＝∠BOC＋∠DOC，∠BCD＝∠BCO＋∠DCO，8\n∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD.又∵∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC.又∵OB＝OD，BC＝CD，∴OB＝BC＝CD＝DO，∴四边形OBCD是菱形．【拔高训练】11．A 12.B 13.C 14．2 15．(1)证明：∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，∴BF＝CF，FH∥BE，FH＝BE，∴FH＝BG，∠CFH＝∠CBG，∴△BGF≌△FHC.(2)解：当四边形EGFH是正方形时，可得EF⊥GH且EF＝GH.∵在△BEC中，点G，H分别是BE，CE的中点，∴GH＝BC＝AD＝a，且GH∥BC，∴EF⊥BC.∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB＝EF＝GH＝a，∴矩形ABCD的面积＝a·a＝a2.16．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC.∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADP＝∠CDP＝45°.又∵DP＝DP，∴△DPA≌△DPC(SAS)，∴∠EAP＝∠DCP.∵DC∥AB，∴∠DCP＝∠F，∴∠EAP＝∠F.又∵∠EPA＝∠FPA，∴△APE∽△FPA.(2)解：线段PC，PE，PF之间满足PC2＝PE·PF.理由如下：∵△DPA≌△DPC，∴PA＝PC.∵△APE∽△FPA，∴AP∶PF＝PE∶PA，∴PA2＝PE·PF，∴PC2＝PE·PF.(3)解：成立．PC2＝PE·PF.【培优训练】17．解：设矩形的长为a，宽为b(a≥b＞0)，8\n周长C＝2(a＋b)≥4＝4，且当a＝b时，代数式2(a＋b)取得最小值为4，此时a＝b＝.故若一个矩形的面积固定为n，它的周长有最小值，周长的最小值为4，此时矩形的长和宽均为.8
