3.4 二次函数[过关演练] (40分钟 80分)1.(2022·四川攀枝花)抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标为(A)A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-1,3)【解析】∵y=x2-2x+2=(x-1)2+1,∴顶点坐标为(1,1).2.(2022·上海)下列对二次函数y=x2-x的图象的描述,正确的是(C)A.开口向下B.对称轴是y轴C.经过原点D.在对称轴右侧部分图象是下降的【解析】∵a=1>0,∴抛物线开口向上,选项A不正确;∵-b2a=12,∴抛物线的对称轴为直线x=12,选项B不正确;当x=0时,y=x2-x=0,∴抛物线经过原点,选项C正确;∵a>0,∴在对称轴右侧部分,y随x的增大而增大,选项D不正确.3.(2022·山东莱芜)函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图象过点(2,0),则使函数值y<0成立的x的取值范围是(A)A.x<-4或x>2B.-4<x<2C.x<0或x>2D.0<x<2【解析】抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=-2a2a=-1,而抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0),∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-4,0),∵a<0,∴抛物线开口向下,∴当x<-4或x>2时,y<0.4.二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1),则a+b+1的值是(D)A.-3B.-1C.2D.3【解析】把(1,1)代入解析式得a+b-1=1,即a+b=2,所以a+b+1=2+1=3.9\n5.(2022·六安九中模拟)若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为(B)A.m>1B.m>0C.m>-1D.-1<m<0【解析】抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点坐标为(m,m+1),因为顶点在第一象限,所以m>0,m+1>0,解得m>0.6.将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位后,所得的抛物线的解析式为(B)A.y=(x+2)2+3B.y=(x-2)2+3C.y=(x+2)2-3D.y=(x-2)2-3【解析】由二次函数图象的平移规律可知,将抛物线y=x2先向右平移2个单位得抛物线y=(x-2)2,再向上平移3个单位得抛物线y=(x-2)2+3.7.(2022·黄山屯溪四中模拟)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是(C)【解析】对于选项A,抛物线的a>0,对称轴x=-b2a>0,∴b<0,这与y=bx+a的图象相矛盾,不符合题意;对于选项B,抛物线的a>0,对称轴x=-b2a<0,∴b>0,这与y=bx+a的图象相矛盾,不符合题意;对于选项C,抛物线的a<0,对称轴x=-b2a>0,∴b>0,这与y=bx+a的图象相符合,符合题意;对于选项D,抛物线的a<0,对称轴x=-b2a<0,∴b<0,这与y=bx+a的图象相矛盾,不符合题意.8.(2022·湖北随州)如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,对称轴为直线x=1.直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C,D两点,D点在x轴下方且横坐标小于3,则下列结论:①2a+b+c>0;②a-b+c<0;③x(ax+b)≤a+b;④a<-1.其中正确的有(A)9\nA.4个B.3个C.2个D.1个【解析】∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1,∴b=-2a,∴2a+b+c=2a-2a+c=c>0,∴①正确;∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)左侧,而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)右侧,∴当x=-1时,y<0,∴a-b+c<0,∴②正确;∵x=1时,二次函数有最大值,∴ax2+bx+c≤a+b+c,∴ax2+bx≤a+b,∴③正确;∵直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C,D两点,D点在x轴下方且横坐标小于3,∴x=3时,一次函数值比二次函数值大,即9a+3b+c<-3+c,而b=-2a,∴9a-6a<-3,解得a<-1,∴④正确.9.已知二次函数的图象的顶点为(1,4),且图象过点(-1,-4),则该二次函数的解析式为 y=-2(x-1)2+4 . 【解析】根据题意,可设该二次函数的解析式为y=a(x-1)2+4,将(-1,-4)代入解析式可得4a+4=-4,解得a=-2,∴该二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+4.10.已知点A(4,y1),B(2,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 y3>y1>y2 . 【解析】由二次函数的解析式可得对称轴为x=2,∴当x<2时,y随x的增大而减小;当x>2时,y随x的增大而增大,且由对称性知A点在函数图象上的对称点为D(0,y1),∴y3>y1>y2.11.教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y=-112(x-4)2+3,由此可知铅球推出的距离是 10 m. 【解析】令y=0,得-112(x-4)2+3=0,解得x1=10,x2=-2(舍去),即铅球推出的距离是10m.12.(2022·安庆模拟)对于二次函数y=-x2+2x,有下列四个结论:①它的对称轴是直线x=1;②设y1=-x12+2x1,y2=-x22+2x2,则当x2>x1时,有y2>y1;③它的图象与x轴的两个交点是(0,0)和(2,0);④当0<x<2时,y>0.其中正确的结论有 ①③④ .(把正确结论的序号都填在横线上) 【解析】y=-x2+2x=-(x-1)2+1,它的对称轴是直线x=1,故①正确.因为二次函数在直线x=1两旁部分的增减性不一样,只有当1>x2>x1时,有y2>y1;而当x2>x1>1时,有y2<y1;当x2>1>x1时,y2与y1的大小无法比较,故②错误.当y=0时,-x2+2x=0,解得x1=0,x2=2,故它的图象与x轴的两个交点是(0,0)和(2,0),故③正确.a=-1<0,抛物线开口向下,它的图象与x轴的两个交点是(0,0)和(2,0),由图象可得当0<x<2时,y>0,故④正确.13.(8分)下表给出了一个二次函数的一些取值情况:x…01234…y…30-103…请在坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象说明:9\n(1)当y随x的增大而增大时,自变量x的取值范围;(2)当0≤y<3时,x的取值范围.解:二次函数的图象如图所示.(1)当y随x的增大而增大时,自变量x的取值范围为x>2.(2)当0≤y<3时,x的取值范围为0<x≤1或3≤x<4.14.(10分)(2022·宁夏)抛物线y=-13x2+bx+c经过点A(33,0)和点B(0,3),且这个抛物线的对称轴为直线l,顶点为C.(1)求抛物线的解析式;(2)连接AB,AC,BC,求△ABC的面积.解:(1)∵抛物线y=-13x2+bx+c经过点A(33,0),B(0,3),∴-9+33b+c=0,c=3,解得b=233,c=3,∴抛物线的解析式为y=-13x2+233x+3.(2)设线段AB所在直线为y=kx+b,∵线段AB所在直线经过点A(33,0),B(0,3),可得直线AB的解析式为y=-33x+3.设抛物线的对称轴l与直线AB交于点D,∴设点D的坐标为(3,m).将点D(3,m)代入y=-33x+3,解得m=2,∴点D的坐标为(3,2),∴CD=2,过点B作BF⊥l于点F,∴BF=OE=3,9\n∵BF+AE=OE+AE=OA=33,∴S△ABC=S△BCD+S△ACD=12CD(BF+AE)=12×2×33=33.15.(10分)(2022·辽宁盘锦)鹏鹏童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件.为了促销,该店决定降价销售,经市场调查反应:每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元.设该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.(1)求y与x之间的函数关系式;(不求自变量的取值范围)(2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润是多少?(3)①当每件童装售价定为多少元时,该店一星期可获得3910元的利润?②若该店每星期想要获得不低于3910元的利润,则每星期至少要销售该款童装多少件?解:(1)y=100+10(60-x)=-10x+700.(2)设每星期利润为W元,W=(x-30)(-10x+700)=-10(x-50)2+4000.∴x=50时,W最大=4000.∴每件售价定为50元时,每星期的销售利润最大,最大利润为4000元.(3)①由题意得-10(x-50)2+4000=3910,解得x=53或47,∴当每件童装售价定为53元或47元时,该店一星期可获得3910元的利润.②由题意得-10(x-50)2+4000≥3910,解得47≤x≤53.当47≤x≤53时,y=-10x+700,y的取值范围是170≤y≤230,∴每星期至少要销售该款童装170件.[名师预测]1.已知反比例函数y=kx的图象如图,则二次函数y=2kx2-x+k2的图象大致为(D)9\n【解析】∵反比例函数y=kx的图象位于第二、四象限,∴k<0,∴二次函数的图象开口向下,抛物线的对称轴为直线x=--12×2k<0,∵k2>0,∴二次函数的图象与y轴的正半轴相交.结合各选项,只有D选项符合.2.若抛物线y=x2+ax+b与x轴的两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点(B)A.(-3,-6)B.(-3,0)C.(-3,-5)D.(-3,-1)【解析】∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,∴该定弦抛物线过点(0,0),(2,0),可求得该抛物线的解析式为y=x(x-2)=x2-2x=(x-1)2-1.将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到新抛物线的解析式为y=(x-1+2)2-1-3=(x+1)2-4.当x=-3时,y=(x+1)2-4=0,∴得到的新抛物线过点(-3,0).3.当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为(D)A.-1B.2C.0或2D.-1或2【解析】当y=1时,有x2-2x+1=1,解得x1=0,x2=2.∵当a≤x≤a+1时,函数有最小值1,∴a=2或a+1=0,∴a=2或a=-1.4.如图,在△ABC中,AB=AC,底边上的高AD=BC=4,正方形A'B'C'D'的边长为2,边B'C'与边BC在同一条直线l上.开始时顶点B'与顶点B重合,△ABC固定不动,然后把正方形A'B'C'D'自左向右沿直线l平移,直到点B'与点C重合时停止.设正方形A'B'C'D'的平移距离为x,两个图形重合部分的面积为y,则y关于x的函数图象是(A)【解析】当0≤x<1时,如图1,易得△BB'E∽△BDA,∴B'EAD=BB'BD=x2,B'E=2x,y=12·x·2x=x2,此时抛物线开口向上,y随x的增大而增大;当1≤x<2时,如图2,y=x-1+x=2x-1,此时y随x的增大而增大;当2≤x<3时,如图3,易得△D'EF∽△DBA,∴D'EDB=D'FDA,D'E=2-(x-1)=3-x,D'F=6-2x,y=4-12(3-x)(6-2x)=-(x-3)2+4,此时抛物线开口向下,y随x的增大而增大;当3≤x≤4时,如图4,A'E=x-3,A'F=2x-6,y=4-12(x-3)(2x-6)=-(x-3)2+4,抛物线开口向下,y随x的增大而减小.综上所述,选项A符合条件.9\n5.已知函数y=x2-4x+4,当y=0时,x= 2 ;当-2<x<0时,y随x的增大而 减小 .(填写“增大”或“减小”) 【解析】把y=0代入y=x2-4x+4,得x2-4x+4=0,解得x=2.当x<2时,y随x的增大而减小,∴当-2<x<0时,y随x的增大而减小.6.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为-1,3,与y轴负半轴交于点C.在下面四个结论中:①2a+b=0;②c=-3a;③当a=12时,△ABD是等腰直角三角形;④使△ACB为等腰三角形的a的值有三个.正确的结论是 ①②③ .(请把正确结论的序号都填上) 【解析】根据图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为-1,3,得对称轴x=-1+32=1,∴-b2a=1,即2a+b=0,①正确;∵A点坐标为(-1,0),∴a-b+c=0,又∵b=-2a,∴a+2a+c=0,即c=-3a,②正确;当a=12时,b=-1,c=-32,对称轴x=1与x轴的交点为E,如图,抛物线的解析式为y=12x2-x-32,把x=1代入,得y=12-1-32=-2,∴D点坐标为(1,-2),∴AE=2,BE=2,DE=2,易知△ADB为等腰直角三角形,③正确;要使△ACB为等腰三角形,则必有AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC.当AB=BC=4时,∵AO=1,△BOC为直角三角形,又∵OC的长为|c|,∴c2=16-9=7,∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,∴c=-7,与2a+b=0,a-b+c=0联立,解得a=73;同理当AB=AC=4时,∵AO=1,△AOC为直角三角形,又∵OC的长为|c|,∴c2=16-1=15,∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,∴c=-15,与2a+b=0,a-b+c=0联立,解得a=153;同理当AC=BC时,在9\n△AOC中,AC2=1+c2,在△BOC中,BC2=c2+9,∵AC=BC,∴1+c2=c2+9,此方程无解,舍去.可知只有两个a值满足条件,④错误.7.如图,抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0).(1)试确定该抛物线的函数表达式;(2)已知点C是该抛物线的顶点,求△OBC的面积;(3)若点P是线段BC上的动点,求OP的最小值.解:(1)∵抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),∴a-1+c=0,9a+3+c=0,解得a=-12,c=32,∴该抛物线的函数表达式为y=-12x2+x+32.(2)y=-12x2+x+32=-12(x-1)2+2,∴点C的坐标为(1,2).过点C作CD⊥x轴于点D,可得CD=2,∴S△OBC=12×3×2=3.(3)在Rt△BCD中,CD=BD=2,由勾股定理得BC=22.当OP⊥BC时,OP取最小值,由三角形的面积公式知12×BC×OP=S△OBC=3,即12×22×OP=3,解得OP=322,∴OP的最小值是322.8.在平面直角坐标系xOy中,当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时,则称点P为图形W的“梦之点”.(1)已知☉O的半径为1.①在点E(1,1),F-22,-22,M(-2,-2)中,☉O的“梦之点”为 ; ②若点P位于☉O内部,且为双曲线y=kx(k≠0)的“梦之点”,求k的取值范围.(2)若二次函数y=ax2-ax+1的图象上存在两个“梦之点”A(x1,y1),B(x2,y2),且|x1-x2|=2,求二次函数图象的顶点坐标.9\n解:(1)①∵OE=12+12=2,OF=-222+-222=1,OM=(-2)2+(-2)2=22,∴点F在☉O上,又∵点F的横坐标和纵坐标相等,∴☉O的“梦之点”为点F.②设点P的坐标为(m,m),由已知可得m=km,OP2=2m2<1,k>0,解得0<k<12.(2)由“梦之点”定义可得A(x1,x1),B(x2,x2).则令x=ax2-ax+1,整理得ax2-(a+1)x+1=0,解得x1=1,x2=1a,把两个根代入|x1-x2|=2中,得1-1a=2,解得a1=-1,a2=13,当a=-1时,y=-x2+x+1=-x-122+54,其顶点坐标为12,54;当a=13时,y=13x2-13x+1=13x-122+1112,其顶点坐标为12,1112.9
