4.4 相似三角形[过关演练] (40分钟 90分)1.已知ab=23,那么aa+b的值为(B)A.13B.25C.35D.34【解析】因为ab=23,设a=2k,则b=3k,则原式=2k2k+3k=25.2.若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则对应高的比为(A)A.3∶2B.3∶5C.9∶4D.4∶9【解析】因为△ABC∽△DEF,根据相似三角形的性质“相似三角形对应高之比等于相似比”可得对应高的比为3∶2.3.如图,AD∥BE∥CF,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=1,BC=3,DE=2,则EF的长为(C)A.4B.5C.6D.8【解析】∵AD∥BE∥CF,∴ABBC=DEEF,∵AB=1,BC=3,DE=2,∴13=2EF,解得EF=6.4.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA,则△ABC与△DEF的面积之比为(B)A.1∶2B.1∶411\nC.1∶5D.1∶6【解析】∵以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,AD=OA,∴OA∶OD=1∶2,∴△ABC与△DEF的面积之比为1∶4.5.(2022·哈尔滨)如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GE∥BD,且交AB于点E,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是(D)A.ABAE=AGADB.DFCF=DGADC.FGAC=EGBDD.AEBE=CFDF【解析】∵GE∥BD,GF∥AC,∴△AEG∽△ABD,△DFG∽△DCA,∴AEAB=AGAD,DGDA=DFDC,∴AEBE=AGDG=CFDF.6.(2022·浙江绍兴)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置BD绕点O旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(C)A.0.2mB.0.3mC.0.4mD.0.5m【解析】∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABO=∠CDO=90°,又∵∠AOB=∠COD,∴△ABO∽△CDO,则AOCO=ABCD,∵AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,∴41=1.6CD,解得CD=0.4m.7.将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠,使点C落在AB边上的点D,折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B,D,F为顶点的三角形与△ABC相似,那么CF的长度是(D)A.2B.125或2C.127D.127或2【解析】∵△ABC沿EF折叠,点C和点D重合,∴FD=CF,设CF=x,则BF=4-x,以点B,D,F为顶点的三角形与△ABC相似,分两种情况:①若∠BFD=∠C,则△BDF∽△BAC,FDBF=ACBC,即11\nx4-x=34,解得x=127;②若∠BFD=∠A,则△BDF∽△BCA,FDBF=ACAB=1,即x4-x=1,解得x=2.综上,CF的长为127或2.8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,E,F为线段AB上两动点,且∠ECF=45°,过点E,F分别作BC,AC的垂线相交于点M,垂足分别为H,G.现有以下结论:①AB=2;②当点E与点B重合时,MH=12;③AF+BE=EF;④MG·MH=12.其中正确的是(C)A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④【解析】由题意知,△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC2+BC2=2,故①正确;如图1,当点E与点B重合时,点H与点B重合,∴MB⊥BC,∠MBC=90°,∵MG⊥AC,∴∠MGC=90°=∠ACB=∠MBC,∴MG∥BC,四边形MGCB是矩形,∴MH=MB=CG,∵∠ECF=45°=∠ABC,∠A=∠ACF=45°,∴CF=AF=BF,∴FG是△ACB的中位线,∴MH=GC=12AC=12,故②正确;如图2所示,∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠A=∠5=45°,将△ACF绕点C顺时针旋转90°至△BCD,则CF=CD,∠1=∠4,∠6=∠A=45°,BD=AF,∵∠2=45°,∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°,∴∠DCE=∠2,在△ECF和△ECD中,CF=CD,∠2=∠DCE,CE=CE,∴△ECF≌△ECD(SAS),∴EF=DE.∵∠5=45°,∴∠EBD=90°,∴DE2=BD2+BE2,即EF2=AF2+BE2,故③错误;如图2,∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE,又∵∠A=∠5=45°,∴△ACE∽△BFC,∴AEBC=ACBF,∴AE·BF=AC·BC=1,由题意知四边形CHMG是矩形,∴MG∥BC,MH=CG,MH∥AC,∴CHBC=AEAB,CGAC=BFAB,即MG1=AE2,MH1=BF2,∴MG=22AE,MH=22BF,∴MG·MH=22AE×22BF=12AE·BF=12AC·BC=12,故④正确.9.已知线段a,b,c,其中a=4,c=9,那么a和c的比例中项b= 6 . 【解析】∵b是a,c的比例中项,∴b2=ac,即b2=36,∴b=6(负数舍去).11\n10.如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件 本题答案不唯一,如∠A=∠BDF,∠A=∠BFD,∠ADE=∠BFD,∠ADE=∠BDF,DF∥AC,BDAE=BFED,BDDE=BFAE ,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个) 【解析】∵AC=3AD,AB=3AE,∴ADAC=AEAB=13,又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,∴∠AED=∠B.故要使△FDB与△ADE相似,只需再添加一组对应角相等,或夹角的两边对应成比例即可.11.如图,在△ABC中,D是AB的中点,点E在BC的延长线上,且BC=CE,连接DE交AC于点F,则AF∶CF= 2∶1 . 【解析】取DE的中点G,连接CG,∵BC=CE,∴CG∥AB,BD∶CG=2∶1,∵BD=AD,∴AD∶CG=2∶1,又△ADF∽△CGF,∴AF∶CF=2∶1.12.(2022·山东泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步面见木?”用今天的话说,大意是:如图,四边形DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门H位于GD的中点,南门K位于ED的中点,出东门15步的A处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)?请你计算KC的长为 20003 步. 【解析】DH=100,DK=100,AH=15,∵AH∥DK,∴∠CDK=∠A,而∠CKD=∠AHD,∴△CDK∽△DAH,∴CKDH=DKAH,即CK100=10015,∴CK=20003.13.(8分)如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,点E在边BC的延长线上,且OE=OB,连接DE.(1)求证:DE⊥BE;(2)如果OE⊥CD,求证:BD·CE=CD·DE.解:(1)∵OB=OE,∴∠OEB=∠OBE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,∴OD=OE,∴∠OED=∠ODE.∵在△BED中,∠OEB+∠OBE+∠OED+∠ODE=180°,11\n∴∠OEB+∠OED=90°,即∠BED=90°,∴DE⊥BE.(2)设OE交CD于点H.∵OE⊥CD于点H,∴∠CHE=90°,∴∠CEH+∠HCE=90°,∴∠CDE=∠CEH.∵∠OEB=∠OBE,∴∠OBE=∠CDE.在△CED与△DEB中,∠CED=∠DEB,∠CDE=∠DBE,∴△CED∽△DEB,∴CEDE=CDDB,即BD·CE=CD·DE.14.(10分)已知Rt△ABC中,∠B=90°,AC=20,AB=10,P是边AC上一点(不包括端点A,C),过点P作PE⊥BC于点E,过点E作EF∥AC,交AB于点F.设PC=x,PE=y.(1)求y与x的函数关系式.(2)是否存在点P使△PEF是直角三角形?若存在,求此时的x的值;若不存在,请说明理由.解:(1)在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=20,AB=10,∴sinC=12,∵PE⊥BC于点E,∴sinC=PEPC=12,∵PC=x,PE=y,∴y=12x(0<x<20).(2)存在点P使△PEF是直角三角形.①如图1,当∠FPE=90°时,四边形PEBF是矩形,BF=PE=12x,四边形APEF是平行四边形,AF=PE=12x,∵BF+AF=AB=10,∴x=10.11\n②如图2,当∠PFE=90°时,Rt△APF∽Rt△ABC,∴∠AFP=∠C=30°,∴AF=40-2x,平行四边形AFEP中,AF=PE,∴40-2x=12x,解得x=16.③当∠PEF=90°时,此时不存在符合条件的Rt△PEF.综上,当x=10或x=16时,存在点P使△PEF是直角三角形.15.(10分)(2022·浙江宁波)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;(2)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC.求证:△ABC是比例三角形.(3)如图2,在(2)的条件下,当∠ADC=90°时,求BDAC的值.解:(1)∵△ABC是比例三角形,且AB=2,BC=3,①当AB2=BC·AC时,得4=3AC,解得AC=43;②当BC2=AB·AC时,得9=2AC,解得AC=92;③当AC2=AB·BC时,得AC2=6,解得AC=6(负值舍去).所以当AC=43或92或6时,△ABC是比例三角形.(2)∵AD∥BC,∴∠ACB=∠CAD,又∵∠BAC=∠ADC,∴△ABC∽△DCA,∴BCCA=CAAD,即CA2=BC·AD,∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD,∴CA2=BC·AB,∴△ABC是比例三角形.(3)过点A作AH⊥BD于点H,∵AB=AD,∴BH=12BD,∵AD∥BC,∠ADC=90°,∴∠BCD=90°,∴∠BHA=∠BCD=90°,又∵∠ABH=∠DBC,∴△ABH∽△DBC,∴ABDB=BHBC,即AB·BC=BH·DB,∴AB·BC=12BD2,11\n又∵AB·BC=AC2,∴12BD2=AC2,∴BDAC=2.16.(10分)如图1,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A,B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”.【试题再现】如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,直角顶点C在直线DE上,分别过点A,B作AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E.求证:△ADC∽△CEB.【问题探究】在图1中,若∠A=∠B=∠DEC=40°,试判断点E是否为四边形ABCD的边AB上的“相似点”,并说明理由.【深入探究】如图3,AD∥BC,DP平分∠ADC,CP平分∠BCD交DP于点P,过点P作AB⊥AD于点A,交BC于点B.(1)请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个“强相似点”;(2)若AD=3,BC=5,试求AB的长.解:【试题再现】∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∵AD⊥DE,∴∠ACD+∠CAD=90°,∴∠BCE=∠CAD,∵∠ADC=∠CEB=90°,∴△ADC∽△CEB.【问题探究】点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”.理由:∵∠DEC=40°,∴∠DEA+∠CEB=140°.∵∠A=40°,∴∠ADE+∠AED=140°,∴∠ADE=∠CEB,又∵∠A=∠B,∴△ADE∽△BEC,∴点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”.【深入探究】(1)∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°,∵DP平分∠ADC,CP平分∠BCD,∴∠CDP+∠DCP=12(∠ADC+∠BCD)=90°,∵DA⊥AB,∴CB⊥AB,∴∠DPC=∠A=∠B=90°,∵∠ADP=∠CDP,∴△ADP∽△PDC,同理△BPC∽△PDC,∴△ADP∽△PDC∽△BPC,即点P是四边形ABCD的边AB上的一个“强相似点”.(2)过点P作PE⊥DC于点E,过点D作DF⊥BC于点F,则四边形ABFD是矩形,∴DF=AB,∵∠ADP=∠EDP,∠DAP=∠DEP=90°,DP=DP,11\n∴△ADP≌△EDP,∴AD=DE,同理△CBP≌△CEP,∴BC=EC,∴DC=AD+BC=8.在Rt△CDF中,CF=BC-BF=BC-AD=5-3=2,由勾股定理得DF=82-22=215,∴AB=215.[名师预测]1.如图,△DEF是由△ABC经过位似变换得到的,点O是位似中心,D,E,F分别是OA,OB,OC的中点,则△DEF与△ABC的面积比是(B)A.1∶2B.1∶4C.1∶5D.1∶6【解析】∵D,F分别是OA,OC的中点,∴DF=12AC,∴△DEF与△ABC的相似比是1∶2,∴△DEF与△ABC的面积比是1∶4.2.如图,已知在▱ABCD中,E为AD的中点,CE的延长线交BA的延长线于点F,则下列选项中的结论错误的是(C)A.FA∶FB=1∶2B.AE∶BC=1∶2C.BE∶CF=1∶2D.S△ABE∶S△FBC=1∶4【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB,CD=AB,∴△DEC∽△AEF,∴CDAF=CEEF=DEAE,∵E为AD的中点,∴CD=AF,FE=EC,∴FA∶FB=1∶2,故A正确;∵FE=EC,FA=AB,∴AE∶BC=1∶2,故B正确;∵∠FBC不一定是直角,∴BE∶CF不一定等于1∶2,故C错误;∵AE∥BC,AE=12BC,∴S△FAE∶S△FBC=1∶4,∵S△FAE=S△ABE,∴S△ABE∶S△FBC=1∶4,故D正确.3.如图,在▱ABCD中,点F是BD的一个四等分点,EC交对角线BD于点F,S1,S2分别表示三角形DEF和四边形ABFE的面积,则S1∶S2等于(C)A.1∶9B.1∶10C.1∶11D.1∶12【解析】∵点F是BD的一个四等分点,∴DF∶FB=1∶3.由AD∥BC得△DEF∽△BCF,∴S1=19S△CFB=19×34S△BCD=112S△BCD=112S△ABD,S2=S△ABD-S1=1112S△ABD,∴S1∶S2=1∶11.4.一副三角板按如图所示叠放在一起,则CO∶OB= 3∶1 . 11\n【解析】设BD=x,则AD=2x,在Rt△ABD中,由勾股定理得AB=(2x)2-x2=3x=AC,又AC∥BD,∴△AOC∽△DOB,∴COOB=ACBD=3xx=3.5.已知在平面直角坐标系中,点A(0,3),B(-6,0).连接AB,作直线y=1,交AB于点P1,过点P1作P1Q1⊥x轴于点Q1;连接AQ1,交直线y=1于点P2,作P2Q2⊥x轴于点Q2;…,以此类推.则点Q3的坐标为 -169,0 ;△PnQnA的面积为 2n3n-1 .(用含n的代数式表示) 【解析】∵点A(0,3),B(-6,0),直线y=1交AB于点P1,∴OA=3,OB=6,P1Q1=P2Q2=P3Q3=1,∵P1Q1⊥x轴于点Q1,P2Q2⊥x轴于点Q2,…,∴P1Q1∥P2Q2∥P3Q3∥…∥PnQn∥y轴,∴△BP1Q1∽△BAO,△P2Q1Q2∽△AQ1O,△P3Q2Q3∽△AQ2O,…,∴P1Q1OA=BQ1OB,P2Q2OA=Q1Q2OQ1,P3Q3OA=Q2Q3OQ2,…,∴BQ1=2,Q1Q2=43,Q2Q3=89,…,∴Q1(-4,0),Q2-83,0,Q3-169,0,…,即Q1-2230,0,Q2-2331,0,Q3-2432,0,…,∴Qn-1-2n3n-2,0,Qn-2n+13n-1,0,∵S△P1Q1A=12·P1Q1·OQ1=12OQ1=12×4=2,同理可得S△P2Q2A=12·OQ2=43,∴S△PnQnA=12·OQn=2n3n-1.6.在△ABC中,AC=4,AB=5,BC=6,P是BC上一点,且BP=2.过点P画直线PE交△ABC的另一边于点E,使截得的三角形与△ABC相似,则线段PE的长为 43或85或103 . 【解析】分三种情况:①当PE1∥CA时,△BPE1∽△BCA,∴BPBC=PE1AC,∴26=PE14,∴PE1=43;②当∠BPE2=∠A时,△BPE2∽△BAC,∴BPAB=PE2AC,∴25=PE24,∴PE2=85;③当PE3∥AB时,△CPE3∽△CBA,∴CPBC=PE3AB,∴46=PE35,∴PE3=103.综上,PE的值为43或85或103.11\n7.已知在正方形ABCD中,AB=4,E为CD边的中点,F为AD边的中点,AE交BD于点G,交BF于点H,连接DH.(1)求证:BG=2DG;(2)求AH∶HG∶GE的值;(3)求BHHD的值.解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,AB=CD,DE=CE,∴△ABG∽△EDG,∴DEAB=DGBG=12,∴BG=2DG.(2)∵AB∥CD,AB=CD,DE=CE,∴△ABG∽△EDG,∴DEAB=DGBG=EGAG=12,在Rt△ADE中,∵AD=4,DE=2,∴AE=25,∴EG=253,同理可得BF=25,∵AB=AD,∠BAF=∠ADE,AF=DE,∴△BAF≌△ADE,∴∠ABF=∠DAE,∵∠DAE+∠BAH=90°,∴∠ABF+∠BAH=90°,∴∠AHB=90°,∴AE⊥BF,∴AH=AB·AFBF=4×225=455,∴HG=25-455-253=8515,∴AH∶HG∶GE=455∶8515∶253=6∶4∶5.(3)作DM⊥AE于点M.由(2)可知DM=AH=455,∴EM=DE2-DM2=255,∴HM=EH-EM=455,∴DH=4105,∵BH=AB2-AH2=855,11\n∴BHHD=8554105=2.11
