课时训练(三十) 平移、旋转与轴对称(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2022·盐城]下列图形中,是轴对称图形的是( )图K30-12.[2022·无锡梁溪模拟]下列几何图形中,一定是轴对称图形的是( )A.三角形B.四边形C.平行四边形D.圆3.[2022·南通]如图K30-2,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD,若∠AOB=15°,则∠AOD= °. 9\n图K30-24.[2022·乐山]如图K30-3,直线a,b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=3,AB=2,则阴影部分的面积之和为 . 图K30-35.[2022·娄底]如图K30-4,将△ABC沿直线DE折叠,使点C与点A重合,已知AB=7,BC=6,则△BCD的周长为 . 图K30-46.[2022·东营]如图K30-5,已知菱形ABCD的周长为16,面积为83,E为AB的中点,若P为对角线BD上一动点,则EP+AP的最小值为 . 图K30-57.已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-2,1),C(1,1)(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度).9\n(1)△A1B1C是△ABC绕点 逆时针旋转 度得到的,B1的坐标是 ; (2)求出线段AC在旋转过程中所扫过的面积(结果保留π).图K30-68.[2022·威海]如图K30-7,将矩形ABCD(纸片)折叠,使点B与AD边上的点K重合,EG为折痕;点C与AD边上的点K重合,FH为折痕,已知∠1=67.5°,∠2=75°,EF=3+1.求BC的长.图K30-79\n9.[2022·南京]我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变换后,可以进行进一步研究,请根据示例图形,完成下表.图形的变换示例图形与对应线段有关的结论与对应点有关的结论平移(1) AA'=BB',AA'∥BB'轴对称(2) (3) 旋转 AB=A'B';对应线段AB和A'B'所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互补(4) |拓展提升|10.[2022·德州]如图K30-8,等边三角形ABC的边长为4,点O是△ABC的中心,∠FOG=120°.绕点O旋转∠FOG,分别交线段AB,BC于D,E两点,连接DE,给出下列四个结论:①OD=OE;②S△ODE=S△BDE;③四边形ODBE的面积始终等于433;④△BDE周长的最小值为6.上述结论中正确的个数是( )图K30-8A.1B.2C.3D.49\n11.[2022·泰州]对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作:先沿CE折叠,使点B落在CD边上(如图K30-9①),再沿CH折叠,这时发现点E恰好与点D重合(如图②).(1)根据以上操作和发现,求CDAD的值.(2)将该矩形纸片展开.①如图③,折叠该矩形纸片,使点C与点H重合,折痕与AB相交于点P,再将该矩形纸片展开,求证:∠HPC=90°.②不借助工具,利用图④探索一种新的折叠方法,找出与图③中位置相同的P点,要求只有一条折痕,且点P在折痕上,请简要说明折叠方法.(不需说明理由)图K30-99\n参考答案1.D [解析]选项A是中心对称图形,不是轴对称图形;选项B,C既不是中心对称图形,也不是轴对称图形;选项D是轴对称图形.2.D3.30 [解析]由旋转的性质可知∠BOD=45°,∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=30°.4.6 [解析]过点A作AE⊥b于点E,∵AB⊥a,AE⊥b,∴四边形ABOE是矩形.由点A与点A'关于点O成中心对称知S阴影=S矩形ABOE=AB·OB=2×3=6.5.13 [解析]由折叠知AD=CD,∵AB=7,BC=6,∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=7+6=13.6.23 [解析]如图,作CE'⊥AB于E',交BD于P',连接AC,AP'.9\n∵菱形ABCD的周长为16,面积为83,∴AB=BC=4,AB·CE'=83,∴CE'=23,在Rt△BCE'中,BE'=42-(23)2=2,∵BE=EA=2,∴E与E'重合,∵四边形ABCD是菱形,∴BD垂直平分AC,∴A,C关于BD对称.∴当P与P'重合时,EP+AP的值最小,最小值为CE=23.7.解:(1)△A1B1C是△ABC绕点C逆时针旋转90度得到的,B1的坐标是(1,-2),故答案为C;90;(1,-2).(2)线段AC旋转过程中所扫过的面积为以点C为圆心,AC为半径,圆心角为90°的扇形的面积.∵AC=22+12=5,∴面积为90×π×(5)2360=5π4,即线段AC在旋转过程中所扫过的面积为5π4.8.解:由题意,得∠3=180°-2∠1=45°,∠4=180°-2∠2=30°,BE=EK,KF=FC.过点K作KM⊥EF,垂足为M.9\n设KM=x,易得EM=x,MF=3x,∴x+3x=3+1,解得x=1.∴EK=2,KF=2.∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+2+3,即BC的长为3+2+3.9.解:(1)AB=A'B',AB∥A'B'.(2)AB=A'B';线段AB和A'B'所在的直线相交,交点在对称轴l上.(3)l垂直平分AA',BB'.(4)OA=OA',OB=OB',∠AOA'=∠BOB'.10.C [解析]如图①,连接OB,OC,因为点O是等边三角形ABC的中心,所以∠BOC=120°,OB=OC,所以∠BOC=∠FOG=120°,∠ABO=∠BCO=30°,所以∠BOD=∠COE,所以△BOD≌△COE(ASA),所以OD=OE,结论①正确;通过画图确定结论②错误,如当点E为BC中点时,S△ODE<S△BDE;因为△BOD≌△COE,所以S△BOD=S△COE,所以S四边形ODBE=S△BOC=13S△ABC=433,结论③正确;因为△BOD≌△COE,所以BD=CE,所以BD+BE=BC=4,因为∠FOG=120°,OD=OE,易得DE=3OD,如图②,当OD⊥AB时,(OD)最小=BD×tan∠OBD=233,所以(DE)最小=2,所以△BDE周长的最小值为6,结论④正确.故选C.11.[解析](1)由折叠得△BCE是等腰直角三角形,所以CE=CD=2BC=2AD,得解;(2)①先证△AEH是等腰直角三角形,设BC=m,先后用含m的代数式表示出AE,AH的长,再设AP=x,根据“PH=PC”得方程,解方程得AP=BC,再证Rt△APH≌Rt△BCP后易得∠HPC=90°;②折叠后得AP=AD或∠BCP=22.5°即可.9\n解:(1)在矩形ABCD中,∠A=∠BCD=∠B=∠D=90°,AD=BC,AB=CD.由折叠得∠BCE=12∠BCD=45°,CE=CD,∴CE=CD=BCcos∠BCE=2BC=2AD,∴CDA=2.(2)①证明:连接EH,设BC=m,则AB=CD=2m,∵BE=BC×tan∠BCE=m,∴AE=(2-1)m.由折叠得∠HEC=∠D=90°,∵∠BEC=90°-∠BCE=45°,∴∠AEH=90°-∠BEC=45°,∴AH=AE×tan∠AEH=(2-1)m.设AP=x,则BP=2m-x,由折叠得PH=PC,∴[(2-1)m]2+x2=(2m-x)2+m2,∴x=m,∴AP=BC,∴Rt△APH≌Rt△BCP(HL),∴∠APH=∠BCP,∵∠BPC+∠BCP=90°,∴∠APH+∠BPC=90°,∴∠HPC=90°.②答案不唯一,如:沿过点D的直线折叠矩形纸片,使点A落在DC边上,折痕与AB相交于点P.9
