3.3 反比例函数[过关演练] (30分钟 75分)1.点A(-1,1)是反比例函数y=m+1x的图象上一点,则m的值为(B)A.-1B.-2C.0D.1【解析】将点A(-1,1)代入反比例函数的解析式,可得m+1=-1,解得m=-2.2.(2022·湖南衡阳)对于反比例函数y=-2x,下列说法不正确的是(D)A.图象分布在第二、四象限B.当x>0时,y随x的增大而增大C.图象经过点(1,-2)D.若点A(x1,y1),B(x2,y2)都在图象上,且x1<x2,则y1<y2【解析】k=-2<0,∴它的图象在第二、四象限,∴A选项正确;当x>0时,y随x的增大而增大,∴B选项正确;点(1,-2)在它的图象上,∴C选项正确;点A(x1,y1),B(x2,y2)都在反比例函数y=-2x的图象上,若x1<0<x2,则y1>y2,故D选项错误.3.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=kx-k与反比例函数y=kx(k≠0)的图象大致是(A)【解析】当k>0时,一次函数经过第一、三、四象限,反比例函数位于第一、三象限;当k<0时,一次函数经过第一、二、四象限,反比例函数位于第二、四象限.观察知A项正确.4.(2022·芜湖南陵一模)已知正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx的图象在平面直角坐标系内交于点A,B,若点A的坐标是(-2,3),则点B的坐标是(B)A.(-2,-3)B.(2,-3)C.(2,3)D.(3,-2)6\n【解析】由于正比例函数y=kx的图象经过原点O,所以点A、点B关于原点对称,又点A的坐标是(-2,3),则点B的坐标是(2,-3).5.(2022·江苏无锡)已知点P(a,m),Q(b,n)都在反比例函数y=-2x的图象上,且a<0<b,则下列结论一定正确的是(D)A.m+n<0B.m+n>0C.m<nD.m>n【解析】y=-2x的k=-2<0,图象位于第二、四象限,∵a<0,∴P(a,m)在第二象限,∴m>0;∵b>0,∴Q(b,n)在第四象限,∴n<0.∴n<0<m,即m>n.6.(2022·浙江宁波)如图,平行于x轴的直线与函数y=k1x(k1>0,x>0),y=k2x(k2>0,x>0)的图象分别相交于A,B两点,点A在点B的右侧,C为x轴上的一个动点,若△ABC的面积为4,则k1-k2的值为(A)A.8B.-8C.4D.-4【解析】∵AB∥x轴,∴A,B两点纵坐标相同.设A(a,h),B(b,h),则ah=k1,bh=k2.∵S△ABC=12AB·yA=12(a-b)h=12(ah-bh)=12(k1-k2)=4,∴k1-k2=8.7.写出一个函数表达式,使它满足:(1)是反比例函数;(2)函数的图象分布在第二、四象限.其结果是 y=-2x(答案不唯一) . 【解析】由于反比例函数的图象分布在第二、四象限,所以只需满足k<0即可.8.(2022·安庆四中模拟)当k满足 k<-5 时,反比例函数y=k+5x(k≠0)和正比例函数y=-x有两个不同的交点. 【解析】正比例函数y=-x的图象经过原点且位于第二、四象限内,根据题意k+5<0,解得k<-5.9.点(a-1,y1),(a+1,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上,若y1<y2,则a的取值范围是 -1<a<1 . 【解析】∵k>0,∴在图象的每一支上,y随x的增大而减小.当点(a-1,y1),(a+1,y2)在图象的同一支上时,∵y1<y2,∴a-1>a+1,无解;当点(a-1,y1),(a+1,y2)在图象的两支上时,∵y1<y2,∴a-1<0,a+1>0,解得-1<a<1.6\n10.如图,A,B两点在双曲线y=4x上,分别经过A,B两点向坐标轴作垂线段,已知S阴影=1,则S1+S2= 6 . 【解析】∵点A,B是双曲线y=4x上的点,分别经过A,B两点向x轴、y轴作垂线段,则根据反比例函数的图象和性质得两个矩形的面积都等于|k|=4,∴S1+S2=4+4-1×2=6.11.(2022·四川攀枝花)如图,已知点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上,作Rt△ABC,边BC在x轴上,点D为斜边AC的中点,连接DB并延长交y轴于点E,若△BCE的面积为4,则k= 8 . 【解析】∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线,∴BD=DC,∠DBC=∠ACB,又∠DBC=∠EBO,∴∠EBO=∠ACB,又∠BOE=∠CBA=90°,∴△BOE∽△CBA,∴BOBC=OEAB,即BC·OE=BO·AB.又∵S△BEC=4,∴12BC·EO=4,即BC·OE=8=BO·AB=|k|.∵反比例函数图象经过第一象限,∴k>0,∴k=8.12.(2022·贵州安顺)如图,已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P,Q两点,与y=k2x的图象相交于A(-2,m),B(1,n)两点,连接OA,OB,给出下列结论:①k1k2<0;②m+12n=0;③S△AOP=S△BOQ;④不等式k1x+b>k2x的解集是x<-2或0<x<1.其中正确结论的序号是 ②③④ . 【解析】由图象知,k1<0,k2<0,∴k1k2>0,①错误;把A(-2,m),B(1,n)代入y=k2x中,得-2m=n,∴m+12n=0,②正确;把A(-2,m),B(1,n)代入y=k1x+b,得m=-2k1+b,n=k1+b,∴k1=n-m3,b=2n+m3.∵-2m=n,∴y=-mx-m,∵已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P,Q两点,∴P(-1,0),Q(0,-m),∴OP=1,OQ=m,∴S△AOP=12m,S△BOQ=12m,∴S△AOP=S△BOQ,③正确;由图象知不等式k1x+b>k2x的解集是x<-2或0<x<1,④正确.13.(10分)(2022·广西贵港)如图,已知反比例函数y=kx(x>0)的图象与一次函数y=-12x+4的图象交于A和B(6,n)两点.6\n(1)求k和n的值;(2)若点C(x,y)也在反比例函数y=kx(x>0)的图象上,求当2≤x≤6时,函数y的取值范围.解:(1)当x=6时,n=-12×6+4=1,∴点B的坐标为(6,1).∵反比例函数y=kx过点B(6,1),∴k=6×1=6.(2)∵k=6>0,∴当x>0时,y随x的增大而减小,∴当2≤x≤6时,1≤y≤3.14.(11分)喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序,即需要将电热水壶中的水烧到100℃,然后停止烧水,等水温降低到适合的温度时再泡茶,烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系;停止加热过了1分钟后,水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图).已知水壶中水的初始温度是20℃,降温过程中水温不低于20℃.(1)分别求出图中所对应的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)水壶中的水从烧开(100℃)降到80℃就可以进行泡茶,问从水烧开到泡茶需要等待多长时间?解:(1)停止加热时,设y=kx,由题意得50=k18,解得k=900,∴y=900x,当y=20时,解得x=45,当y=100时,解得x=9,∴C点坐标为(9,100),B点坐标为(8,100),当加热烧水时,设y=ax+20,由题意得100=8a+20,解得a=10,∴当加热烧水时,函数关系式为y=10x+20(0≤x≤8).综上,可得图中所对应的函数关系式为y=10x+20 (0≤x≤8),100 (8<x≤9),900x (9<x≤45).(2)把y=80代入y=900x,得x=11.25,11.25-8=3.25,∴从水烧开到泡茶需要等待3.25分钟.6\n[名师预测]1.一次函数y=kx+1的图象如图所示,则反比例函数y=kx(x<0)的图象只能是(C)【解析】由一次函数的图象可知k<0,∴反比例函数的图象位于第二、四象限.∵x<0,∴反比例函数的图象位于第二象限,观察知C项正确.2.小颖画了一个函数y=ax-1的图象,如图所示,那么关于x的分式方程ax=1的解是(C)A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4【解析】由函数y=ax-1的图象,得分式方程ax=1的解是x=3.3.如图,A,B是函数y=6x图象上关于原点对称的两个点,AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D.设四边形ADBC的面积是S,则(C)A.S=6B.6<S<12C.S=12D.S>12【解析】由平行四边形的性质知四边形ADBC的面积S=4S△AOC,又S△AOC=12×|k|=12×|6|=3,所以S=4×3=12.4.若点A(-2,y1),B(-1,y2),C(1,y3)都在反比例函数y=k2-2k+3x(k为常数)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为 y2<y1<y3 . 【解析】设t=k2-2k+3,∵k2-2k+3=(k-1)2+2>0,∴t>0,反比例函数的图象在第一、三象限.∵点A(-2,y1),B(-1,y2),C(1,y3)都在反比例函数y=k2-2k+3x(k为常数)的图象上,由反比例函数的性质可知y2<y1<y3.6\n5.已知反比例函数y=5x在第一象限的图象如图所示,点A在其图象上,点B为x轴正半轴上一点,连接AO,AB,且AO=AB,则S△AOB= 5 . 【解析】过点A作AC⊥OB于点C,∵AO=AB,∴CO=BC,∵点A在反比例函数y=5x的图象上,∴12AC×CO=2.5,∴12AC×BC=2.5,∴S△AOB=5.6.如图,一次函数y1=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y2=kx(k为常数,k≠0)的图象交于A,B两点,过点A作AC⊥x轴,垂足为C,连接OA,已知OC=2,tan∠AOC=32,B(m,-2).(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)结合图象直接写出:当y1>y2时,x的取值范围.解:(1)∵OC=2,tan∠AOC=32,∴AC=3,∴A点坐标为(2,3),把A(2,3)代入y2=kx,可得k=6,∴反比例函数的解析式为y=6x.把B(m,-2)代入反比例函数,可得m=-3,∴B点坐标为(-3,-2).把A(2,3),B(-3,-2)代入一次函数y1=ax+b,可得3=2a+b,-2=-3a+b,解得a=1,b=1,∴一次函数的解析式为y=x+1.(2)由图可知,当y1>y2时,x的取值范围为-3<x<0或x>2.6
