第十五讲 等腰三角形与直角三角形1．(2022台州中考)如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( C )A．AE＝EC B．AE＝BEC．∠EBC＝∠BACD．∠EBC＝∠ABE,(第1题图)) ,(第2题图))2．(2022烟台中考)某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为( D )A．48° B．40° C．30° D．24°3．(2022大庆中考)如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC＝90°，∠BCD＝60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为( B )A．30°B．15°C．45°D．25°,(第3题图)) ,(第5题图))4．(安顺中考)已知实数x，y满足|x－4|＋＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是( B )A．20或16 B．20C．16D．以上答案均不对5．(2022大连中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为( B )A．2a B．2a C．3a D.a6．(武汉中考)平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( A )A．5B．6C．7D．87．(2022聊城中考)如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，4\n线段AB的端点都在小矩形的顶点上．如果点P是某个小矩形的顶点，连结PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是( B )A．2B．3C．4D．58．(内江中考)已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( B )A. B.C.D．不能确定9．(2022株洲中考)如图所示，在△ABC中，∠B＝__25°__.,(第9题图)) ,(第10题图))10．(泰州中考)如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若α＝40°，则β等于__20°__．11．(2022常德中考)如图，已知Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是__0＜CD≤5__．,(第11题图)) ,(第12题图))12．(牡丹江中考)如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连结AD，若AD＝4，则DC＝__5__．13．(2022淄博中考)在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝__2__.14．(常州中考)如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE是高，BD与CE相交于点O.(1)求证：OB＝OC；(2)若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．解：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD，CE是△ABC的两条高线，∴∠BEC＝∠BDC＝90°，∴△BEC≌△CDB，∴∠DBC＝∠ECB，BE＝CD.4\n在△BOE和△COD中，∵∠BOE＝∠COD，BE＝CD，∠BEC＝∠CDB＝90°，∴△BOE≌△COD，∴OB＝OC；(2)∵∠ABC＝50°，AB＝AC，∴∠A＝180°－2×50°＝80°.∵∠DOE＋∠A＝180°，∴∠BOC＝∠DOE＝180°－80°＝100°.15．(宁夏中考)在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴DE＝DC＝2.在Rt△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝2，∠EDC＝60°，∴EF＝tan60°·DE＝2.16．(2022郴州中考)如图①，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE.(1)求证：△CDE是等边三角形；(2)如图②，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；(3)如图③，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；(2)存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE＋DB＋DE＝AB＋DE＝4＋DE，由(1)知，△CDE是等边三角形，4\n∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD＋4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2cm，∴△BDE的最小周长＝CD＋4＝2＋4；(3)存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由(1)可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°.∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°.∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA－DA＝6－4＝2，∴t＝2÷1＝2s；③当6＜t＜10s时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由(1)知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE＋∠BDC＝60°＋∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14cm，∴t＝14÷1＝14s，综上所述，当t＝2或14s时，以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形．17．(六盘水中考)如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4…，若∠A＝70°，则∠An－1AnBn－1的度数为( C )A. B. C. D.4
