1.2 整式[过关演练] (20分钟 55分)1.(2022·湖北荆州)下列代数式中,整式为(A)A.x+1B.1x+1C.x2+1D.x+1x【解析】x+1是整式,故A正确;1x+1是分式,故B错误;x2+1是二次根式,故C错误;x+1x是分式,故D错误.2.(2022·广西贵港)下列运算正确的是(D)A.2a-a=1B.2a+b=2abC.(a4)3=a7D.(-a)2·(-a)3=-a5【解析】2a-a=a,故A错误;2a与b不是同类项,不能合并,故B错误;(a4)3=a12,故C错误;(-a)2·(-a)3=-a5,故D正确.3.(2022·武汉)计算(a-2)(a+3)的结果是(B)A.a2-6B.a2+a-6C.a2+6D.a2-a+6【解析】(a-2)(a+3)=a2+a-6.4.(2022·山东淄博)若单项式am-1b2与12a2bn的和仍是单项式,则nm的值是(C)A.3B.6C.8D.9【解析】∵单项式am-1b2与12a2bn的和仍是单项式,∴单项式am-1b2与12a2bn是同类项,∴m-1=2,n=2,∴m=3,n=2,∴nm=8.5.如图,边长为a的正方形中阴影部分的面积为(A)5\nA.a2-πa22B.a2-πa2C.a2-πaD.a2-2πa【解析】由图可得阴影部分的面积为a2-π·a22.6.(2022·四川绵阳)将全体正奇数排成一个三角形数阵:13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29…按照以上排列的规律,第25行第20个数是(A)A.639B.637C.635D.633【解析】根据三角形数阵可知,第n行奇数的个数为n,则前n-1行奇数的总个数为1+2+3+…+(n-1)=n(n-1)2,则第n(n≥3)行从左向右的第m个数为第n(n-1)2+m个奇数,即1+2n(n-1)2+m-1=n2-n+2m-1,当n=25,m=20时,这个数为639.7.如图,将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形,第1幅图形中“●”的个数为a1,第2幅图形中“●”的个数为a2,第3幅图形中“●”的个数为a3,…,以此类推,则1a1+1a2+1a3+…+1a19的值为(C)A.2022B.6184C.589840D.431760【解析】a1=3=1×3,a2=8=2×4,a3=15=3×5,a4=24=4×6,…,an=n(n+2).∴1a1+1a2+1a3+…+1a19=11×3+12×4+13×5+…+119×21=121-13+12-14+13-15+…+119-121=121+12-120-121=589840.8.(2022·湖北黄冈)若a-1a=6,则a2+1a2值为 8 . 【解析】∵a-1a=6,∴a-1a2=6,∴a2-2+1a2=6,∴a2+1a2=8.5\n9.(2022·黑龙江大庆)若2x=5,2y=3,则22x+y= 75 . 【解析】∵2x=5,2y=3,∴22x+y=(2x)2×2y=52×3=75.10.(2022·山东临沂)已知m+n=mn,则(m-1)(n-1)= 1 . 【解析】(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1,∵m+n=mn,∴(m-1)(n-1)=mn-mn+1=1.11.(12分)张老师在黑板上写了三个算式,希望同学们认真观察,发现规律.请你结合这些算式,解答下列问题:(1)验证规律:设两个连续奇数为2n+1,2n-1(其中n为正整数),则它们的平方差是8的倍数.(2)拓展延伸:“两个连续偶数的平方差是8的倍数”,这个结论正确吗?若正确,请证明;不正确,请举反例.请观察以下算试:①32-12=8×1②52-32=8×2③72-52=8×3解:(1)(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1-2n+1)·(2n+1+2n-1)=2×4n=8n,故两个连续奇数的平方差是8的倍数.(2)不正确.反例:42-22=12,因为12不是8的倍数,故这个结论不正确.[名师预测]1.下列运算正确的是(A)A.(a2)m=a2mB.(2a)3=2a3C.a3·a-5=a-15D.a3÷a-5=a-2【解析】(a2)m=a2m,A正确;(2a)3=23a3=8a3,B错误;a3·a-5=a3+(-5)=a-2,C错误;a3÷a-5=a3-(-5)=a8,D错误.2.下列多项式在实数范围内不能因式分解的是(B)A.x3+2xB.a2+b2C.y2+y+14D.m2-4n2【解析】x3+2x=x(x2+2),A能因式分解;a2+b2无法分解因式,故B正确;y2+y+14=y+122,C能因式分解;m2-4n2=(m+2n)(m-2n),D能因式分解.3.一列自然数0,1,2,3,…,100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是(D)A.原数与对应新数的差不可能等于零B.原数与对应新数的差,随着原数的增大而增大C.当原数与对应新数的差等于21时,原数等于30D.当原数取50时,原数与对应新数的差最大【解析】设原数为a,则新数为1100a2,设新数与原数的差为y,则y=a-1100a2=-1100a2+a,当a=0时,y=0,A错误;∵-1100<0,∴当a=-b2a=-12×-1100=50时,y有最大值,B错误,D正确;当y=21时,-1100a2+a=21,解得a1=30,a2=70,C错误.5\n4.下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的.如果第1个图形的周长为5,那么第2个图形的周长为 8 ,第2022个图形的周长为 6056 . 【解析】∵第1个图形的周长为2+3=5,第2个图形的周长为2+3×2=8,第3个图形的周长为2+3×3=11,…,∴第2022个图形的周长为2+3×2022=6056.5.先化简,再求值:2x2-3-13x2+23xy-2y2-2(x2-xy+2y2),其中x=12,y=-1.解:2x2-3-13x2+23xy-2y2-2(x2-xy+2y2)=2x2-(-x2+2xy-2y2)-(2x2-2xy+4y2)=2x2+x2-2xy+2y2-2x2+2xy-4y2=x2-2y2,当x=12,y=-1时,原式=-74.6.用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形.(1)用不同代数式表示图中的阴影部分的面积,你能得到怎样的等式?试用乘法公式说明这个等式成立;(2)利用(1)中的结论计算:已知a+b=2,ab=34,求a2b-ab2;(3)根据(1)中的结论:若x2-3x+1=0,分别求出x-1x和x4+1x4的值.解:(1)阴影部分的面积:4ab或(a+b)2-(a-b)2,得到等式:4ab=(a+b)2-(a-b)2,说明:(a+b)2-(a-b)2=a2+2ab+b2-(a2-2ab+b2)=a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=4ab.(2)当a+b=2,ab=34时,(a-b)2=(a+b)2-4ab=22-4×34=4-3=1,∴a-b=±1.∴a2b-ab2=ab(a-b)=34×(±1)=±34.(3)∵当x=0时,x2-3x+1=1≠0,∴x2-3x+1=0中x≠0,则两边都除以x,得x-3+1x=0,即x+1x=3,∴x-1x2=x+1x2-4=9-4=5,则x-1x=±5,5\nx4+1x4=x2+1x22-2=x+1x2-22-2=(32-2)2-2=49-2=47.7.在现今“互联网+”的时代,密码与我们的生活已经紧密相连,密不可分.而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解,因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,其原理是将一个多项式分解因式,如多项式x3+2x2-x-2因式分解的结果为(x-1)(x+1)(x+2),当x=18时,x-1=17,x+1=19,x+2=20,此时可以得到数字密码171920.(1)根据上述方法,当x=21,y=7时,对于多项式x3-xy2分解因式后可以形成哪些数字密码?(写出三个)(2)若一个直角三角形的周长是24,斜边长为10,其中两条直角边分别为x,y,求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码.(只需一个即可)(3)若多项式x3+(m-3n)x2-nx-21因式分解后,利用本题的方法,当x=27时可以得到其中一个密码为242834,求m,n的值.解:(1)x3-xy2=x(x-y)(x+y),当x=21,y=7时,x-y=14,x+y=28,可得数字密码211428,212814,142128.(答案不唯一)(2)由题意得x+y=14,x2+y2=100,解得xy=48,而x3y+xy3=xy(x2+y2),所以可得数字密码为48100.(2)由题意得x3+(m-3n)x2-nx-21=(x-3)·(x+1)(x+7),∵(x-3)(x+1)(x+7)=x3+5x2-17x-21,∴x3+(m-3n)x2-nx-21=x3+5x2-17x-21,∴m-3n=5,n=17,解得m=56,n=17.故m,n的值分别是56,17.5
