第五章 四边形5.1 多边形与平行四边形学用P55[过关演练] (40分钟 80分)1.(2022·呼和浩特)已知一个多边形的内角和为1080°,则这个多边形是(B)A.九边形B.八边形C.七边形D.六边形【解析】根据n边形的内角和公式,得(n-2)·180=1080,解得n=8.∴这个多边形的边数是8.2.若一个正n边形的每个内角为144°,则这个正n边形的所有对角线的条数是(A)A.35B.20C.10D.7【解析】∵一个正n边形的每个内角为144°,∴144n=180×(n-2),解得n=10.这个正n边形的所有对角线的条数是n(n-3)2=10×(10-3)2=35.3.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD是平行四边形,可添加的条件不正确的是(B)A.AB=CDB.BC=ADC.∠A=∠CD.BC∥AD【解析】添加A具备“一组对边平行且相等”的条件,能推断为平行四边形,A正确;添加B不能推断为平行四边形,B错误;∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°,又∵∠A=∠C,∴∠C+∠D=180°,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,C正确;添加D,可得四边形ABCD是平行四边形,D正确.4.(2022·浙江宁波)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是CD的中点,连接OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为(B)7\nA.50°B.40°C.30°D.20°【解析】∵∠ABC=60°,∠BAC=80°,∴∠BCA=180°-60°-80°=40°,∵对角线AC与BD相交于点O,E是CD的中点,∴EO是△DBC的中位线,∴EO∥BC,∴∠1=∠ACB=40°.5.如图,在▱ABCD中,∠DAB的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点G,∠ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点H,AG与BH交于点O,连接BE.下列结论错误的是(D)A.BO=OHB.DF=CEC.DH=CGD.AB=AE【解析】∵AH∥CG,∴∠H=∠HBG,∵∠HBG=∠HBA,∴∠H=∠HBA,∴AH=AB,同理AB=BG,AD=DE,BC=CF,∵AD=BC,∴DH=CG,DE=CF,∴DF=CE,故B,C正确;∵AH=AB,AO平分∠HAB,∴BO=HO,故A正确;观察知D项错误.6.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上的一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确的个数为(D)A.1B.2C.3D.4【解析】∵AB∥CD,∴∠ABE=∠BEC.∵BC=EC,∴∠CBE=∠BEC,∴∠CBE=∠ABE,即BE平分∠ABC,故①正确;∵BC=EC,CF⊥BE,∴CF平分∠DCB,故②正确;∵AB∥CD,∴∠DCF=∠CFB,∵∠DCF=∠FCB,∴∠CFB=∠FCB,∴BC=BF,故③正确;∵BC=BF,CF⊥BE,∴BE垂直平分CF,∴PF=PC,故④正确.7.正六边形的每个内角等于 120 °. 【解析】∵多边形的外角和为360°,∴正六边形的每一个外角为60°,∴正六边形的每个内角为180°-60°=120°.8.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带来了两块碎玻璃,其编号应该是 ②③ . 【解析】只有②③两块角的两边互相平行,且中间部分相连,角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点,所以带②③两块碎玻璃,就可以确定平行四边形的大小.7\n9.如图,在▱ABCD中,按以下步骤作图:①以点A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以点M,N为圆心,以大于12MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作射线AP交边CD于点Q.若DQ=2QC,BC=3,则▱ABCD的周长为 15 . 【解析】由作图知,AQ是∠BAD的平分线,∴∠DAQ=∠BAQ,在▱ABCD中,AB∥CD,∴∠DQA=∠BAQ,∴∠DQA=∠DAQ,∴DA=DQ.∵DQ=2QC,BC=3,∴DQ=3,QC=32,∴CD=92,∴▱ABCD的周长为2(BC+CD)=2×3+92=15.10.如图,在▱ABCD中,过对角线BD上一点P作EF∥BC,GH∥AB,且CG=2BG,S△BPG=1,则S▱AEPH= 4 . 【解析】∵EF∥BC,GH∥AB,∴四边形HPFD,BEPG是平行四边形,∴S△BPG=S△BPE=1,S△DPH=S△DPF,同理S△ABD=S△CBD,∴S▱AEPH=S▱CFPG.∵S▱BEPG=2,CG=2BG,∴S▱CFPG=2S▱BEPG=4,∴S▱AEPH=4.11.如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F,G,H分别是AB,OB,CD,OD的中点.有下列结论:①AD=BC;②△DHG≌△BFE;③BF=HO;④AO=BO;⑤四边形HEFG是平行四边形.其中正确结论的序号是 ①②③⑤ . 【解析】在▱ABCD中,AD=BC,故①正确;∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,DC=AB,OD=OB,∴∠CDB=∠DBA,∵E,F,G,H分别是AB,OB,CD,OD的中点,∴DG=BE=12AB,DH=BF=12OD,∴△DHG≌△BFE,故②正确;∵HO=DH,DH=BF,∴BF=HO,故③正确;∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,故④错误;E,F,G,H分别是AB,OB,CD,OD的中点,∴HG∥OC,HG=12OC,EF∥OA,EF=12OA,∴HG∥EF,HG=EF,∴四边形HEFG是平行四边形,故⑤正确.12.(9分)(1)如图是一个多边形,你能否用一直线去截这个多边形,使得到的新多边形分别满足下列条件:(画出图形,把截去的部分打上阴影)①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°;②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等;③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°.(2)将多边形只截去一个角,截后形成的多边形的内角和为2520°,求原多边形的边数.7\n解:(1)如图所示.(2)设新多边形的边数为n,则(n-2)·180°=2520°,解得n=16,①若截去一个角后边数增加1,则原多边形边数为15;②若截去一个角后边数不变,则原多边形边数为16;③若截去一个角后边数减少1,则原多边形边数为17.故原多边形的边数可以为15,16或17.13.(10分)(2022·辽宁大连)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,且AF=CE.求证:BE=DF.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OD=OB,∵AF=CE,∴OE=OF,在△BEO和△DFO中,OB=OD,∠BOE=∠DOF,OE=OF,∴△BEO≌△DFO,∴BE=DF.14.(12分)如图,点O是△ABC内一点,连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;(2)如果∠OBC=45°,∠OCB=30°,OC=4,求EF的长.解:(1)∵AB,OB,OC,AC的中点分别为D,E,F,G,∴DG∥BC,DG=12BC,EF∥BC,EF=12BC,∴DG∥EF,DG=EF,∴四边形DEFG是平行四边形.(2)过点O作OM⊥BC于点M,在Rt△OCM中,∠OCM=30°,OC=4,7\n∴OM=12OC=2,∴CM=23,在Rt△OBM中,∠OBM=∠BOM=45°,∴BM=OM=2,∴BC=2+23,∴EF=1+3.[名师预测]1.若一个多边形的内角和是其外角和的5倍,则这个多边形的边数是(A)A.12B.10C.8D.6【解析】设多边形的边数为n,根据题意得(n-2)·180°=5×360°,解得n=12,则这个多边形的边数是12.2.如图,点E,F是▱ABCD对角线上两点,在条件①DE=BF;②∠ADE=∠CBF;③AF=CE;④∠AEB=∠CFD中,添加一个条件,使四边形DEBF是平行四边形,则可添加的条件是(D)A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④【解析】由平行四边形的判定方法可知:若是四边形的对角线互相平分,可证明这个四边形是平行四边形.①不能证明对角线互相平分,只有②③④可以.3.如图,在▱ABCD中,∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E,且BE=4,CE=3,则AB的长是(A)A.52B.3C.4D.5【解析】∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∵BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,∴∠EBC=12∠ABC,∠ECB=12∠BCD,∴∠EBC+∠ECB=90°,∴∠BEC=90°,∴BC=BE2+CE2=42+32=5,∴AD=BC=5,∵AD∥BC,∴∠EBC=∠AEB,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE.同理DC=DE.∵AB=CD,∴AB=12AD=52.4.如图,在▱ABCD中,AB=3,BC=5,对角线AC,BD相交于点O.过点O作OE⊥AC,交AD于点E.连接CE,则△CDE的周长为 8 . 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形,∴AO=CO,AD=BC,CD=AB.又∵OE⊥AC,∴CE=AE,∴△CDE的周长为CD+DE+AE=CD+AD=AB+BC=3+5=8.7\n5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=8cm,BC=12cm,M是BC上一点,且BM=9cm,点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动,点F从点C出发,以3cm/s的速度向点B运动,当其中一点到达终点,另一点也随之停止,设运动时间为t,则当以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形时,t= 34s或32s . 【解析】①当点F在线段BM上,AE=FM时,以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形,则有t=9+3t-12,解得t=32;②当点F在线段CM上,AE=FM时,以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形,则有t=12-9-3t,解得t=34.综上所述,t=34s或32s时,以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形.6.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线的所有▱ADCE中,DE最小的值是 3 . 【解析】∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∴BC⊥AB.∵四边形ADCE是平行四边形,∴OD=OE,OA=OC.∴当OD取最小值时,DE线段最短,此时OD⊥BC.∴OD∥AB.又点O是AC的中点,∴OD是△ABC的中位线,∴OD=12AB=1.5,∴DE=2OD=3.7.如图,在▱ABCD中,AE=CF,M,N分别是DE,BF的中点.求证:四边形MFNE是平行四边形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,∠DAE=∠FCB.又∵AE=CF,∴△DAE≌△BCF,∴DE=BF,∠AED=∠CFB.又∵M,N分别是DE,BF的中点,∴ME=NF.又由AB∥DC,得∠AED=∠EDC.∴∠EDC=∠BFC,∴ME∥NF.∴四边形MFNE是平行四边形.8.如图,在平行四边形ABCD中,∠B=∠AFE,EA是∠BEF的平分线.求证:(1)△ABE≌△AFE;(2)∠FAD=∠CDE.7\n证明:(1)在△ABE与△AFE中,∠B=∠AFE,∠AEB=∠AEF,AE=AE,∴△ABE≌△AFE(AAS).(2)在▱ABCD中,∵AD∥BC,∴∠ADF=∠DEC.∵AB∥CD,∴∠C=180°-∠B.又∠AFD=180°-∠AFE,∠B=∠AFE,∴∠AFD=∠C.在△ADF与△DEC中,由三角形内角和定理,得∠FAD=180°-∠ADF-∠AFD,∠CDE=180°-∠DEC-∠C,∴∠FAD=∠CDE.9.如图,在▱ABCD中,∠ABC,∠BCD的平分线BE,CF分别与AD相交于点E,F,BE与CF相交于点G.(1)求证:BE⊥CF;(2)若AB=3,BC=5,CF=2,求BE的长.解:(1)∵BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,∴∠CBE=12∠ABC,∠BCF=12∠BCD.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∴∠CBE+∠BCF=12(∠ABC+∠BCD)=90°,∴∠CGB=180°-(∠CBE+∠BCF)=90°,∴BE⊥CF.(2)过点E作EP∥FC,交BC的延长线于点P,则四边形CPEF是平行四边形.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.在▱ABCD中,∵AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE,∴∠AEB=∠ABE,∴AE=AB=3.同理DF=DC=3,∴EF=AE+DF-AD=1.∴CP=EF=1,EP=CF=2.又由(1)知BE⊥CF,∴BE⊥EP,∴在Rt△BPE中,BE2+EP2=BP2,即BE2+22=62,解得BE=42.7
