5.2 矩形、菱形与正方形[过关演练] (30分钟 70分)1.(2022·山东滨州)下列命题,其中是真命题的为(D)A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.一组邻边相等的矩形是正方形【解析】一组对边平行,另一组对边相等的四边形也可以是等腰梯形,故A错误;对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故B错误;对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形,故C错误;一组邻边相等的矩形是正方形,故D正确.2.(2022·湖北宜昌)如图,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EG⊥AB,EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J.则图中阴影部分的面积等于(B)A.1B.12C.13D.14【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴直线AC是正方形ABCD的对称轴,∵EG⊥AB,EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J.∴根据对称性可知,四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等,∴S阴影=12S正方形ABCD=12.3.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=4,则四边形OCED的周长为(B)9\nA.4B.8C.10D.12【解析】在矩形ABCD中,OC=OD=12AC=2,又CE∥BD,DE∥AC,所以四边形OCED是菱形,菱形OCED的周长为4×2=8.4.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论:①AC⊥BD;②OA=OB;③∠ADB=∠CDB;④△ABC是等边三角形.其中一定成立的是(D)A.①②B.③④C.②③D.①③【解析】∵菱形的对角线互相垂直,∴AC⊥BD,故①正确;∵菱形的对角线互相平分但不一定相等,∴OA与OB不一定相等,故②错误;∵菱形的每条对角线平分一组对角,∴∠ADB=∠CDB,故③正确;在菱形ABCD中,AB=BC,只有当∠ABC=60°时,△ABC是等边三角形才成立,故④错误.5.如图,在矩形ABCD中,O为AC的中点,过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F,连接BF交AC于点M,连接DE,BO.若∠COB=60°,FO=FC,则下列结论:①FB⊥OC,OM=CM;②△EOB≌△CMB;③四边形EBFD是菱形;④MB∶OE=3∶2.其中正确结论的个数是(C)A.1B.2C.3D.4【解析】连接BD,∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AC,BD互相平分,∵O为AC的中点,∴BD也过O点,∴OB=OC,∵∠COB=60°,OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∴OB=BC=OC,∠OBC=60°,在△OBF与△CBF中,FO=FC,BF=BF,OB=BC,∴△OBF≌△CBF(SSS),∴△OBF与△CBF关于直线BF对称,∴FB⊥OC,OM=CM,故①正确;∵∠OBC=60°,∴∠ABO=30°,∵△OBF≌△CBF,∴∠OBM=∠CBM=30°,∴∠ABO=∠OBF,∵AB∥CD,∴∠OCF=∠OAE,∵OA=OC,易证△AOE≌△COF,∴OE=OF,∴OB⊥EF,∴四边形EBFD是菱形,故③正确;∵△EOB≌△FOB≌△FCB,∴△EOB≌△CMB错误,故②错误;∵∠OMB=∠BOF=90°,∠OBF=30°,∴MB=OM33,OF=OM32,∵OE=OF,∴MB∶OE=3∶2,故④正确.6.已知矩形的对角线AC与BD相交于点O,若AO=1,那么BD= 2 . 【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AC=2AO.∵AO=1,∴AC=2×1=2,∴BD=2.9\n7.如图,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB.请你添加一个条件 答案不唯一,如∠EDB=90°或AB=BE等 ,使四边形DBCE是矩形. 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∵DE=AD,∴DE=BC,∴四边形DBCE是平行四边形,由矩形的判定条件可添加∠EDB=90°或BE=CD或AB=BE等,可使四边形DBCE是矩形.8.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则∠BED= 45° . 【解析】由题意得AB=AE,∠BAE=90°+60°=150°,∴∠AEB=∠ABE=15°,∵∠AED=60°,∴∠BED=60°-15°=45°.9.(2022·浙江金华)如图,小靓用七巧板拼成一幅装饰图,放入长方形ABCD内,装饰图中的三角形顶点E,F分别在边AB,BC上,三角形①的边GD在边AD上,则ABBC的值是 2+14 . 【解析】设七巧板的边长为x,则AB=12x+22x,BC=12x+x+12x=2x,ABBC=12x+22x2x=2+14.10.(10分)(2022·呼和浩特)如图,已知A,F,C,D四点在同一条直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.(1)求证:△ABC≌△DEF;(2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时,AF的长度.解:(1)∵AB∥DE,∴∠A=∠D,∵AF=CD,∴AF+FC=CD+FC,即AC=DF,∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF.(2)AF=75.提示:连接BE交AD于点O.在Rt△EFD中,∵∠DEF=90°,EF=3,DE=4,∴DF=32+42=5,∵四边形EFBC是菱形,∴BE⊥CF,∴EO=DE·EFDF=125,∴OF=OC=EF2-EO2=95,∴CF=185,9\n∴AF=CD=DF-FC=5-185=75.11.(10分)如图,已知四边形ABCD为矩形,AD=20cm,AB=10cm.M点从D到A,P点从B到C,两点的速度都为2cm/s;N点从A到B,Q点从C到D,两点的速度都为1cm/s.若四个点同时出发.(1)判断四边形MNPQ的形状;(2)四边形MNPQ能为菱形吗?若能,请求出此时运动的时间;若不能,说明理由.解:(1)四边形MNPQ是平行四边形.理由如下:在矩形ABCD中,BC=AD=20cm,CD=AB=10cm,且∠A=∠B=∠C=∠D=90°.设运动时间为t秒,则AN=CQ=tcm,BP=DM=2tcm.∴BN=DQ=(10-t)cm,CP=AM=(20-2t)cm.由勾股定理,得NP=BP2+BN2,MQ=DM2+DQ2,∴NP=MQ.同理可得MN=PQ.∴四边形MNPQ是平行四边形.(2)能.理由如下:∵当四边形MNPQ为菱形时,有NP=QP,∴BP2+BN2=PC2+QC2,∴4t2+(10-t)2=(20-2t)2+t2,解得t=5.即四边形MNPQ为菱形时,运动时间是5s.12.(10分)如图,正方形ABCD中,点O为两条对角线的交点.(1)如图1,点M,N分别在AD,CD边上,∠MON=90°,求证:OM=ON;(2)如图2,若AE交CD于点E,DF⊥AE于点F,在AE上截取AG=DF,连接OF,OG,那么△OFG是哪种特殊三角形,证明你的结论;(3)如图3,若AE交BC于点E,DF⊥AE于点F,连接OF,求∠DFO的度数.解:(1)连接OA,OD,则OA=OD,∵四边形ABCD是正方形,∴∠AOD=90°,∠OAM=∠ODN=45°,∵∠MON=90°,∴∠AOD-∠MOD=∠MON-∠MOD,∴∠AOM=∠DON,∴△AOM≌△DON(ASA),∴OM=ON.(2)△OFG为等腰直角三角形.证明:连接OA,OD,则OA=OD,∵四边形ABCD是正方形,9\n∴∠AOD=90°,∠OAD=∠ODC=45°,∵DF⊥AE,∴∠DAE+∠ADF=∠ADF+∠FDE=90°,∴∠DAE=∠FDE,∴∠OAG=∠ODF.∵AG=DF,∴△OAG≌△ODF(SAS),∴OG=OF,∠AOG=∠DOF,∴∠GOF=∠GOD+∠DOF=∠GOD+∠AOG=90°,∴△OFG为等腰直角三角形.(3)如图,在AE上截取AG=DF,连接OA,OD,OG,其中OA与DF交于点H,则AO=DO,∵∠AFD=∠AOD=90°,∠AHF=∠DHO,∴∠GAO=∠FDO,∴△OAG≌△ODF(SAS),∴OG=OF,∠AOG=∠DOF,∴∠GOF=∠GOA-∠FOA=∠DOF-∠FOA=∠AOD=90°,∴∠GFO=45°,∵DF⊥AE,∴∠DFO=45°.[名师预测]1.如图,在△ABC中,点E,D,F分别在边AB,BC,CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四个判断中,不正确的是(D)A.四边形AEDF是平行四边形B.如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形C.如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形D.如果AD⊥BC,那么四边形AEDF是菱形【解析】由DE∥CA,DF∥BA,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,可得四边形AEDF是平行四边形,故A正确;又有∠BAC=90°,根据有一角是直角的平行四边形是矩形,可得四边形AEDF是矩形,故B正确;如果AD平分∠BAC,那么∠EAD=∠FAD,又有DF∥BA,可得∠EAD=∠ADF,∴∠FAD=∠ADF,∴AF=FD,那么根据邻边相等的平行四边形是菱形,可得四边形AEDF是菱形,故C正确;如果AD⊥BC且AB=AC,那么AD平分∠BAC,可得四边形AEDF是菱形,只有AD⊥BC,不能判断四边形AEDF是菱形,故D错误.9\n2.如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH,若BE∶EC=2∶1,则线段CH的长是(B)A.3B.4C.5D.6【解析】设CH=x,∵BE∶EC=2∶1,BC=9,∴EC=3,由折叠的性质知EH=DH=9-x,在Rt△ECH中,由勾股定理得(9-x)2=32+x2,解得x=4.3.如图,在正方形ABCD中,M,N是对角线AC上的两个动点,P是正方形四边上的任意一点,且AB=4,MN=2,设AM=x,若△PMN是等腰三角形,则下列说法:①当x=0(即M,A两点重合)时,P点有6个;②当P点有8个时,x=22-2;③当△PMN是等边三角形时,P点有4个;④当0<x<42-2时,P点最多有9个.其中说法正确的是(B)A.①②B.①③C.②③D.③④【解析】①如图1,当x=0(即M,A两点重合)时,P点有6个,故①正确;②如图2,当P点有8个时,0<x<42-2,故②错误;③如图3,当△PMN是等边三角形时,P点有4个,故③正确;④当0<x<42-2时,P点最多有8个,故④错误.9\n4.如图,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4.设AB=x,AD=y,则x2+(y-4)2的值为 16 . 【解析】在矩形ABCD中,CD=AB=x,在Rt△BDE中,∠BDE=90°,点F为BE的中点,所以BF=EF=DF=4,所以x2+(y-4)2=CD2+CF2=DF2=16.5.如图,在菱形ABCD中,AC交BD于点O,DE⊥BC于点E,连接OE,若∠ABC=140°,则∠OED= 20° . 【解析】在菱形ABCD中,∵∠ABC=140°,∴∠DBC=70°.∵DE⊥BC,∴∠BDE=20°,∵O是BD的中点,∴∠OED=∠ODE=20°.6.如图,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线上有一点P,使PD+PE最小,则这个最小值为 23 . 【解析】连接BD交AC于点O,在正方形ABCD中,点D与点B关于AC对称,则BE与AC的交点为点P,此时PD+PE最小,为BE的长.因为正方形ABCD的面积为12,所以AB=12=23,在等边△ABE中,BE=AB=23,所以PD+PE的最小值为23.7.在▱ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF平分∠DAB.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,又∵DF=BE,∴四边形BFDE是平行四边形.∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴四边形BFDE是矩形.(2)∵四边形DEBF是矩形,∴∠BFC=90°,∵CF=3,BF=4,∴BC=CF2+BF2=32+42=5,∴AD=BC=5,∴AD=DF,∴∠DAF=∠DFA,在▱ABCD中,DC∥AB,∴∠DFA=∠FAB,∴∠DAF=∠FAB,即AF平分∠DAB.8.如图,在平行四边形ABCD中,AC=6cm,BD=8cm,点P从点A出发以每秒1cm的速度沿射线AC移动,点Q从点C出发以每秒1cm的速度沿射线CA移动.(1)经过几秒,以P,Q,B,D为顶点的四边形为矩形?9\n(2)若BC⊥AC,垂足为C,求(1)中矩形的边BQ的长.解:(1)当时间t=7秒时,四边形BPDQ为矩形.理由:如图所示,当t=7秒时,PA=QC=7,∵AC=6,∴CP=AQ=1,∴PQ=BD=8.∵四边形ABCD为平行四边形,AC=6,BD=8,∴AO=CO=3,BO=DO=4,∴OQ=OP=4,∴四边形BPDQ为平行四边形,∵PQ=BD=8,∴四边形BPDQ为矩形.(2)由(1)得OB=4,OC=3,CQ=7,∵BC⊥AC,∴∠BCA=90°,∴BC2+CQ2=BQ2,OC2+BC2=OB2,∴BQ=OB2-OC2+CQ2=42-32+72=214(cm).9.如图,四边形ABCD为菱形,点E为对角线AC上的一个动点,连接DE并延长交射线AB于点F,连接BE.(1)如图1,求证:∠AFD=∠EBC;(2)如图2,若DE=EC,且BE⊥AF,求∠DAB的度数;(3)若∠DAB=90°,当△BEF为等腰三角形时,求∠EFB的度数.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴CD=CB,∠ACD=∠ACB,在△DCE和△BCE中,CD=CB,∠DCE=∠BCE,EC=EC,∴△DCE≌△BCE,∴∠CDE=∠EBC,∵CD∥AB,∴∠CDE=∠AFD,∴∠AFD=∠EBC.(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB,∠DAC=∠BAC,∵AE=AE,∴△DAE≌△BAE,∴DE=EB,∵DE=EC,∴EB=EC,∴∠ACD=∠ACB=∠CBE,∵AD=CD,∴∠ACD=∠CAD=∠BAC,∴∠CBE=12∠DAB,∵BE⊥AF,AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°,即∠DAB+90°+12∠DAB=180°,9\n解得∠DAB=60°.(3)分两种情况:①如图1,当点F在线段AB的延长线上时,∵∠EBF为钝角,∴只能是BE=BF,设∠BEF=∠EFB=x°,则∠EBC=∠AFD=x°,∴∠EBF=(90+x)°,在△EBF中,有90+x+x+x=180,解得x=30,∴∠EFB=30°;②如图2,当点F在线段AB上时,∵∠EFB为钝角,∴只能是FE=FB,设∠BEF=∠EBF=x°,则有∠AFD=2x°,∵∠EBC=∠AFD=2x°,∴∠EBC+∠EBF=∠ABC=90°,即2x+x=90,解得x=30,∴∠EFB=180°-2x°=120°.综上,当点F在线段AB的延长线上时,∠EFB=30°;当点F在线段AB上时,∠EFB=120°.9
