3.2 一次函数[过关演练] (30分钟 80分)1.(2022·湖南常德)若一次函数y=(k-2)x+1的函数值y随x的增大而增大,则(B)A.k<2B.k>2C.k>0D.k<0【解析】由题意,得k-2>0,解得k>2.2.(2022·辽宁葫芦岛)如图,直线y=kx+b(k≠0)经过点A(-2,4),则不等式kx+b>4的解集为(A)A.x>-2B.x<-2C.x>4D.x<4【解析】观察图象知当x>-2时,kx+b>4.3.(2022·合肥行知中学模拟)若一次函数y=kx+b的图象如图所示,则一次函数y=bx+k的图象不经过(C)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】由一次函数y=kx+b的图象知k>0,b<0,所以一次函数y=bx+k的y随x的增大而减小,与y轴的交点位于y轴正半轴,所以该一次函数的图象不经过第三象限.4.一次函数y=(m+2)x+(1+m)的图象如图所示,则m的取值范围是(B)7\nA.m>-1B.m<-2C.-2<m<-1D.m<-1【解析】由图可知y=(m+2)x+(1+m)的图象经过第二、三、四象限,∴m+2<0,1+m<0,解得m<-2.5.如图所示的计算程序中,y与x之间的函数关系所对应的图象应为(D)【解析】由计算程序可知,输出y=-2x+4,观察选项可知D项正确.6.如图,函数y1=-2x和y2=ax+3的图象相交于点A(m,2),则关于x的不等式-2x>ax+3的解集是(D)A.x>2B.x<2C.x>-1D.x<-1【解析】∵函数y1=-2x过点A(m,2),∴-2m=2,解得m=-1,∴A(-1,2),观察两个函数图象可知,当函数y1=-2x在函数y2=ax+3的图象上方时,x<-1,即不等式-2x>ax+3的解集为x<-1.7.货车和小汽车同时从甲地出发,以各自的速度匀速向乙地行驶,小汽车到达乙地后,立即以相同的速度沿原路返回甲地.已知甲、乙两地相距180千米,货车的速度为60千米/小时,小汽车的速度为90千米/小时,则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y(千米)与各自行驶时间t(小时)之间的函数图象是(C)【解析】小汽车往返一次共用360÷90=4(小时),货车到乙地共用180÷60=3(小时),故选项A,B,D错误,选项C正确.8.(2022·湖北天门)甲、乙两车从A地出发,匀速驶向B地.甲车以80km/h的速度行驶1h后,乙车沿相同路线行驶.乙车先到达B地并停留1h后,再以原速按原路返回,直至与甲车相遇.在此过程中,两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示.下列说法:①乙车的速度是120km/h;②m=160;③点H的坐标是(7,80);④n=7.5.其中说法正确的是(A)7\nA.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④【解析】由图象可知,乙出发时,甲乙相距80km,2小时后,乙车追上甲,说明乙每小时比甲快40km,则乙的速度为120km/h,①正确;第2~6小时,乙由相遇点到达B,用时4小时,每小时比甲快40km,则此时甲乙距离为4×40=160(km),则m=160,②正确;当乙在B地休息1h时,甲前进80km,则H点坐标为(7,80),③正确;乙返回时,甲乙相距80km,到两车相遇用时80÷(120+80)=0.4(小时),则n=6+1+0.4=7.4,④错误.9.若一次函数y=2x+b(b为常数)的图象经过点(1,5),则b的值为 3 . 【解析】将点(1,5)代入,得5=2×1+b,解得b=3.10.(2022·长春)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,3),(n,3),若直线y=2x与线段AB有公共点,则n的值可以为 2(答案不唯一) .(写出一个即可) 【解析】∵直线y=2x与线段AB有公共点,∴2n≥3,∴n≥32.11.甲、乙两人分别从A,B两地相向而行,他们距B地的距离s(km)与时间t(h)的关系如图所示,那么乙的速度是 3.6 km/h. 【解析】由题意,甲的速度为6km/h.当甲开始运动时甲、乙两人相距36km,两小时后,乙开始运动,经过2.5小时两人相遇.设乙的速度为xkm/h,2.5×(6+x)=36-12,解得x=3.6.12.(2022·贵州安顺)正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…,按如图的方式放置,点A1,A2,A3,…,和点C1,C2,C3,…,分别在直线y=x+1和x轴上,则点Bn的坐标为 (2n-1,2n-1) . 【解析】当x=0时,y=x+1=1,∴点A1的坐标为(0,1).∵四边形A1B1C1O为正方形,∴点B1的坐标为(1,1).当x=1时,y=x+1=2,∴点A2的坐标为(1,2).∵四边形A2B2C2C1为正方形,∴点B2的坐标为(3,2).同理可得点A3的坐标为(3,4),点B3的坐标为(7,4),点A4的坐标为(7,8),点B4的坐标为(15,8),…,∴点Bn的坐标为(2n-1,2n-1).13.(8分)如图,直线l经过点A(-1,0),B(2,3).(1)确定直线l的解析式;7\n(2)若在x轴上有一点P(m,0),使S△PAB=6,试确定m的值.解:(1)设y=kx+b,根据题意得-k+b=0,2k+b=3,解得k=1,b=1,∴直线l的解析式是y=x+1.(2)由三角形面积公式,得12×|m-(-1)|×3=6,解得m1=3,m2=-5,∴m的值为3或-5.14.(10分)(2022·上海)一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.(1)求y关于x的函数关系式;(不需要写定义域)(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油,在此次行驶过程中,行驶了500千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程,在开往该加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米?解:(1)设y关于x的函数关系式为y=kx+b,将(150,45),(0,60)代入y=kx+b中,得150k+b=45,b=60,解得k=-110,b=60,∴y关于x的函数关系式为y=-110x+60.(2)当y=-110x+60=8时,解得x=520.即行驶520千米时,油箱中的剩余油量为8升,530-520=10千米,∴在开往该加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是10千米.15.(10分)(2022·湖南怀化)某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召,绿化校园,计划购进A,B两种树苗共21棵,已知A种树苗每棵90元,B种树苗每棵70元.设购买A种树苗x棵,购买两种树苗所需费用为y元.(1)求y关于x的函数表达式,其中0≤x≤21;(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,请给出一种费用最少的方案,并求出该方案所需的费用.解:(1)根据题意,得y=90x+70(21-x)=20x+1470,∴函数表达式为y=20x+1470.(2)∵购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,∴21-x<x,解得x>10.5,又∵y=20x+1470,且x取整数,∴当x=11时,y有最小值,最小值为1690,7\n∴使费用最少的方案是购买B种树苗10棵,A种树苗11棵,所需费用为1690元.[名师预测]1.已知将直线y=x-1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b,则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是(C)A.经过第一、二、四象限B.与x轴交于(1,0)C.与y轴交于(0,1)D.y随x的增大而减小【解析】将直线y=x-1向上平移2个单位长度后得到直线y=x-1+2=x+1,直线y=x+1经过第一、二、三象限,A错误;直线y=x+1与x轴交于(-1,0),B错误;直线y=x+1与y轴交于(0,1),C正确;直线y=x+1,y随x的增大而增大,D错误.2.一次函数y=43x-b与y=43x-1的图象之间的距离等于3,则b的值为(C)A.-2或4B.2或-4C.4或-6D.-4或6【解析】设y=43x-1的图象与x轴、y轴交点分别为C,B,则B(0,-1),C34,0,y=43x-b与y=43x-1的图象之间的距离等于3,那么y=43x-b可能在y=43x-1上方,也可能在y=43x-1下方,设y=43x-b与y轴交于点A,过点A作BC的垂线,交直线BC于点E,则AE=3,且△AEB∽△COB,∴AEAB=OCBC=35,∴AB=5,∴y=43x-b可看作由y=43x-1向上或向下平移5个单位得到,∴b的值为4或-6.3.在平面直角坐标系中,过点(1,2)作直线l,若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4,则满足条件的直线l的条数是(C)A.5B.4C.3D.2【解析】设过点(1,2)的直线l的函数解析式为y=kx+b,2=k+b,得b=2-k,∴y=kx+2-k,当x=0时,y=2-k,当y=0时,x=k-2k,令|2-k|·|k-2k|2=4,解得k1=-2,k2=6-42,k3=6+42,故满足条件的直线l的条数是3.4.甲、乙两人从相距100千米的两地同时出发,相向而行,甲的速度是每小时6千米,乙的速度是每小时4千米,两人相遇后继续前行,直到两人都到达目的地.则下列图象能准确表示两人之间的距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系的是(B)7\n【解析】根据题意,两人100÷(6+4)=10小时相遇,当甲到达目的地后,乙还没到达目的地,还需继续前行,但两人之间的距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系图象变得平缓,且乙从出发到达目的地用了100÷4=25小时,故只有选项B符合题意.5.某水库的水位在5小时内持续上涨,初始的水位高度为6米,水位以每小时0.3米的速度匀速上升,则水库的水位高度y(米)与时间x(小时)(0≤x≤5)之间的函数关系式为 y=0.3x+6 . 【解析】根据题意,得x小时水位上升的高度为0.3x米,再加上初始的水位高度6米,故水库的水位高度y=0.3x+6.6.为了美化环境,建设宜居城市,我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉,经市场调查,甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示,乙种花卉的种植费用为每平方米100元.(1)直接写出当0≤x≤300和x>300时,y与x的函数关系式;(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2,若甲种花卉的种植面积不少于200m2,且不超过乙种花卉种植面积的2倍,那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少?最少总费用为多少元?解:(1)y=130x (0≤x≤300),80x+15000 (x>300).(2)设种植甲种花卉am2,则种植乙种花卉(1200-a)m2.∴a≥200,a≤2(1200-a),∴200≤a≤800.设种植甲、乙两种花卉的总费用为W.当200≤a<300时,W=130a+100(1200-a)=30a+120000,当a=200时,Wmin=126000元;当300≤a≤800时,W=80a+15000+100(1200-a)=135000-20a,当a=800时,Wmin=119000元.∵119000<126000,∴当a=800时,总费用最少,最少总费用为119000元,此时乙种花卉种植面积为1200-800=400m2.7\n∴应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800m2和400m2,才能使种植总费用最少,最少总费用为119000元.7.如图,一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A(1,n)和点B,与x轴交于点C(-1,0),连接OA.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)若点P在坐标轴上,且满足PA=OA,求点P的坐标.解:(1)易得一次函数的解析式为y=x+1,反比例函数的解析式为y=2x.(2)易得A(1,2).分两种情况:①如果点P在x轴上,设点P的坐标为(x,0),∵PA=OA,∴(x-1)2+22=12+22,解得x1=2,x2=0(不合题意,舍去),∴点P的坐标为(2,0);②如果点P在y轴上,设点P的坐标为(0,y),∵PA=OA,∴12+(y-2)2=12+22,解得y1=4,y2=0(不合题意,舍去),∴点P的坐标为(0,4).综上所述,点P的坐标为(2,0)或(0,4).7
