第三节 等腰三角形与直角三角形1．(白银中考)如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( C )A．3B．4C．5D．6(第1题图) (第2题图)2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为( C )A．0.7mB．1.5mC．2.2mD．2.4m3．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是边PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( D )A．44°B．66°C．88°D．92°(第3题图) (第5题图)4．(2022保定十七中模拟)在△ABC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，则△ABC的周长为( D )A．32B．42C．40或42D．32或425．(宜昌中考)任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示，若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是( B )A．△EGH为等腰三角形B．△EGF为等边三角形5\nC．四边形EGFH为菱形D．△EHF为等腰三角形6．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( D )A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A－∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝∠B＝3∠C7．如图，已知△ABC的面积为10cm2，BP为∠ABC的平分线，AP垂直BP于点P，则△PBC的面积为( B )A．4cm2B．5cm2C．6cm2D．7cm28．(杭州中考)已知直角三角形纸片的两条直角边分别为m和n(m<n)，过锐角三角形顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则( C )A．m2＋2mn＋n2＝0B．m2－2mn＋n2＝0C．m2＋2mn－n2＝0D．m2－2mn－n2＝0(第7题图) (第9题图)9．(2022益阳中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE＝a，AE＝b，则用含a，b的代数式表示△ABC的周长为__2a＋3b__．10．(2022绥化中考)在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝BC，则△ABC的顶角的度数为__30°或150°或90°__．11．(2022绍兴中考)如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x＋4，点P是边OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是__x＝0或x＝4－4或4＜x＜4__．12．在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A，B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED.5\n(1)当BE＝AE时，求证：BD＝AE；(2)当BE≠AE时，“BD＝AE”还成立吗？若你认为不成立，请直接写出BD与AE数量关系式；若你认为成立，请给予证明．解：(1)在等边△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°.∵BE＝AE，∴∠ACE＝∠ECB＝30°.又∵CE＝DE，∴∠D＝∠ECD＝30°.∴∠DEB＝30°，∴BE＝BD，∴BD＝AE；(2)BD＝AE还成立．理由如下：如图②，过点E作EF∥AC交BC于点F.易证△EFB为等边三角形．∴EF＝FB＝BE.∴∠EFB＝∠EBF.∴∠CFE＝∠EBD.∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠D.∴△EBD≌△EFC(AAS)，∴CF＝BD.∵AB＝BC，∴AB－BE＝BC－BF，即AE＝CF，∴BD＝AE.13．(威海中考)如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为( B )A．68°B．88°C．90°D．112°14．(内江中考)已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( B )A.B.C.D．不能确定15．(2022咸宁中考)如图，在Rt△ACB中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动，下列结论：①若C，O两点关于AB对称，则OA＝2；②C，O两点距离的最大值为4；③若AB平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动路径的长为.其中正确的是__①②③__．(填序号)5\n(第15题图) (第16题图)16．(2022齐齐哈尔中考)经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为__113°或92°__．17．(潍坊中考)已知∠AOB＝60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM＝4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是__2__．18．(2022邯郸十一中一模)如图，∠ABC＝90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M.(1)求证：∠FMC＝∠FCM；(2)AD与MC垂直吗？并说明理由．解：(1)∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，∴DF⊥AE，DF＝AF＝EF.又∵∠ABC＝90°，∴∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF＝∠AMF.又∵∠DFC＝∠AFM＝90°，∴△DFC≌△AFM，∴CF＝MF.∴∠FMC＝∠FCM；(2)AD⊥MC.理由：由(1)知∠MFC＝90°，FD＝FE，FM＝FC.∴∠FDE＝∠FMC＝45°.∴DE∥CM，由题意得AD⊥DE，∴AD⊥MC.19．如图，△ABC中，BE，CF分别平分∠ABC和∠ACB，AE⊥BE于E，AF⊥CF于F.求证：EF∥BC.5\n证明：延长AE，AF分别交BC于点M，N.∵BE平分∠ABM，∴∠ABE＝∠CBE.∵AB⊥BE，∴∠AEB＝∠MEB＝90°.在Rt△ABE和Rt△MBE中，∴Rt△ABE≌△Rt△MBE(SAS)．∴AE＝EM.同理，AF＝FN，∴EF为△AMN的中位线，∴EF∥MN，∴EF∥BC.5
