单元综合检测三 函数(80分钟 120分)一、选择题(每小题4分,满分32分)1.在平面直角坐标系中,点(1,5)所在的象限是(A)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】点(1,5)所在的象限是第一象限.2.函数y=x+1x的自变量x的取值范围是(B)A.x>-1且x≠0B.x≥-1且x≠0C.x≥0且x≠-1D.x>0且x≠-1【解析】根据题意得x+1≥0且x≠0,解得x≥-1且x≠0.3.若一次函数y=kx+b的图象如图所示,则一次函数y=bx+k2的图象不经过(D)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】由函数图象知k<0,b>0,所以k2>0,所以一次函数y=bx+k2的图象与y轴交于正半轴,且y随x的增大而增大,所以不经过第四象限.4.反比例函数y=1-kx图象的每条曲线上y都随x的增大而增大,则k的取值范围是(A)A.k>1B.k>0C.k<1D.k<0【解析】根据题意,得1-k<0,解得k>1.8\n5.如图,反比例函数y=kx的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A(3,2)和B(-1,-6).则不等式kx<ax+b的解集是(C)A.-1<x<0B.x>3C.-1<x<0或x>3D.0<x<3或x<-1【解析】由图象可知,不等式kx<ax+b的解集是-1<x<0或x>3.6.在A,B两地之间有汽车站C,甲车由A地驶往C,乙车由B地驶往A地.两车同时出发,匀速行驶.甲、乙两车离C站的路程y1,y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象如图所示.则下列结论中,不正确的是(D)A.甲车的速度是60千米/小时B.A,B两地相距440千米C.乙车行驶11小时后到达A地D.两车行驶4小时相遇【解析】由函数图象结合题意知甲车速度是360÷6=60(千米/小时),选项A正确;A,B两地相距360+80=440(千米),选项B正确;乙车的速度是80÷2=40(千米/小时),行驶440÷40=11(小时)到达A地,选项C正确;设两车行驶x小时相遇,则40x+60x=440,解得x=4.4,即两车行驶4.4小时相遇,选项D错误.7.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,点E在边AD上,sin∠ABE=35,连接BD,点P在线段DE上,过点P作PQ∥BD交BE于点Q,连接QD.设PD=x,△PQD的面积为y,则能表示y与x的函数关系的图象大致是(C)8\n【解析】在Rt△ABE中,∠A=90°,sin∠ABE=AEBE=35,设AE=3k,BE=5k.由勾股定理得AB=4k,∴4k=4,k=1.∴AE=3,BE=5,DE=8-3=5,PE=5-x.设点Q到AD的距离为h,由PQ∥BD,得△EQP∽△EBD,∴PEDE=h4,即5-x5=h4,解得h=20-4x5,∴△PQD的面积y=12x×20-4x5=-25x2+2x=-25x-522+52.在各选项中,只有C选项符合.8.已知一次函数y=bax+c的图象如图,则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是(A)【解析】观察函数图象可知ba<0,c>0,∴二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴x=-b2a>0,与y轴的交点在y轴正半轴.观察知A项正确.二、填空题(每小题5分,满分15分)9.若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可由抛物线y=-2x2平移得到,其顶点坐标为(-2,3),则该抛物线的表达式是 y=-2x2-8x-5 . 【解析】由于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可由抛物线y=-2x2平移得到,所以a=-2,又顶点坐标为(-2,3),则该抛物线的表达式为y=-2(x+2)2+3,即y=-2x2-8x-5.10.对一个实数x按如图所示的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于88?”为一次操作,如果只进行一次就停止,则x的取值范围是 x>49 . 【解析】当输入一个实数x时,一次操作就停止,可得不等式2x-10>88,解得x>49.11.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象经过点B(0,-2),它与反比例函数y=-8x的图象交于点A(m,4),则这个二次函数的表达式为 y=x2-x-2 . 8\n【解析】把A(m,4)代入y=-8x,得4m=-8,解得m=-2,把A(-2,4),B(0,-2)代入y=x2+bx+c,得4-2b+c=4,c=-2,解得b=-1,c=-2,所以二次函数的表达式为y=x2-x-2.三、解答题(满分73分)12.(9分)已知水银体温计的读数y(℃)与水银柱的长度x(cm)之间是一次函数关系.现有一支水银体温计,其部分刻度线不清晰(如图),表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度.水银柱的长度x(cm)4.2…8.29.8体温计的读数y(℃)35.0…40.042.0(1)求y关于x的函数关系式;(2)用该体温计测体温时,水银柱的长度为6.2cm,求此时体温计的读数.解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,由题意得4.2k+b=35,8.2k+b=40,解得k=54,b=1194,∴y=54x+1194.(2)将x=6.2代入y=54x+1194,得y=54×6.2+1194=752=37.5.答:此时体温计的读数为37.5℃.13.(10分)实验数据显示,一般成人喝半斤白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用正比例函数y=100x刻画;1.5小时后(包括1.5小时)y与x的关系可近似地用反比例函数y=kx(x>0)刻画(如图).(1)求k的值.(2)当y≥75时肝功能会受到损伤,请问肝功能持续受损的时间多长?(3)按国家规定,驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路,假设某驾驶员晚上20:00喝完半斤白酒,第二天早上7:00能否驾车?请说明理由.8\n解:(1)由题意可得当x=1.5时,y=150,且满足y=kx(k>0),∴k=xy=150×1.5=225.(2)把y=75代入y=225x,解得x=3.把y=75代入y=100x,得x=0.75.∵3-0.75=2.25小时,∴肝功能持续受损的时间为2.25小时.(3)第二天早上7:00不能驾车,理由如下:∵晚上20:00到第二天早上7:00,一共有11小时,将x=11代入y=225x,得y=22511>20,∴第二天早上7:00不能驾车.14.(12分)已知A,B两地公路长300km,甲、乙两车同时从A地出发沿同一公路驶往B地,2小时后,甲车接到通知需返回这条公路上与A地相距105km的C处取回货物,于是甲车立即原路返回C地,取了货物又立即赶往B地(取货物的时间忽略不计),结果两车同时到达B地.两车的速度始终保持不变,设两车出发xh后,甲、乙两车距离A地的路程分别为y1(km)和y2(km),它们的函数图象分别是折线OPQR和线段OR.(1)求乙车从A地到B地所用的时间;(2)求图中线段PQ的函数解析式;(不要求写自变量的取值范围)(3)在甲车返回取货的过程中,当x= h时,两车相距25km.(本小题直接写出结果即可) 解:(1)由图知,甲车2小时行驶了180千米,其速度为180÷2=90(km/h),甲车行驶的总路程为2×(180-105)+300=450(km),甲车从A地到B地所花时间为450÷90=5(h),又∵两车同时到达B地,∴乙车从A地到B地所用的时间为5h.(2)由题意可知,甲返回的路程为180-105=75(km),所需时间为75÷90=56(h),2+56=176(h),∴Q点的坐标为176,105.设线段PQ的函数解析式为y=kx+b,把(2,180)和176,105代入,得180=2k+b,105=176k+b,解得k=-90,b=360,∴线段PQ的函数解析式为y=-90x+360.(3)6730或7730.8\n15.(14分)在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm.(1)若花园的面积为192m2,求x的值;(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.解:(1)∵AB=xm,∴BC=(28-x)m,∴x(28-x)=192,解得x1=12,x2=16,答:x的值为12或16.(2)由题意可得S=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)2+196.∵在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,∴6≤x≤13,∴当x=13时,S取到最大值,最大值为-(13-14)2+196=195.答:花园面积S的最大值为195m2.16.(14分)某公司开发两种新产品,A型产品600件,B型产品400件,分配到甲、乙两地试销,其中甲地销售700件,乙地销售300件.两地销售这两种产品每件的利润(元)如下表:A型利润B型利润甲地2017乙地1615设分配到甲地A型产品x件,公司售完这1000件产品的总利润为W(元).(1)求W关于x的函数关系式,并求出最大利润是多少?(2)为了加快A型产品的销售,公司决定对A型产品加强广告宣传,由于销售成本增加,A型产品的每件销售利润有所降低,甲地的每件销售利润降低x100元,乙地的每件销售利润降低2元,那么该公司售完这1000件产品最少可以获得多少利润?解:(1)依题意,甲地A型产品有x件,B型产品有(700-x)件,乙地A型产品有(600-x)件,B型产品有(x-300)件,则W=20x+17×(700-x)+16×(600-x)+15×(x-300)=2x+17000.由x≥0,700-x≥0,600-x≥0,x-300≥0,解得300≤x≤600,∵W随x的增大而增大,∴当x=600时,W取得最大值18200.答:最大利润为18200元.(2)由题意得W=2x+17000-x100·x-2×(600-x)=-1100x2+4x+15800=-1100(x-200)2+16200,∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=200,8\n∴x>200时,W随x的增大而减小,又300≤x≤600,∴当x=600时,W最小=-1100×(600-200)2+16200=14600.答:该公司售完这1000件产品最少可以获得利润14600元.17.(14分)如图,已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(4,0),B(0,4)两点.(1)求此抛物线的解析式.(2)如图1,动点E从点O出发,沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动,同时,动点F从点A出发,沿着AB方向以2个单位/秒的速度向终点B匀速运动,当E,F中任意一点到达终点时,另一点也随之停止运动.连接EF,设运动时间为t秒,当t为何值时,△AEF是等腰三角形?(3)如图2,点P是抛物线在第一象限部分上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,交直线AB于点N,线段PN是否存在最大值?如果存在,求出PN的最大值,并指出此时点P的坐标;如果不存在,请简要说明理由.解:(1)把A(4,0),B(0,4)代入y=-x2+bx+c中,得-16+4b+c=0,c=4,解得b=3,c=4.∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.(2)根据题意得∠BAO=45°,OE=t,AF=2t,所以AE=4-t,由勾股定理得AB=42.分三种情况:①AE=AF,即4-t=2t,解得t=42+1.②AF=EF,如答图1,过点F作FC⊥AE于点C,AC=12AE=2-12t,∵cos45°=ACAF,即2-12t2t=22,解得t=43.③EF=AE,如答图2,过点E作ED⊥AF于点D,AD=12AF=22t,cos45°=22t4-t=22,解得t=2.综上所述,当t=43或2或42+1时,△AEF是等腰三角形.(3)存在.8\n易得直线AB的解析式为y=-x+4.设点P的横坐标为a,则点M的坐标为(a,0),∵点N在直线AB上,∴点N的坐标为(a,-a+4),∵点P在抛物线上,∴点P的坐标为(a,-a2+3a+4),又∵点P在第一象限,∴PN=PM-MN=-a2+3a+4-(-a+4)=-a2+4a=-(a-2)2+4(0<a<4),∴当a=2时,PN取最大值,最大值为4,此时点P的坐标为(2,6)8
