4.3 特殊三角形[过关演练] (30分钟 80分)1.(2022·浙江湖州)如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是(B)A.20°B.35°C.40°D.70°【解析】∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,∴∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=12(180°-∠CAB)=70°.∵CE是△ABC的角平分线,∴∠ACE=12∠ACB=35°.2.(2022·江苏宿迁)若实数m,n满足等式|m-2|+n-4=0,且m,n恰好是等腰△ABC的两条边的边长,则△ABC的周长是(B)A.12B.10C.8D.6【解析】∵|m-2|+n-4=0,∴m-2=0,n-4=0,解得m=2,n=4,当m=2作腰时,三边为2,2,4,不符合三边关系定理;当n=4作腰时,三边为2,4,4,符合三边关系定理,周长为2+4+4=10.3.(2022·长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为(A)A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米【解析】∵52+122=132,∴三条边长分别为5里,12里,13里,构成了直角三角形,∴这块沙田面积为12×5×500×12×500=7500000(平方米)=7.5(平方千米).8\n4.(2022·陕西)如图,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为(C)A.423B.22C.823D.32【解析】∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°.在Rt△ADC中,AC=8,∠C=45°,∴AD=CD,∴AD=22AC=42.在Rt△ADB中,AD=42,∠ABD=60°,∴BD=33AD=463.∵BE平分∠ABC,∴∠EBD=30°.在Rt△EBD中,BD=463,∠EBD=30°,∴DE=33BD=423,∴AE=AD-DE=823.5.若等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,则该等腰三角形的底边长为(A)A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm【解析】(1)若底边长为2cm,则腰长为(10-2)÷2=4(cm),4+2>4,符合三角形三边关系,所以该等腰三角形的底边长为2cm;(2)若腰长为2cm,则底边长为10-2×2=6(cm),2+2<6,不符合三角形三边关系,所以该等腰三角形的底边长为6cm应舍去.6.如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则△BDC的周长是(C)A.8B.9C.10D.11【解析】∵AB的垂直平分线交AC于点D,∴AD=BD,∴△BDC的周长=BD+BC+CD=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是(B)A.BCB.CEC.ADD.AC【解析】由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B与点C关于直线AD对称,连接CP,则BP=CP,所以BP+EP=CP+EP≥CE,所以BP+EP的最小值为CE.8\n8.(2022·山东东营)如图,点E在△DBC的边DB上,点A在△DBC的内部,∠DAE=∠BAC=90°,AD=AE,AB=AC.给出下列结论:①BD=CE;②∠ABD+∠ECB=45°;③BD⊥CE;④BE2=2(AD2+AB2)-CD2.其中正确的是(A)A.①②③④B.②④C.①②③D.①③④【解析】∵∠DAE=∠BAC=90°,∴∠DAB=∠EAC,∵AD=AE,AB=AC,∴△DAB≌△EAC,∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,故①正确;∴∠ABD+∠ECB=∠ACE+∠ECB=∠ACB=45°,故②正确;∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°,∴∠CEB=90°,即CE⊥BD,故③正确;∴BE2=BC2-EC2=2AB2-(CD2-DE2)=2AB2-CD2+2AD2=2(AD2+AB2)-CD2,故④正确.9.(2022·贵州遵义)如图,在△ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点.若∠CAE=16°,则∠B的度数为 37° . 【解析】∵AD=AC,点E是CD的中点,∴AE⊥CD,∴∠AEC=90°,∴∠C=90°-∠CAE=74°,∵AD=AC,∴∠ADC=∠C=74°,∵AD=BD,∴2∠B=∠ADC=74°,∴∠B=37°.10.如图,把等边△ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DP⊥BC,若BP=4cm,则EC= 2+23 cm. 【解析】根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得DP=43.根据折叠的性质可得∠DPE=∠A=60°,DA=DP=43,易得∠EPC=30°,∠PEC=90°,所以EC=12PC=12(8+43-4)=2+23.11.如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为 23或27或2 . 【解析】当∠APB=90°时,①如图1,∵AO=BO,∴PO=BO,∵∠AOC=60°,∴∠BOP=60°,∴△BOP为等边三角形,∵AB=BC=4,∴AP=AB·sin60°=4×32=23;8\n②如图2,∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=AO,∵∠AOC=60°,∴△AOP为等边三角形,∴AP=AO=2.当∠ABP=90°时,如图3,∵∠AOC=∠BOP=60°,∴∠BPO=30°,∴BP=OBtan30°=233=23,在Rt△ABP中,AP=(23)2+42=27.综上,AP的长为23或27或2.12.(2022·云南)在△ABC中,AB=34,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为 9或1 . 【解析】有两种情况:①如图1,∵AD是△ABC的高,∴∠ADB=∠ADC=90°,由勾股定理得BD=AB2-AD2=(34)2-32=5,CD=AC2-AD2=52-32=4,∴BC=BD+CD=5+4=9;②如图2,同理得CD=4,BD=5,∴BC=BD-CD=5-4=1.综上,BC的长为9或1.13.(8分)(2022·合肥庐阳区一模)《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何”.大意是说,已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为7,乙的速度为3.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲、乙各走了多远?解:设经x秒二人在B处相遇,这时乙共行AB=3x,甲共行AC+BC=7x,∵AC=10,∴BC=7x-10,又∵∠A=90°,∴BC2=AC2+AB2,∴(7x-10)2=102+(3x)2,∴x=0(舍去)或x=3.5,∴AB=3x=10.5,AC+BC=7x=24.5.答:甲走了24.5步,乙走了10.5步.14.(10分)在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=25°,求∠CFE的度数.解:(1)∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中,∵AE=CF,AB=CB,8\n∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).(2)由(1)得Rt△ABE≌Rt△CBF,∴∠AEB=∠CFB,BE=BF,∴∠BFE=45°,∵∠ABC=90°,AB=BC,∴∠BCA=45°,又∵∠AEB=45°+∠CAE,∠CFB=45°+∠CFE,∴∠CFE=∠CAE=25°.15.(10分)(1)已知△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE.若∠A=60°(如图1),求证:EB=AD;(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图2),(1)中的结论是否成立,并说明理由;(3)若将(1)中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”,其他条件不变,则EBAD的值是多少?(直接写出结论,不要求写解答过程)解:(1)作DF∥BC交AC于点F.则∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE,∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∴∠DBE=120°,∠ADF=∠AFD=60°=∠A,∴△ADF是等边三角形,AD=DF,∠DFC=120°,∵∠DEC=∠DCE,∴∠FDC=∠DEC,ED=CD,在△DBE和△CFD中,∠DEB=∠FDC,∠DBE=∠CFD=120°,ED=CD,∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∴EB=AD.(2)EB=AD成立.理由:作DF∥BC交AC的延长线于点F,则∠DCE=∠CDF,△ABC与△ADF是等边三角形,∴AD=DF.∵∠DEC=∠DCE,∴DE=CD,∠DEC=∠CDF,又∵∠DBE=∠DFC=60°,∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∴EB=AD.(3)EBAD=2.提示:作DF∥BC交AC于点F.同(1)得△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF.∵△ABC是等腰直角三角形,DF∥BC,∴△ADF是等腰直角三角形,∴DF=2AD,∴DFAD=2,∴EBAD=2.[名师预测]1.等边三角形的两条中线相交所成钝角的度数是(B)8\nA.105°B.120°C.135°D.150°【解析】等边三角形的每一个内角都等于60°,而等边三角形的中线就是内角的平分线,所以等边三角形的两条中线相交所成钝角就是等边三角形两个内角平分线相交所成钝角,其度数为180°-30°-30°=120°.2.如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于(A)A.15°B.30°C.45°D.60°【解析】∵等边三角形ABC中,AD⊥BC,∴BD=CD,即AD是BC的垂直平分线,∵点E在AD上,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB,∵∠EBC=45°,∴∠ECB=45°,∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°.3.如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为(B)A.4B.6C.43D.8【解析】∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB,MN∥BC,且MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,∴∠ACB=2∠B,NM=NC,∴∠B=30°,∵AN=1,∴MN=2,∴AC=AN+NC=3,∴BC=6.4.在△ABC中,AB=13cm,AC=20cm,BC边上的高为12cm,则△ABC的面积为(D)A.63cm2B.126cm2C.63cm2或126cm2D.66cm2或126cm2【解析】当∠B为锐角时(如图1),在Rt△ABD中,BD=AB2-AD2=132-122=5,在Rt△ADC中,CD=AC2-AD2=202-122=16,∴BC=21,∴S△ABC=12·BC·AD=12×21×12=126(cm2);当∠B为钝角时(如图2),在Rt△ABD中,BD=AB2-AD2=132-122=5,在Rt△ADC中,CD=AC2-AD2=202-122=16,∴BC=CD-BD=16-5=11,∴S△ABC=12·BC·AD=12×11×12=66(cm2).综上,△ABC的面积为66cm2或126cm2.8\n5.如图,在△ABC中,AB=AC=10,∠BAC的角平分线交BC边于点D,AD=8,则BC= 12 . 【解析】由AB=AC,AD平分∠BAC,根据等腰三角形的性质知AD⊥BC,BD=CD,又由勾股定理得CD=102-82=6,所以BC=2CD=12.6.如图,已知BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,S△ABC=105cm2,AB=18cm,BC=12cm,则DE的长是 7 cm. 【解析】由角平分线的性质知DE=DF,由三角形面积公式知12×18×DE+12×12×DE=105,解得DE=7cm.7.如图,AB=AC=AD=4cm,DB=DC,若∠ABC=60°,则BE= 2cm ,∠ABD= 75° . 【解析】∵AB=AC,∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形,∴BC=4cm,∵AB=AC,DB=DC,∴AE是BC边的垂直平分线,∴BE=12BC=2cm,∠BAD=30°,∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,∴∠ABD=12(180°-∠BAD)=12×(180°-30°)=75°.8.已知两条互不平行的线段AB,A'B'关于直线l对称,AB,A'B'所在的直线交于点P,下面四个结论:①AB=A'B';②点P在直线l上;③若A,A'是对称点,则AA'垂直平分直线l;④若点Q是直线l上任一点,则QB=QB'.其中正确的是 ①②④ .(只填序号) 【解析】由轴对称的性质知AB=A'B',故①正确;点P在直线l上,故②正确;直线l是线段BB'的垂直平分线,所以QB=QB',故④正确;③是错误的.9.如图,一只蜘蛛在等腰Rt△ABC钢梁上织网纲,∠BAC=90°,AB=AC=8,点E在AB上,BE=2,要在顶梁柱AD(中线)上定一点F,从点B到点F拉网纲,再从点F到点E拉网纲.(1)点F在AD(中线)上何处时网纲(BF+FE)最短,并证明.(2)在(1)中,求最短网纲(BF+FE)的长度.8\n(3)在AB上还有点E1,E2,已知BE=EE1=E1E2=E2A=2,现在蜘蛛要在B,E两点之间,E,E1两点之间,E1,E2两点之间都要到顶梁柱AD上定一次点拉网纲,直到点E2结束,求这些网纲之和最短时的长度?解:(1)如图1,作点E关于直线AD的对称点E',连接BE',交AD于点F,点F即为所求.证明:由对称的性质可得EF=FE',此时BE'在一条直线上,在AD上任取一点与点B,E'构成三角形,利用三角形两边之和大于第三边可得BE'最小,即可得出BF+FE最短.(2)如图1,过点E'作E'N⊥BC于点N,∵∠BAC=90°,AB=AC=8,∴BC=82,∵BE=2,则CE'=2,∴E'N=NC=2,∴BN=72,在Rt△BNE'中,BE'=(72)2+(2)2=10.∴最短网纲(BF+FE)的长度为10.(3)如图2,由(2)可得BF+EF=10,同理可得EF1+E1F1=EM=52=213,E1K=E1F2+E2F2=20=25,故这些网纲之和最短时的长度为10+213+25.8
