4.2 三角形[过关演练] (30分钟 75分)1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C=(C)A.45°B.60°C.75°D.90°【解析】∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∴设∠A=3x,则∠B=4x,∠C=5x,∴3x+4x+5x=180°,即12x=180°,解得x=15°,∴∠C=5x=75°.2.下列长度的三条线段能组成三角形的是(A)A.5,6,10B.5,6,11C.2,4,8D.4a,4a,8a(a>0)【解析】A项,∵10-5<6<10+5,∴三条线段能组成三角形,故正确;B项,∵5+6=11,∴三条线段不能组成三角形;C项,∵2+4=6<8,∴三条线段不能组成三角形;D项,∵4a+4a=8a,∴三条线段不能组成三角形.3.一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3,则这个三角形一定是(B)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形【解析】设三角形三个内角分别为x,2x,3x,则x+2x+3x=180°,解得x=30°,则3x=90°,所以该三角形是直角三角形.4.如图,下列条件中,不能证明△ABC≌△DCB的是(D)A.AB=DC,AC=DBB.AB=DC,∠ABC=∠DCBC.BO=CO,∠A=∠DD.AB=DC,∠A=∠D【解析】对于A项,由题中隐含BC=CB,利用SSS可判定其全等;对于B项,由题中隐含BC=CB,利用SAS可判定其全等;对于C项,由题中隐含BC=CB,利用AAS可判定其全等;对于D项,根据已知条件不能证明其全等.7\n5.(2022·长春)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A=54°,∠B=48°,则∠CDE的大小为(C)A.44°B.40°C.39°D.38°【解析】∵∠A=54°,∠B=48°,∴∠ACB=180°-54°-48°=78°,∵CD平分∠ACB交AB于点D,∴∠DCB=12×78°=39°,∵DE∥BC,∴∠CDE=∠DCB=39°.6.(2022·南京)如图,AB⊥CD,且AB=CD.E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为(D)A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c【解析】∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,∴∠A=∠C,∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,BF=DE=b,∵EF=c,∴AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.7.已知a,b,c是△ABC的三条边长,化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为(D)A.2a+2b-2cB.2a+2bC.2cD.0【解析】根据三角形三边满足的条件:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,即可确定a+b-c>0,c-a-b<0,所以|a+b-c|-|c-a-b|=a+b-c+c-a-b=0.8.如图,有一张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=x°,按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开,可能得不到全等三角形纸片的是(C)【解析】由全等三角形的判定定理SAS证得选项A中两个小三角形全等,故A不符合题意;由全等三角形的判定定理SAS证得选项B中两个小三角形全等,故B不符合题意;选项D中能判定两个小三角形全等,故D不符合题意.9.小明把一副含45°,30°的直角三角板如图摆放,其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠α+∠β等于 210° . 7\n【解析】∵∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,∴∠B=45°,∠E=60°,∴∠2+∠3=120°,∴∠α+∠β=∠A+∠1+∠4+∠B=∠A+∠B+∠2+∠3=90°+120°=210°.10.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC.若AC=6,则四边形ABCD的面积为 18 . 【解析】过点A作AE⊥AC交CD的延长线于点E,∴∠CAE=∠BAD=90°,即∠CAD+∠DAE=∠CAD+∠BAC,∴∠DAE=∠BAC,又∵∠ADE+∠ADC=180°,∠ADC+∠B=360°-∠BAD-∠BCD=180°,∴∠ADE=∠B,又∵AB=AD,∴△AED≌△ACB,∴AE=AC=6,且四边形ABCD的面积等于△ACE的面积,即四边形ABCD的面积=12AC×AE=12×6×6=18.11.在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是△ABC的中线,设AD长为m,则m的取值范围是 1<m<4 . 【解析】延长AD至点E,使DE=AD,连接EC,∵BD=CD,DE=AD,∠ADB=∠EDC,∴△ABD≌△ECD,∴CE=AB=5,∵AC=3,AE=2AD=2m,∴2<2m<8,∴1<m<4.12.(8分)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2.求证:BC=DE.解:∵∠1=∠2,∴∠DAC+∠1=∠2+∠DAC,∴∠BAC=∠DAE,在△ABC和△ADE中,∠B=∠D,AB=AD,∠BAC=∠DAE,∴△ADE≌△ABC(ASA),∴BC=DE.13.(10分)(2022·阜阳模拟)如图,AD与BC相交于点F,FA=FC,∠A=∠C,点E在BD的垂直平分线上.(1)如图1,求证:∠FBE=∠FDE;7\n(2)如图2,连接CE分别交BD,AD于点H,G,当∠FBD=∠DBE=∠ABF,CD=DE时,直接写出所有与△ABF全等的三角形.解:(1)在△BAF和△DCF中,∠A=∠C,FA=FC,∠AFB=∠CFD,∴△BAF≌△DCF(ASA),∴BF=DF,∴∠FBD=∠FDB,又∵点E在BD的垂直平分线上,∴EB=ED,∴∠EBD=∠EDB,∵∠FBE=∠FBD+∠EBD,∠FDE=∠FDB+∠EDB,∴∠FBE=∠FDE.(2)△HBE,△CDF,△DCH,△GED.14.(10分)操作示例如图1,在△ABC中,AD为BC边上的中线,则S△ABD=S△ADC.实践探究(1)在图2中,E,F分别为矩形ABCD的边AD,BC的中点,则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为 ; (2)在图3中,E,F分别为平行四边形ABCD的边AD,BC的中点,则S阴和S▱ABCD之间满足的关系式为 ; (3)在图4中,E,F分别为任意四边形ABCD的边AD,BC的中点,则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为 . 解决问题(4)在图5中,E,G,F,H分别为任意四边形ABCD的边AD,AB,BC,CD的中点,并且图中阴影部分的面积为20平方米,求图中四个小三角形的面积和,即S1+S2+S3+S4= 平方米. 解:(1)连接BD,∵E,F分别为AD,BC的中点,∴S△BDE=12S△ABD,S△BDF=12S△BCD,∵S阴=S△BDE+S△BDF,S矩形ABCD=S△ABD+S△BCD,∴S阴=12S矩形ABCD.(2)连接BD,∵E,F分别为AD,BC的中点,7\n∴S△BED=12S△ABD,S△DBF=12S△DBC,∵S阴=S△BED+S△DBF,S▱ABCD=S△ABD+S△DBC,∴S阴=12S▱ABCD.(3)S阴=12S四边形ABCD.(4)设空白处面积分别为x,y,m,n(如图),由“实践探究”得S四边形BEDF=12S四边形ABCD,S四边形AHCG=12S四边形ABCD,∴S△BCG+S△ADH=12S四边形ABCD,S△ABE+S△CDF=12S四边形ABCD,∴S1+x+S2+S3+y+S4=12S四边形ABCD,S1+m+S4+S2+n+S3=12S四边形ABCD,∴(S1+x+S2+S3+y+S4)+(S1+m+S4+S2+n+S3)=S四边形ABCD,∴(S1+x+S2+S3+y+S4)+(S1+m+S4+S2+n+S3)=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S阴,∴S1+S2+S3+S4=S阴=20平方米.[名师预测]1.已知三角形的三边长分别为4,x,15,若x为正整数,则这样的三角形共有(A)A.7个B.6个C.4个D.3个【解析】∵15-4=11,15+4=19,∴11<x<19,∵x为正整数,∴x的可能取值是12,13,14,15,16,17,18,共7个,故这样的三角形共有7个.2.如图,在△ABC中,∠B+∠C=100°,AD是△ABC的角平分线,则∠BAD的度数是(B)A.20°B.40°C.60°D.80°【解析】∵∠B+∠C=100°,根据三角形的内角和定理∠BAC=180°-100°=80°,又∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=12∠BAC=40°.7\n3.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件,使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能为(C)A.BE=DFB.BF=DEC.AE=CFD.∠1=∠2【解析】由AB∥CD,可得∠ABE=∠CDF,而AB=CD,添加选项A的BE=DF,满足SAS;由选项B中BF=DE可得到BE=DF,满足SAS;添加选项D中的∠1=∠2,满足ASA,都能判断△ABE≌△CDF.添加选项C中的AE=CF,不能判断△ABE≌△CDF.4.下列各图中a,b,c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是(B)A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙【解析】在△ABC和图乙的三角形中,满足SAS,所以乙和△ABC全等;在△ABC和图丙的三角形中,满足AAS,所以丙和△ABC全等;不能判定甲与△ABC全等.5.如图,两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起,AB⊥CE,有以下结论:①∠ACH=30°;②△ACH≌△DCG;③F为AB的中点;④CG=EF;⑤AH∶BF∶DE=1∶2∶4.其中错误的结论有(D)A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】∵AB⊥CE,∠A=60°,∴∠ACH=30°,故①正确;∵∠ACB=∠ECD,∴∠ACH=∠DCG,∵∠A=∠D,AC=CD,∴△ACH≌△DCG,故②正确;点F不一定是AB的中点,故③错误;CG不一定等于EF,故④错误;只有F为AB的中点时,AH∶BF∶DE=1∶2∶4成立,故⑤错误.6.如图,已知在△ABC和△BAD中,∠CAB=∠DBA,要使△ABC≌△BAD,需添加的条件是 本题答案不唯一,如CA=DB或∠C=∠D或∠CBA=∠DAB .(写出一个条件即可) 【解析】在△ABC和△BAD中,∠CAB=∠DBA,AB=BA,根据全等三角形的判定定理SAS,ASA,AAS添加条件即可.7.如图,点A,C,D在同一直线上,在△ABC中,∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶5∶10,若△EDC≌△ABC,则∠BCE∶∠BCD= 1∶4 . 【解析】∵∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶5∶10,∴∠ACB=180°×103+5+10=100°,∵△EDC≌△ABC,∴∠ECD=∠ACB=100°,∴∠ECA=180°-∠ECD=180°-100°=80°,∠BCE=∠ACB-∠ECA=100°-80°=20°,∴∠BCD=80°,∴∠BCE∶∠BCD=20°∶80°=1∶4.7\n8.在如图所示的2×2方格中,连接AB,AC,则∠1+∠2的度数为 90° . 【解析】利用网格证明两个三角形全等,得到∠1+∠2=180°-90°=90°.9.如图,CB,CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线,且AC=AB,给出下列结论:①AE=2AC;②CE=2CD;③∠ACD=∠BCE;④CB平分∠DCE.请写出正确结论的序号 ①②④ .(将你认为正确结论的序号都填上) 【解析】根据三角形的中线的概念得AE=2AB=2AC,故①正确;作CE的中点F,连接BF,根据三角形的中位线定理得AC=2BF,又AC=AB=2BD,所以BF=BD.根据三角形的中位线定理得到BF∥AC,则∠CBF=∠ACB=∠ABC.根据SAS得到△BCD≌△BCF,所以CF=CD,即CE=2CD,故②正确;由△BCD≌△BCF得∠BCD=∠BCE,若∠ACD=∠BCE,则需∠ACD=∠BCD,而CD只是△ABC的中线,所以③错误,④正确.10.如图1,AD平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=40°,∠C=70°.(1)求∠DAE的度数;(2)如图2,若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上,FE⊥BC”,其他条件不变,求∠DFE的度数;(3)如图3,若把“AE⊥BC”变成“AE平分∠BEC”,其他条件不变,∠DAE的大小是否变化,并请说明理由.解:(1)∵∠B=40°,∠C=70°,∴∠BAC=70°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=35°,∴∠ADE=∠B+∠BAD=75°,∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°,∴∠DAE=90°-∠ADE=15°.(2)同(1)可得∠ADE=75°,∵FE⊥BC,∴∠FEB=90°,∴∠DFE=90°-∠ADE=15°.(3)∠DAE的大小不变.理由:∵AE平分∠BEC,∴∠AEB=∠AEC,∴∠C+∠CAE=∠B+∠BAE,∵∠CAE=∠CAD-∠DAE,∠BAE=∠BAD+∠DAE,∴∠C+∠CAD-∠DAE=∠B+∠BAD+∠DAE,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴2∠DAE=∠C-∠B=30°,∴∠DAE=15°7
