第十五讲 等腰三角形与直角三角形,考标完全解读)考点考试内容考试要求等腰三角形与直角三角形的定义等腰三角形的定义了解直角三角形的定义了解等腰三角形与直角三角形等腰三角形的性质及其判定理解等边三角形的性质及其判定理解直角三角形的性质及其判定理解,感受宜宾中考)1．(宜宾中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC于D.请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是__答案不唯一，如BD＝CD__．2．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( D )A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC.求证：点F是AB的中点．证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.9\n∵EF∥AC，∴∠AEF＝∠CAE，∴∠AEF＝∠BAE，∴AF＝EF.又∵BE⊥AD，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠BEF＋∠AEF＝90°，又∠AEF＝∠BAE，∴∠ABE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴AF＝BF，∴点F为AB中点．,核心知识梳理) 等腰三角形的性质和判定1．性质：(1)等腰三角形两腰__相等__(定义)．(2)等腰三角形两角底角__相等__(等边对等角)．(3)等腰三角形底边上的中线，底边上的高和顶角的平分线__互相重合__(简称“三线合一”)．2．判定：(1)有__两边相等__的三角形是等腰三角形．(2)有__两角相等__的三角形是等腰三角形． 等边三角形的性质和判定3．等边三角形的性质：(具有等腰三角形的所有性质，结合定义更特殊).(1)等边三角形的内角都__相等__，且为__60__°.(2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线__互相重合__(简称“三线合一”)．(3)等边三角形是__轴对称__图形，它有__三__条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线．4．等边三角形的判定：(首先考虑判断三角形是等腰三角形)(1)__三边__相等的三角形是等边三角形(定义)．(2)三个内角都__相等__的三角形是等边三角形.(3)有一个角是60°的__等腰__三角形是等边三角形． 直角三角形的性质和判定5．直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个锐角__互余__．(2)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的__一半__．(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的__一半__．(4)直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2.9\n6．直角三角形的判定判定1：有一个角为__90°__的三角形是直角三角形．判定2：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的__一半__，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．判定3：若__a2＋b2＝c2__，则以a，b，c为边的三角形，是以c为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)． 线段垂直平分线的定理及逆定理7．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离__相等__．【温馨提示】它是证明两条线段相等的重要的方法之一，在证明线段相等时，不要再证明两个三角形全等了，方便了证明的过程．8．线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端点距离__相等__的点在这条线段的垂直平分线上．【温馨提示】(1)关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理；区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论；(2)要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可．,重点难点解析) 等腰三角形的应用【例1】阅读理解：如图①，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们就称点P是△ABC的边AB上的和谐点．解决问题：(1)如图②，△ABC中，∠ACB＝90°，试找出边AB上的和谐点P，并说明理由；(2)已知∠A＝40°，△ABC的顶点B在射线l上(图③)，点P是边AB上的和谐点，请在图③中画出所有符合条件的B点，并写出相应的∠B的度数．【解析】(1)由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，找出和谐点为斜边的中点；(2)由∠A为等腰三角形的顶角和底角分类讨论得出符合条件的点B有3个．【答案】解：(1)AB边上的和谐点为AB的中点．理由如下：∵P是AB的中点，∴PC＝AB＝PA＝PB，∴△ACP和△BCP是等腰三角形；(2)①当∠A＝∠ACP＝40°时，则∠CPB＝40°＋40°＝80°.如答图①.若CP＝CB1，则∠CPB1＝∠CB1P＝80°.若B2P＝B2C，则∠B2PC＝∠B2CP＝80°，9\n∴∠CB2P＝180°－80°－80°＝20°.若PC＝B3P，则∠PB3C＝∠PB3C＝＝50°；②当∠A＝∠APC＝40°时，如答图②，∵∠CPB4＝180°－∠APC＝180°－40°＝140°，∴∠CB4P＝＝20°；③当∠ACP＝∠APC＝70°时，如答图③，∵∠CPB5＝180°－∠APC＝180°－70°＝110°，∴∠CB5P＝＝35°.综上所述，符合条件的∠CBP的度数为35°，50°，80°，20°.【针对训练】1．阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形，菱形都是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°.若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB＝BC，请画出图形并求出∠ABC的度数．解：∵AC是四边形ABCD的和谐线，∴△ACD是等腰三角形，在等腰Rt△ABD中，∵AB＝AD，∴AB＝AD＝BC，如图①，当AD＝AC时，∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC，∴△ABC是正三角形，∴∠ABC＝60°.9\n如图②，当AD＝CD时，∴AB＝AD＝BC＝CD.∵∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°；如图③，当AC＝CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F.∵AC＝CD，CE⊥AD，∴AE＝AD，∠ACE＝∠DCE.∵∠BAD＝∠AEF＝∠BFE＝90°，∴四边形ABFE是矩形．∴BF＝AE.∵AB＝AD＝BC，∴BF＝BC，∴∠BCF＝30°.∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC.∵AB∥CE，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠ACB＝∠BAC＝∠BCF＝15°，∴∠ABC＝150°，综上所述，∠ABC的度数为60°或90°或150°. 等边三角形的性质和判定【例2】图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②.当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到过点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝6.0dm，CE＝CF＝18.0dm，BC＝2.0dm.(1)求AP长的取值范围；(2)当∠CPN＝60°时，求AP的值．9\n【解析】(1)根据题意，得AC＝CN＋PN，进一步求得AB的长，即可求得AP的取值范围；(2)根据等边△PCN的判定和性质即可求解．【答案】解：(1)∵BC＝2.0dm，AC＝CN＋PN＝12dm，∴AB＝12－2＝10(dm)，∴AP的取值范围为：0dm≤AP≤10dm.(2)∵CN＝PN，∠CPN＝60°，∴△PCN等边三角形，∴CP＝6dm.∴AP＝AC－PC＝12－6＝6(dm)．即当∠CPN＝60°时，AP＝6dm. 【针对训练】2．(2022南充中考)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( D )A．(1，1) B．(，1)C．(，) D．(1，)3．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，DE∥BC.求证：(1)△ADE是等边三角形；(2)AE＝AB.证明：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°.∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∴∠ADE＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AED＝∠ADE，∴△ADE是等边三角形；(2)∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE.∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.9\n∵BD平分∠ABC，∴D是AC的中点(三线合一)，AD＝AC＝AB，∴AE＝AB. 直角三角形的性质及应用【例3】如图，一位同学做了一个斜面装置进行科学实验，△ABC是该装置左视图，∠ACB＝90°，∠B＝15°，为了加固斜面，在斜面AB的中点D处连结一条支撑杆CD，量得CD＝6.(1)求斜坡AB长和∠ADC的度数；(2)该同学想用彩纸装饰实验装置中的△ABC的表面，请你计算△ABC的面积．【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB＝2CD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论；(2)过C作CE⊥AB于E，根据直角三角形的性质得到CE＝CD＝3，由三角形的面积公式即可得到结论．【答案】解：(1)∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AB＝2CD＝2×6＝12.∵CD＝BD，∴∠ADC＝2∠B＝30°；(2)过C作CE⊥AB于E，∵∠ADC＝30°，∴CE＝CD＝3，∴S△ABC＝×12×3＝18.【针对训练】4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，D是边AB的中点，DE⊥AB交AC于点E.求：(1)∠CDE的度数；(2)CE∶EA.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，∴CD＝AD＝BD，∴∠DCA＝∠A＝15°，∴∠BDC＝∠A＋∠DCA＝30°.∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°，∴∠CDE＝90°－30°＝60°；(2)连结BE.∵D为AB中点，DE⊥AB，∴BE＝AE，∴∠EBA＝∠A＝15°，9\n∴∠BEC＝15°＋15°＝30°，∴cos∠BEC＝cos30°＝.∵AE＝BE，∴＝. 线段中垂线的定理及逆定理【例4】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF⊥AD交BC延长线于F.求证：∠FAC＝∠B.【解析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可得AE＝ED，则EF是AD的垂直平分线，又∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA＝∠B＋∠BAD，即可证得．【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.∴∠EDA＝∠EAD，∴AE＝ED.又∵EF⊥AD，∴EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠FDA.又∵∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA＝∠B＋∠BAD，∴∠FAC＝∠B.【针对训练】5．(德州中考)如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为( A )A．65° B．60°C．55°D．45°,当堂过关检测)1.(2022荆州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( B ) A．30°B．45°C．50°D．75°9\n,(第1题图)) ,(第2题图))2．(2022滨州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( B )A．40°B．36°C．30°D．25°3．(淮安中考)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是__10__．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E.(1)若BC＝3，AC＝4，求CD的长；(2)求证：∠1＝∠2.解：(1)∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝＝5.∵CD是AB边上的中线，∴CD＝AB＝2.5；(2)∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵DE⊥AB，∴∠A＋∠1＝90°，∴∠B＝∠1.∵CD是AB边上的中线，∴BD＝CD，∴∠B＝∠2，∴∠1＝∠2.9
