第二讲 空间与图形第四章 三角形4.1 线、角、相交线与平行线 学用P37[过关演练] (30分钟 85分)1.如图,AB=12,C为AB的中点,点D在线段AC上,且AD∶CB=1∶3,则DB的长度为(D)A.4B.6C.8D.10【解析】∵C为AB的中点,∴AC=BC=12AB=12×12=6,∵AD∶CB=1∶3,∴AD=2,∴DB=AB-AD=12-2=10.2.下列命题的逆命题成立的是(A)A.两直线平行,同旁内角互补B.若两个数相等,则这两个数的绝对值也相等C.对顶角相等D.如果a=b,那么a2=b2【解析】A的逆命题是:同旁内角互补,两直线平行,正确;B的逆命题是:如果两个数的绝对值相等,则这两个数相等,逆命题不成立,不符合题意;C的逆命题是:如果两个角相等,则这两个角是对顶角,逆命题不成立,不符合题意;D的逆命题是:如果a2=b2,则a=b,逆命题不成立,不符合题意.3.如图,下列说法错误的是(C)A.若a∥b,b∥c,则a∥cB.若∠1=∠2,则a∥c7\nC.若∠3=∠2,则b∥cD.若∠3+∠5=180°,则a∥c【解析】若a∥b,b∥c,则a∥c,利用了平行于同一条直线的两条直线平行,故A正确;若∠1=∠2,则a∥c,利用了内错角相等,两直线平行,故B正确;若∠3=∠2,不能判断b∥c,故C错误;若∠3+∠5=180°,则a∥c,利用了同旁内角互补,两直线平行,故D正确.4.(2022·山东聊城)如图,直线AB∥EF,点C是直线AB上一点,点D是直线AB外一点,若∠BCD=95°,∠CDE=25°,则∠DEF的度数是(C)A.110°B.115°C.120°D.125°【解析】延长FE交DC于点N,∵直线AB∥EF,∴∠DNF=∠BCD=95°,∵∠CDE=25°,∴∠DEF=95°+25°=120°.5.一个角的余角是这个角的补角的13,则这个角的度数是(B)A.30°B.45°C.60°D.70°【解析】设这个角的度数为x,则余角为90°-x,补角为180°-x,由题意得90°-x=13(180°-x),解得x=45°.6.如图,直线a,b被c,d所截,且c⊥a,c⊥b,∠1=60°,则∠2的度数是(B)A.80°B.60°C.40°D.20°【解析】由c⊥a,c⊥b,可得a∥b,则∠3=∠1=60°,又由对顶角的性质知∠3=∠2,所以∠2=60°.7.(2022·阜阳颍泉区模拟)如图,在A,B两地之间修建一条直线形的公路隧道,在山体一侧的A地测得公路的走向是北偏东80°,即∠α=80°.B点是隧道的另一端.现要求在A,B两地同时施工,那么在B地公路走向应为∠β=(C)A.10°B.80°C.100°D.120°【解析】由方位角知AC∥BD,所以∠α+∠β=180°,则∠β=180°-80°=100°.8.已知命题:“如果m是整数,那么它是有理数.”则它的逆命题为 如果m是有理数,那么它是整数 . 【解析】根据互逆命题的概念,交换这个命题的题设和结论即可.7\n9.(2022·辽宁阜新)如图,已知AB∥CD,点E,F在直线AB,CD上,EG平分∠BEF交CD于点G,∠EGF=64°,那么∠AEF的度数为 52° . 【解析】∵AB∥CD,∠EGF=64°,∴∠BEG=∠EGF=64°,又∵EG平分∠BEF,∴∠BEF=2∠BEG=128°,∴∠AEF=180°-128°=52°.10.(2022·内蒙古通辽)如图,∠AOB的一边OA为平面镜,∠AOB=37°45',在OB边上有一点E,从点E射出一束光线经平面镜反射后,反射光线DC恰好与OB平行,则∠DEB的度数是 75°30'(或75.5°) . 【解析】∵CD∥OB,∴∠ADC=∠AOB,∵∠EDO=∠CDA,∴∠EDO=∠AOB=37°45',∴∠DEB=∠AOB+∠EDO=2×37°45'=75°30'(或75.5°).11.(8分)如图,要从小河引水到村庄A,请设计作出最短路线,并说明理由.解:如图所示.理由:垂线段最短.12.(10分)如图,已知l1∥l2,Rt△ABC的两个顶点A,B分别在直线l1,l2上,∠C=90°,若l2平分∠ABC,交AC于点D,∠1=26°,求∠2的度数.解:∵l1∥l2,∠1=26°,∴∠ABD=∠1=26°,又∵l2平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABD=52°,∵∠C=90°,∴在Rt△ABC中,∠2=90°-∠ABC=38°.13.(12分)如图1,已知CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,∠EAC+∠ACE=90°.(1)请判断AB与CD的位置关系并说明理由.7\n(2)如图2,当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变,移动直角顶点E,使∠MCE=∠ECD,当直角顶点E点移动时,问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由.(3)如图3,P为线段AC上一定点,点Q为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持不变,当点Q在射线CD上运动时(点C除外),∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系?猜想结论并说明理由.解:(1)AB∥CD.理由:∵CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,∴∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE,∵∠EAC+∠ACE=90°,∴∠BAC+∠ACD=180°,∴AB∥CD.(2)∠BAE+12∠MCD=90°.理由:过点E作EF∥AB交CM于点F,∵AB∥CD,∴EF∥AB∥CD,∴∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE,∵∠AEC=90°,∴∠BAE+∠ECD=90°,∵∠MCE=∠ECD,∴∠BAE+12∠MCD=90°.(3)∠BAC=∠CQP+∠CPQ.理由:∵AB∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°,∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°,∴∠BAC=∠PQC+∠QPC.14.(12分)【探究猜想】已知AB∥CD,点E是AB,CD内部一点,如图1,连接EA,EC.猜想∠AEC,∠EAB,∠ECD之间的数量关系,并说明理由.解:∠AEC=∠EAB+∠ECD.理由:过点E作EM∥AB.(请完成后面的说理过程)【类比探究】已知AB∥CD,点F是AB,CD内部一点,如图2,连接FA,FC.猜想∠AFC,∠FAB,∠FCD之间的数量关系,并说明理由.解:【探究猜想】∴∠EAB=∠AEM,∵AB∥CD,∴EM∥CD,∴∠MEC=∠ECD,∴∠AEC=∠AEM+∠MEC=∠EAB+∠ECD.【类比探究】∠FAB+∠AFC+∠FCD=360°.理由:过点F作FN∥AB(其中点N在点F的右侧),∴∠FAB+∠AFN=180°,∵AB∥CD,∴FN∥CD,∴∠NFC+∠FCD=180°,∴∠FAB+∠AFN+∠NFC+∠FCD=360°.∵∠AFC=∠AFN+∠NFC,∴∠FAB+∠AFC+∠FCD=360°.7\n[名师预测]1.如图,直线l1与l2相交于点O,OM⊥l1,若∠α=40°,则∠β等于(B)A.40°B.50°C.60°D.65°【解析】∠β=180°-90°-∠α=50°.2.将一副直角三角板按如图方式放置,使直角顶点C重合,当DE∥BC时,∠α的度数是(A)A.105°B.115°C.95°D.110°【解析】∵DE∥BC,∴∠DCB=∠D=45°,∴∠α=∠DCB+∠B=45°+60°=105°.3.如图所示,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在点D',C'的位置.若∠EFB=65°,则∠AED'等于(C)A.70°B.65°C.50°D.25°【解析】∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB=65°,又由折叠的性质可得∠D'EF=∠DEF=65°,∴∠AED'=180°-65°-65°=50°.4.如图,小军从A处出发沿北偏东65°方向行走至B处,又沿北偏西20°方向行走至C处,此时需把方向调整到与出发时一致,则方向的调整应是(D)A.左转95°B.右转95°C.左转85°D.右转85°【解析】过点C作CD∥AB(其中点D在点C的左侧),∵∠A=65°,∴∠ABC=180°-20°-65°=95°.∵AB∥CD,∴∠DCB=180°-∠ABC=85°,∴要把方向调整到与出发时一致,则方向的调整应是右转85°.5.如图,直线a∥b,将一个含30°角的直角三角尺按如图所示的位置摆放,若∠1=58°,则∠2= 32° . 7\n【解析】过直角顶点作直线a的平行线,利用平行线的性质易证∠2+∠1=90°.∵∠1=58°,∴∠2=90°-∠1=32°.6.如图,DA⊥CE于点A,CD∥AB,∠1=30°,则∠D= 60° . 【解析】∵DA⊥CE,∴∠DAE=90°,∵∠EAB=30°,∴∠BAD=60°,又∵AB∥CD,∴∠D=∠BAD=60°.7.下列四个命题:①若a>b,则ac>bc;②垂直于弦的直径平分弦;③平行四边形的对角线互相平分;④反比例函数y=kx,当k<0时,y随x的增大而增大.其中是真命题的有 ②③ .(填序号) 【解析】对于①,当c<0时,命题不成立,故①是假命题;对于④,当k<0时,在每个象限内,y随x的增大而增大,故④是假命题;而②③中的命题都是真命题.8.取一张长方形的纸片,按如图的方法折叠,然后回答问题.(1)分别写出∠1与∠AEC,∠2与∠FEB之间所满足的等量关系;(2)写出∠1与∠2之间所满足的等量关系,并说明理由;(3)AE与EF垂直吗?为什么?解:(1)∠1与∠AEC互补,∠2与∠FEB互补.(2)∠1+∠2=90°.理由:根据折叠的性质可知,∠1=∠AEB',∠2=∠FEC',∵∠1+∠AEB'+∠2+∠FEC'=180°,∴2(∠1+∠2)=180°,即∠1+∠2=90°.(3)AE与EF垂直.理由:由(2)知∠1+∠2=90°,∴∠AEF=90°,∴AE与EF垂直.9.已知直线AB∥CD,直线MN分别交AB,CD于点E,F,点P为射线EF上的点,点Q为CD上一点,已知∠MEB=α(90°<α<180°),(1)如图1,点P在线段EF上,点Q在点F的左侧,∠DFN比∠MEB小20°,若∠PQF为∠MEB的一半,求∠EPQ的度数;(2)如图2,EH平分∠AEF交CD于点H,若PQ∥EH,求∠EPQ;(用含α的式子表示)(3)如图3,EH平分∠AEF交CD于点H,∠PQF比∠EHF小20°,若∠MEB=100°,求∠EPQ的度数.7\n解:(1)∵AB∥CD,∴∠DFN=∠BEN,又∵∠DFN比∠MEB小20°,∴∠BEN比∠MEB小20°,又∵∠BEM+∠BEN=180°,∴∠BEM=100°,∠BEN=80°,∴∠PFQ=∠BEN=80°,又∵∠PQF为∠MEB的一半,∴∠PQF=50°,∴∠EPQ=∠PQF+∠PFQ=50°+80°=130°.(2)∵HE平分∠AEF,∠AEF=∠BEM=α,∴∠HEF=12∠AEF=12α,∵EH∥PQ,∴∠EPQ=∠HEF=12α.(3)∵AB∥CD,∴∠MFQ=∠MEB=100°,∵HE平分∠AEF,∴∠AEH=12∠AEF=50°,∴∠EHF=∠AEH=50°,∴∠PQF=∠EHF-20°=30°,∴∠EPQ=∠MFQ-∠PQF=100°-30°=70°7
